Как решать примеры в столбик на деление: Деление в столбик ➗ примеры и правила, как научиться
By: Date: 06.04.2020 Categories: Разное

Содержание

Деление в столбик ➗ примеры и правила, как научиться

Как правильно делить в столбик

Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.

Рассмотрим пример деления трёхзначного числа на однозначное 322:7. Для начала определимся с терминами:

  • 322 — делимое или то, что необходимо поделить;
  • 7 — делитель или то, на что нужно поделить:
  • частное — результат действия.

Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем. 

Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза. Проверяем 4*7=28, 28<32 все верно. Пишем 4 под чертой — это первая цифра частного. Между 32 и 28 ставим знак «минус», вычитаем по правилам и результат записываем под чертой.

Важно:

Результат вычитания должен быть меньше делителя. Если это не так, значит есть ошибка в расчете. Нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.

Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся 2 и продолжаем размышлять.

Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в 42? Кажется, шесть раз. Проверяем 7*6=42, 42=42 все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит числа разделились нацело.

Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.

Как выглядит деление в столбик с остатком

Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.

  • Например, делим 19 на 5. Наибольшее число, делящееся на 5 до 19 это 15. Проверяем 5*3=15, 19-15=4. Ответ: 3 и остаток 4. Записываем так: 19:5=3(4).
  • Еще пример: делим 29 на 6. Также определяем максимальное число, делящееся на 6 до 29. Подходит 24. Ответом будет: 4 и остаток 5. А записываем: 29:6=4(5).

Примеры на деление в столбик

Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

27:3=

48:4=

56:8=

72:9=

95:5=

270:15=

504:14=

315:5=

728:8=

855:9=

1749:11=

1080:45=

3888:72=

5248:64=

4818:66=

Ответы: 

  • легкий уровень: 9; 12; 7; 8; 19;
  • средний уровень: 18; 36; 63; 91; 95;
  • сложный уровень: 159; 24; 54; 82; 73.

В детской школе Skysmart ученики решают примеры вместе с енотом Максом и его друзьями. Мы подобрали для вашего ребенка тысячи увлекательных заданий — от простых логических загадок до хитрых головоломок, над которыми интересно подумать. Все это поможет легче и быстрее справиться со школьной математикой. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики в Skysmart — мы покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

Как делить в столбик | BeginPC.ru

В настоящее время современные технологии развиваются стремительными темпами, и все больше работы за нас выполняют компьютеры и различные другие электронные устройства. Тем не менее, умение выполнять арифметические операции без помощи калькулятора остаются все еще востребованными.

Ранее мы уже рассматривали, как складывать, вычитать и умножать в столбик на листе бумаги. Поэтому сегодня давайте освежим в памяти, а возможно кто-то узнает впервые алгоритм деления столбиком без калькулятора. В этом нет ничего сложного, главное внимательность и аккуратность.

Для начала запомним, что число которое делится называется делимое. Число на которое делят называют делителем, а результат деления частным. Чтобы было проще, давайте рассмотрим деление в столбик на конкретном примере и разделим 834 на 6. Первое что нам необходимо сделать, это записать их соответствующим образом.

Пишем делимое, затем правее него делитель и отделяем их друг от друга так называемым уголком. Все подготовительные операции выполнены и переходим непосредственно к делению в столбик.

Для этого необходимо в делимом двигаясь слева на право найти наименьшее число большее или равное делителю. Делитель у нас равен 6, а первая цифра в делителе равна 8 и она больше 6. Теперь необходимо найти сколько целых раз делитель помещается в неполном делимом, в данном случае всего один раз. Поэтому под делителем пишем 1, а под 8 записываем 6 проводим горизонтальную черту и находим их разность по правилам вычитания столбиком, то есть 2. Поскольку 2 меньше нашего делителя (6), то все сделано правильно, в противном случае, где то допущена ошибка.

Теперь сносим вниз следующую цифру исходного делимого (3) и проверяем чтобы получившееся число (23) было больше делителя (6). В данном случае это так. Снова находим сколько раз делитель помещается в неполном делимом, получается 3 раза. Поэтому под делителем записываем 3, а под делимым находим разность 23 и 18 (6*3), которая равна 5.

Дальше делаем все точно также, сносим вниз следующее число из делимого (4), получается число 54 и находим сколько раз в нем умещается делитель (6). Он умещается 9 раз, значит под делителем записываем 9, а под неполным делимым 54 (6*9). Поскольку 54 отнять 54 равно нулю и в делимом не осталось больше чисел, то деление закончено и частное равно 139. Можете проверить на калькуляторе или выполнив умножение в столбик 6 на 139.

Чтобы закрепить навык деления столбиком давайте рассмотрим еще один пример и разделим 1587 на 23. Согласно уже известному нам алгоритму находим в делимом наименьшее число большее или равное делителю, таким числом является 158. Делитель 23 умещается в неполном делимом 6 раз. Соответственно под делителем пишем 6, а под делимым 138 (23*6) и находим разность 158 и 138.

Поскольку 20 меньше делителя все сделано правильно, теперь сносим вниз следующее число (7) и находим сколько раз умещается делитель в получившемся числе 207. Он умещается 9 раз, а поскольку 207-207=0 и в делимом больше нет чисел, то деление в столбик законченно и ответ равен 69.

Как видите, ничего особо сложного нет, главное внимательность. Хотя внимательный читатель наверняка уже обратил внимание, что в обоих приведенных примерах делитель помещается в делимом целое число раз. Однако так бывает далеко не всегда, поэтому рассмотрим пример деления столбиком с остатком, для этого разделим 46 на 8.

Поскольку 4 меньше 8, то наименьшим неполным делимым является 46. В числе 46 делитель содержится 5 раз, следовательно под делителем пишем 5, а под делимым 40 (5*8).

Разность 46 и 40 равна 6. Число 6 меньше делителя, значит мы все сделали верно, но в делимом больше не осталось чисел, а разность не равна 0. Это значит, что разделить эти два числа без остатка нельзя. Чтобы найти остаток поступаем следующим образом. В разности ставим запятую, а к остатку приписываем 0. В остатке имеем число 60. Делитель умещается в нем 7 раз, значит пишем в разность 7 и вычитаем из 60 число 56 (8*7).

В остатке имеем 4, снова приписываем 0. Получается 40 и делитель умещается в нем 5 раз. В частное записываем 5 и вычитаем из остатка 40, получается 0.

Таким образом, мы разделили 46 на 8 столбиком и получили ответ 5,75. Теперь вы знаете, как делить в столбик без калькулятора. Кстати в Windows есть встроенный калькулятор «Пуск» ⇒ «Стандартные» ⇒ «Калькулятор», в котором всегда можно быстро выполнить необходимые вычисления.

Деление в столбик — объяснение и примеры Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про деление в столбик — объяснение , тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
деление в столбик — объяснение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

Деление — Арифметическое действие, по к-оторому узнается, сколько раз одно число содержится в другом.

Если вы родитель , то объясните ребенку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление».

Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 3х4=12. результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

В нашем пример разделите получившееся произведение «12» – на любой из множителей – «3» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель, то есть «4» или «3».

Также нужно знать термины, используемые в операции деления – «делимое», «делитель» и «частное».

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление в столбик.

Посмотрим на примере как делить столбиком.

Вычислить:

Для начала запишем делимое и делитель в столбик . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8 .

Начинаем делить 512 на 8 следующим образом:

  1. Определяем неполное частное. Для этого слева направосравниваем цифры делимого и делитель.

    Берем 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого.

  2. 51 больше 8. Значит это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

    Для того, чтобы избежать ошибок, не забывайте определять количество цифр в частном.


    Для этого посчитаем сколько цифр осталось в делимом, после неполного частного. У нас после 51 стоит только одно цифра 2 . Значит и добавляем в результат еще одну точку.

  3. Приступаем к делению. Вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение.

    6 x 8 = 48

    Записываем цифру 6 в частное.

    Записываем 48 под 51.


    При записи под неполном частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения.

    Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

  4. В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

    Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.


    Спишем из делимого 512 цифру 2 к 3.

    Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение.

    8 x 4 = 32

    В остатке получился ноль. Значит числа разделились нацело (без остатка).

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про деление в столбик — объяснение Надеюсь, что теперь ты понял что такое деление в столбик — объяснение
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Деление «в столбик» — теперь по-русски 🙂 – Вадим Стеркин

Математика в 3 классе невозможна без поисковых технологий 🙂 Просматривая статистику посещений своего блога осенью 2008 г, я обратил внимание, что с начала сентября в него ежедневно приходят из Google несколько человек по запросу деление в столбик. Действительно, я когда-то писал о том, как делят в столбик американцы. Как ни странно, именно эта запись стояла первой в списке результатов поисковика, но она ничем не помогала бедным школьникам и их родителям.

Беглый просмотр других результатов поисковика не выявил алгоритма деления в первой десятке, и даже в русской Википедии статья еще ждала своего автора. Я решил восполнить пробел, не претендуя на полноту изложения материала или профессиональный педагогический подход.

Итак, дорогие школьники, сегодня мы будем делить 861 на 7 в столбик. Если вы еще не знаете, в любой операции деления должно быть делимое, делитель и частное. В нашем случае 861 – делимое, 7 – делитель, а результат деления – частное. Его и будем искать.

Для начала записываем рядом делимое и делитель, затем разделяем их «уголком».

Теперь нужно внимательно посмотреть на цифры делимого и, двигаясь слева направо, найти в нем наименьшее число, которое больше делителя. Чисел тут три: 8, 86 и 861. Из них наименьшим является 8. Теперь нужно ответить на главный вопрос! Сколько раз наш делитель (7) содержится в числе 8? Один раз. Поэтому смело пишем 1 под чертой – это первая цифра частного, которое мы пытаемся найти.

А где же столбик? Сейчас будет 🙂 Теперь умножаем 7 на 1 и получаем 7. Записывем полученный результат под первым числом делимого и вычитаем в столбик, то есть из 8 вычитаем 7. Получаем 1.

Если вы все сделали правильно, результат вычитания должен быть меньше делителя. Если больше, значит вы неправильно определили, сколько раз 7 содержится в 8. Поскольку результат вычитания меньше делителя, нам нужно его увеличить для продолжения нашего нелегкого труда. И делать это мы будем за счет следующей цифры делимого. Поскольку 8 мы уже использовали, берем 6 и приписываем к единице.

Теперь отвечаем на уже знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 16? Два раза. Приписываем двойку к единице под чертой — это вторая цифра частного. Умножаем 7 на 2, получаем 14 и записываем результат под 16.

Дальше идем по уже знакомому пути. Вычитаем 14 из 16, получаем 2 (2 меньше 7, значит все сделано правильно). Используем третью и последнюю цифру делимого – 1, сносим ее вниз и приписываем к двойке, получая 21.

Снова отвечаем на знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 21? Три раза. Пишем тройку под чертой. Умножаем 7 на 3, получаем 21 и записываем в столбик под 21. Вычитаем 21 из 21, получаем 0. Ура, деление выполнено без остатка! Ответ – 123.

Если вы использовали все цифры делимого, а ноль так и не получился, значит либо деление без остатка невозможно, либо вы ошиблись в арифметике. Выполните проверку… при помощи калькулятора – Пуск – Выполнить – calc.

Конец урока 🙂

Деление натуральных чисел столбиком: правило, примеры

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Запись чисел при делении столбиком

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55, запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

                                                                       

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений. 

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

                                                     

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8÷2=4.

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2·0=0; 2·1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4, на которое мы умножали делитель, записываем на место частного. 

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8-8=0.

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3.

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0, 1, 2, 3.. получаем в результате:

3·0=0<7; 3·1=3<7; 3·2=6<7; 3·3=9>7

Под делимым записываем число , полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6. 

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1.

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4. Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком. 

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : 0, 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·0=0<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.


3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — 0. В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Важно!

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.


2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на 0, 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=0.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·0=0<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0, и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0.


3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:


В самой нижней строчке записываем число 0. Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9.

Запишем:

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792, а остаток равен 8.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7.

Ответ: 1006005

Деление многозначных натуральных чисел столбиком

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2-4  остаются неизменными. 

Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам  описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206.

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556.
556>206, поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.

Умножаем 206 на 0, 1, 2, 3.. и получаем:

206·0=0<556; 206·1=206<556; 206·2=412<556; 206·3=618>556

618>556, поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144. Справа от результата под чертой записываем число  из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442.

Повторяем с  ним пункты 2-4. Получаем:

206·5=1030<1442; 206·6=1236<1442; 206·7=1442

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442, а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.


Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания. 

Ответ: 27

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34.

Ответ: 7002

Как решить пример деление. Как делить в столбик? Как объяснить ребенку деление столбиком? Деление на однозначное, двузначное, трехзначное число, деление с остатком

Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик)
. Также можно встретить название деление уголком
. Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .

В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.

Навигация по странице.

Правила записи при делении столбиком

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:

Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком

Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.

Пример.

Пусть нам нужно разделить столбиком 8
на 2
.

Решение.

Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4
.

Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.

Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:

Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:

Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.

В нашем примере получаем

Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8
на 2
. Мы видим, что частное 8:2
равно 4
(и остаток равен 0
).

Ответ:

8:2=4
.

Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.

Пример.

Разделим столбиком 7
на 3
.

Решение.

На начальном этапе запись выглядит так:

Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=07
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).

Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.

Таким образом, неполное частное равно 2
, и остаток равен 1
.

Ответ:

7:3=2 (ост. 1)
.

Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.

Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком
. На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288
на однозначное натуральное число 4
. Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.

    Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

    Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
    является цифра 1
    . Число 1
    меньше, чем делитель 4
    , поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
    , с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.

Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.

    Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x
    ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0
    , 1
    , 2
    , 3
    , … до того момента, пока не получим число x
    или число больше, чем x
    . Когда получается число x
    , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4
    пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x
    , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).

    Умножаем делитель 4
    на числа 0
    , 1
    , 2
    , …, пока не получим число, которое равно 14
    или больше 14
    . Имеем 4·0=014
    . Так как на последнем шаге мы получили число 16
    , которое больше, чем 14
    , то под выделенным числом записываем число 12
    , которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
    , так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.

    На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.

    Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
    число 12
    (для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
    . Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
    меньше делителя 4
    , то можно спокойно переходить к следующему пункту.

    Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2
    по 4
    пункты алгоритма.

    Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
    записываем цифру 0
    , так как именно цифра 0
    находится в записи делимого 140 288
    в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
    .

    Это число 20
    мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель 4
    на 0
    , 1
    , 2
    , …, пока не получим число 20
    или число, которое больше, чем 20
    . Имеем 4·0=0

    Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).

    Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
    , так как именно она находится в записи делимого 140 288
    в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
    .

    Число 2
    принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
    пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель на 0
    , 1
    , 2
    и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
    . Имеем 4·0=02
    . Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
    (оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
    (на 0
    мы проводили умножение на предпоследнем шаге).

    Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
    под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
    . Так как 2

    Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
    (так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
    ). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
    .

    Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
    пунктов.

Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.

Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:

Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0
. Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.

Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288
на однозначное натуральное число 4
, мы видим, что частным является число 35 072
, (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).

Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.

Пример.

Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136
, а делителем является однозначное натуральное число 9
.

Решение.

На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида

После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид

Повторив цикл, будем иметь

Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9

Таким образом, неполное частное равно 792
, а остаток от деления равен 8
.

Ответ:

7 136:9=792 (ост. 8)
.

А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.

Пример.

Разделите натуральное число 7 042 035
на однозначное натуральное число 7
.

Решение.

Удобнее всего выполнить деление столбиком.

Ответ:

7 042 035:7=1 006 005
.

Деление столбиком многозначных натуральных чисел

Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел
. Это действительно так, так как со 2
по 4
этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.

На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2
, 3
и 4
пункте алгоритма до получения конечного результата.

Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.

Пример.

Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562
и 206
.

Решение.

Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.

Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:

Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.

Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:

Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.

Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0

Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:

Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Деление
многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик
. Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.

Итак, поделим 354

на 2

. Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:

Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.

Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое
, для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.

3

больше 2

, значит 3

и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:

Для того чтобы 3

разделить на 2

вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.

2 × 1
= 2
(2

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2

меньше 3

, а 4

больше, значит, берем первый пример и множитель 1

.

Записываем 1

в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:

Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:

Полученное значение сравниваем с делителем. 15

больше 2

, значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15

на 2

вновь вспоминаем таблицу умножения на 2

и находим наибольшее произведение, которое меньше 15

:

2 × 7
= 14
(14

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Искомый множитель 7

, записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:

Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое
. Спускаем следующий разряд делимого:

Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:

2 × 7
= 14

Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:

Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно
.

Усложним задачу и приведем другой пример:

1020 ÷ 5

Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:

Разряд тысяч делимого составляет 1

, сравниваем с делителем:

1

Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:

10 > 5

– мы нашли неполное делимое.

Делим 10

на 5

, получаем 2

, записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.

10 – 10 = 0

0

мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:

Сравниваем второе неполное делимое с делителем.

2

Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0

:

20 ÷ 5 = 4

Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0

, значит пример решён правильно
.

И ещё 2 правила деления в столбик:

1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:

Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.

2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:

Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.

  1. Размещаем делимое слева, делитель справа. Помним, что делимое мы делим, поразрядно выделяя неполные делимые и деля их последовательно на делитель. Разряды в неполное делимое выделяются слева направо от старших к младшим.
  2. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить.
  3. Определяем первый неполный делитель:

а)
выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;

б)
сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в)
, если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4
;

в)
добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б)
.

  1. Определяем сколько разрядов будет в частном, и ставим столько точек на месте частного (под делителем) сколько будет в нем разрядов. Одна точка (один разряд) за все первое неполное делимое и остальных точек (разрядов) столько же, сколько осталось разрядов в делимом после выделения неполного делимого.
  2. Делим неполное делимое на делитель, для этого находим число, при умножении которого на делитель получилось бы число либо равное неполному делимому, либо меньше его.
  3. Найденное число записываем на место очередного разряда частного (точки), а результат умножения его на делитель записываем под неполным делимым и находим их разность.
  4. Если найденная разность меньше или равна неполному делимому значит, мы правильно поделили неполное делимое на делитель.
  5. Если в делимом остались еще разряды, то продолжаем деление, иначе переходим к пункту 10
    .
  6. Опускаем к разности следующий разряд делимого и получаем очередное неполное делимое:

а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;

б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;

в) переходим к пункту (а).

10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0

, то мы правильно выполнили деление
.

Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:

Деление столбиком неотъемлемая часть школьной программы и необходимое знание для ребенка. Чтобы избежать проблем на уроках и с их выполнением, следует давать ребенку основные знания еще с маленького возраста.

Гораздо легче объяснять ребенку определенные вещи и процессы в игровой форме, а не в формате стандартного урока (хотя на сегодняшний день существует достаточно разнообразных методик обучения в разных формах).

Из этой статьи вы узнаете


Принцип деления для малышей

Дети постоянно сталкиваются с разными математическими терминами, даже не подозревая, откуда они. Ведь многие мамочки, в форме игры, объясняют ребенку, что папы больше тарелка, в садик ходить дальше, чем в магазин и другие незамысловатые примеры. Всё это представляет ребенку первоначальное впечатление о математике, еще до похода ребёнка в первый класс.

Чтобы научить ребёнка делить без остатка, а позже с остатком, необходимо прямо предложить поиграть малышу в игры с делением. Разделите, например, конфеты между собой, а затем по очереди добавляйте следующих участников.

Сначала ребенок будет делить конфеты, отдавая каждому участнику по одной. А в конце вместе сделаете вывод. Следует пояснить, что «разделить» — значит всем одинаковое число конфет.

Если Вам необходимо растолковать этот процесс с помощью цифр, то можно привести пример в форме игры. Можно сказать, что цифра – это конфета. Следует объяснить, что число конфет, которые нужно делить между участниками – делимое. А количество человек, на которых делят эти конфеты – это делитель.

Потом следует показать это все наглядно, привести «живые» примеры, чтобы быстрее научить кроху делить. Играя, он намного быстрее все поймет и усвоит. Пока алгоритм объяснить будет сложно, и сейчас это не нужно.

Как обучить малыша делению в столбик

Объяснение крохе разных математических действий – это хорошая подготовка к походу в класс, особенно математический класс. Если Вы решили перейти к обучению ребенка делению столбиком, значит такие действия как сложение, вычитание, и что такое таблица умножения он уже усвоил.

Если же это у него все еще вызывает некоторые сложности, то нужно подтянуть все эти знания. Стоит напомнить алгоритм действий предыдущих процессов, научить свободно пользоваться своими знаниями. В противном случае малыш просто запутается во всех процессах, и перестанет что-либо понимать.

Для облегчения понимания этого, сейчас есть таблица деления для малышей. Принцип у нее такой же, как и у таблиц умножения. Но нужна ли уже такая таблица, если малыш знает таблицу умножения? Это зависит от школы и учителя.

При формировании понятия «деление» нужно обязательно делать все в игровой форме, приводить все примеры на знакомых ребенку вещах и предметах.

Очень важно, чтобы все предметы были четного числа, чтобы малышу было ясно, что итогом являются равные части. Это будет правильно, поскольку позволит крохе осознать, что деление — процесс обратный умножению. Если предметы будут нечетного количества, то итог выйдет с остатком и малыш запутается.

Умножаем и делим с помощью таблицы

При объяснении малышу взаимосвязи между умножением и делением, необходимо это все наглядно показывать на каком-либо примере. Например: 5 х 3 = 15. Вспомните, что итог умножения это произведение двух чисел.

И только после этого, объясняйте, что это обратный процесс к умножению и продемонстрируйте это наглядно с помощью таблицы.

Скажите, что нужно поделить результат «15» — на какой-то из множителей («5»/ «3»), и итогом будет постоянно иной, не принимавший участие в делении, множитель.

Также необходимо растолковать малышу, как правильно называются категории, которые выполняют деление: делимое, делитель, частное. И снова с помощью примера покажите, что из них является конкретной категорией.

Деление столбиком вещь не очень сложная, у нее есть свой легкий алгоритм, которому малыша нужно научить. После закрепления всех этих понятий и знаний, можно переходить к дальнейшему обучению.

В принципе, родителям стоит выучить с любимым чадом таблицу умножения в обратном порядке, и наизусть ее запомнить, так как это будет нужным при обучении делению столбиком.

Это делать необходимо до похода в первый класс, чтобы ребенку в школе было намного легче освоиться, и успевать за школьной программой, и чтобы класс из-за небольших неудач не начал дразнить ребенка. Таблица умножения есть и в школе, и в тетрадях, поэтому носить отдельную таблицу в школу не придется.

Делим с помощью столбика

Прежде чем приступить к занятию, нужно вспомнить названия цифр при делении. Что такое делитель, делимое и частное. Ребенок должен без ошибок делить эти цифры на правильные категории.

Самое главное при обучении деления столбиком, это усвоить алгоритм, который, в общем, довольно простой. Но сначала объясните ребенку значение слова «алгоритм», если он забыл его или до этого не изучал.

В том случае, если кроха прекрасно разбирается в таблице умножения и обратного деления, у него не будет никаких сложностей.

Однако на полученном результате долго задерживаться нельзя, необходимо регулярно тренировать приобретенные умения и навыки. Двигайтесь далее, как только станет ясно, что малыш понял принцип метода.

Необходимо научить малыша делить столбиком без остатка и с остатком, чтобы ребенок не пугался, что у него что-то не получилось разделить правильно.

Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:

  • в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
  • в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.

Нужно побуждать интерес малыша к математическим процессам, чтобы этот урок в школе приносил ему удовольствие и желание учиться, и не мотивировать его на одних на уроках, но и в жизни.

Ребенок должен носить разные инструменты для уроков математики, учиться ими пользоваться. Однако если ребенку тяжело все носить, то не стоит его перегружать.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком
.

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым
, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление в столбик — это неотъемлемая часть учебного материала младшего школьника. От того, насколько он правильно научится выполнять это действие, будут зависеть дальнейшие успехи в математике.

Как правильно подготовить ребенка к восприятию нового материала?

Деление в столбик — это сложный процесс, который требует от ребенка определенных знаний. Чтобы выполнить деление, необходимо знать и уметь быстро вычитать, складывать, умножать. Немаловажными являются знания разрядов чисел.

Каждое из этих действий следует довести до автоматизма. Ребенок не должен долго думать, а также уметь вычитать складывать не только числа первого десятка, а в пределах сотни за несколько секунд.

Важно формировать правильное понятие деления, как математического действия. Еще при изучении таблиц умножения и деления, ребенок должен четко понимать, что делимое — это число, которое будет делиться на равные части, делитель — указывать, на сколько частей нужно разделить число, частное — это сам ответ.

Как пошагово объяснить алгоритм математического действия?

Каждое математическое действие предполагает четкое соблюдение определенного алгоритма. Примеры на деление в столбик должны выполняться в таком порядке:

  1. Запись примера в уголок, при этом места делимого и делителя должны быть строго соблюдены. Чтобы помочь на первых этапах ребенку не запутаться, можно сказать, что слева пишем большее число, а справа — меньшее.
  2. Выделяют часть для первого деления. Оно должно делиться на делимое с остатком.
  3. При помощи таблицы умножения определяем, сколько раз может поместиться делитель в выделенной части. Важно указать ребенку, что ответ не должен превышать 9.
  4. Выполнить умножение полученного числа на делитель и записать его в левой части уголка.
  5. Далее, нужно найти разницу между частью делимого и полученным произведением.
  6. Полученное число записывают под чертой и сносят следующее разрядное число. Такие действия выполняются до того периода, пока в остатке не останется 0.

Наглядный пример для ученика и родителей

Деление в столбик можно наглядно объяснить на этом примере.

  1. Записывают в столбик 2 числа: делимое — 536 и делитель — 4.
  2. Первая часть для деления должна делиться на 4 и частное должно быть менее 9. Для этого подходит цифра 5.
  3. 4 поместиться в 5 всего 1 раз, поэтому в ответе записываем 1, а под 5 — 4.
  4. Далее, выполняется вычитание: из 5 отнимается 4 и под чертой записывается 1.
  5. К единице сносится следующее разрядное число — 3. В тринадцати (13) — 4 поместится 3 раза. 4х3= 12. Двенадцать записывают под 13-ю, а 3 — в частное, как следующее разрядное число.
  6. Из 13 вычитают 12, в ответе получают 1. Снова сносят следующее разрядное число — 6.
  7. 16 снова делится на 4. В ответ записывают 4, а в столбик деления — 16, подводят черту и в разнице 0.

Решив примеры на деление в столбик со своим ребенком несколько раз, можно достичь успехов в быстром выполнении задач в средней школе.

примеры, объяснение. Разделяем столбиком – легко и быстро

Деление столбиком неотъемлемая часть школьной программы и необходимое знание для ребенка. Чтобы избежать проблем на уроках и с их выполнением, следует давать ребенку основные знания еще с маленького возраста.

Гораздо легче объяснять ребенку определенные вещи и процессы в игровой форме, а не в формате стандартного урока (хотя на сегодняшний день существует достаточно разнообразных методик обучения в разных формах).

Из этой статьи вы узнаете


Принцип деления для малышей

Дети постоянно сталкиваются с разными математическими терминами, даже не подозревая, откуда они. Ведь многие мамочки, в форме игры, объясняют ребенку, что папы больше тарелка, в садик ходить дальше, чем в магазин и другие незамысловатые примеры. Всё это представляет ребенку первоначальное впечатление о математике, еще до похода ребёнка в первый класс.

Чтобы научить ребёнка делить без остатка, а позже с остатком, необходимо прямо предложить поиграть малышу в игры с делением. Разделите, например, конфеты между собой, а затем по очереди добавляйте следующих участников.

Сначала ребенок будет делить конфеты, отдавая каждому участнику по одной. А в конце вместе сделаете вывод. Следует пояснить, что «разделить» — значит всем одинаковое число конфет.

Если Вам необходимо растолковать этот процесс с помощью цифр, то можно привести пример в форме игры. Можно сказать, что цифра – это конфета. Следует объяснить, что число конфет, которые нужно делить между участниками – делимое. А количество человек, на которых делят эти конфеты – это делитель.

Потом следует показать это все наглядно, привести «живые» примеры, чтобы быстрее научить кроху делить. Играя, он намного быстрее все поймет и усвоит. Пока алгоритм объяснить будет сложно, и сейчас это не нужно.

Как обучить малыша делению в столбик

Объяснение крохе разных математических действий – это хорошая подготовка к походу в класс, особенно математический класс. Если Вы решили перейти к обучению ребенка делению столбиком, значит такие действия как сложение, вычитание, и что такое таблица умножения он уже усвоил.

Если же это у него все еще вызывает некоторые сложности, то нужно подтянуть все эти знания. Стоит напомнить алгоритм действий предыдущих процессов, научить свободно пользоваться своими знаниями. В противном случае малыш просто запутается во всех процессах, и перестанет что-либо понимать.

Для облегчения понимания этого, сейчас есть таблица деления для малышей. Принцип у нее такой же, как и у таблиц умножения. Но нужна ли уже такая таблица, если малыш знает таблицу умножения? Это зависит от школы и учителя.

При формировании понятия «деление» нужно обязательно делать все в игровой форме, приводить все примеры на знакомых ребенку вещах и предметах.

Очень важно, чтобы все предметы были четного числа, чтобы малышу было ясно, что итогом являются равные части. Это будет правильно, поскольку позволит крохе осознать, что деление — процесс обратный умножению. Если предметы будут нечетного количества, то итог выйдет с остатком и малыш запутается.

Умножаем и делим с помощью таблицы

При объяснении малышу взаимосвязи между умножением и делением, необходимо это все наглядно показывать на каком-либо примере. Например: 5 х 3 = 15. Вспомните, что итог умножения это произведение двух чисел.

И только после этого, объясняйте, что это обратный процесс к умножению и продемонстрируйте это наглядно с помощью таблицы.

Скажите, что нужно поделить результат «15» — на какой-то из множителей («5»/ «3»), и итогом будет постоянно иной, не принимавший участие в делении, множитель.

Также необходимо растолковать малышу, как правильно называются категории, которые выполняют деление: делимое, делитель, частное. И снова с помощью примера покажите, что из них является конкретной категорией.

Деление столбиком вещь не очень сложная, у нее есть свой легкий алгоритм, которому малыша нужно научить. После закрепления всех этих понятий и знаний, можно переходить к дальнейшему обучению.

В принципе, родителям стоит выучить с любимым чадом таблицу умножения в обратном порядке, и наизусть ее запомнить, так как это будет нужным при обучении делению столбиком.

Это делать необходимо до похода в первый класс, чтобы ребенку в школе было намного легче освоиться, и успевать за школьной программой, и чтобы класс из-за небольших неудач не начал дразнить ребенка. Таблица умножения есть и в школе, и в тетрадях, поэтому носить отдельную таблицу в школу не придется.

Делим с помощью столбика

Прежде чем приступить к занятию, нужно вспомнить названия цифр при делении. Что такое делитель, делимое и частное. Ребенок должен без ошибок делить эти цифры на правильные категории.

Самое главное при обучении деления столбиком, это усвоить алгоритм, который, в общем, довольно простой. Но сначала объясните ребенку значение слова «алгоритм», если он забыл его или до этого не изучал.

В том случае, если кроха прекрасно разбирается в таблице умножения и обратного деления, у него не будет никаких сложностей.

Однако на полученном результате долго задерживаться нельзя, необходимо регулярно тренировать приобретенные умения и навыки. Двигайтесь далее, как только станет ясно, что малыш понял принцип метода.

Необходимо научить малыша делить столбиком без остатка и с остатком, чтобы ребенок не пугался, что у него что-то не получилось разделить правильно.

Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:

  • в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
  • в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.

Нужно побуждать интерес малыша к математическим процессам, чтобы этот урок в школе приносил ему удовольствие и желание учиться, и не мотивировать его на одних на уроках, но и в жизни.

Ребенок должен носить разные инструменты для уроков математики, учиться ими пользоваться. Однако если ребенку тяжело все носить, то не стоит его перегружать.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком
.

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым
, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление
многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик
. Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.

Итак, поделим 354

на 2

. Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:

Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.

Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое
, для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.

3

больше 2

, значит 3

и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:

Для того чтобы 3

разделить на 2

вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.

2 × 1
= 2
(2

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2

меньше 3

, а 4

больше, значит, берем первый пример и множитель 1

.

Записываем 1

в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:

Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:

Полученное значение сравниваем с делителем. 15

больше 2

, значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15

на 2

вновь вспоминаем таблицу умножения на 2

и находим наибольшее произведение, которое меньше 15

:

2 × 7
= 14
(14

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Искомый множитель 7

, записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:

Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое
. Спускаем следующий разряд делимого:

Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:

2 × 7
= 14

Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:

Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно
.

Усложним задачу и приведем другой пример:

1020 ÷ 5

Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:

Разряд тысяч делимого составляет 1

, сравниваем с делителем:

1

Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:

10 > 5

– мы нашли неполное делимое.

Делим 10

на 5

, получаем 2

, записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.

10 – 10 = 0

0

мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:

Сравниваем второе неполное делимое с делителем.

2

Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0

:

20 ÷ 5 = 4

Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0

, значит пример решён правильно
.

И ещё 2 правила деления в столбик:

1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:

Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.

2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:

Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.

  1. Размещаем делимое слева, делитель справа. Помним, что делимое мы делим, поразрядно выделяя неполные делимые и деля их последовательно на делитель. Разряды в неполное делимое выделяются слева направо от старших к младшим.
  2. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить.
  3. Определяем первый неполный делитель:

а)
выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;

б)
сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в)
, если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4
;

в)
добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б)
.

  1. Определяем сколько разрядов будет в частном, и ставим столько точек на месте частного (под делителем) сколько будет в нем разрядов. Одна точка (один разряд) за все первое неполное делимое и остальных точек (разрядов) столько же, сколько осталось разрядов в делимом после выделения неполного делимого.
  2. Делим неполное делимое на делитель, для этого находим число, при умножении которого на делитель получилось бы число либо равное неполному делимому, либо меньше его.
  3. Найденное число записываем на место очередного разряда частного (точки), а результат умножения его на делитель записываем под неполным делимым и находим их разность.
  4. Если найденная разность меньше или равна неполному делимому значит, мы правильно поделили неполное делимое на делитель.
  5. Если в делимом остались еще разряды, то продолжаем деление, иначе переходим к пункту 10
    .
  6. Опускаем к разности следующий разряд делимого и получаем очередное неполное делимое:

а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;

б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;

в) переходим к пункту (а).

10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0

, то мы правильно выполнили деление
.

Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

  1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
  2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
  3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

  • До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
  • Записать делимое. Справа от него — делитель.
  • Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
  • Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
  • Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
  • Записать результат от умножения этого числа на делитель.
  • Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
  • Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
  • Снова подобрать число для ответа.
  • Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

  • Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
  • После вычитания получается остаток 345.
  • К нему нужно снести цифру 2.
  • В числе 3452 четыре раза умещается 863.
  • Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
  • Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

  • Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
  • Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
  • Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
  • Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
  • Снести к остатку 0.
  • Снова взять по 8.
  • Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
  • Теперь брать нужно 7.
  • Результат умножения — 224, остаток — 16.
  • Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Деление столбиком или, правильнее сказать, письменный прием деления уголком, школьники проходят уже в третьем классе начальной школы, но зачастую этой теме уделяется так мало внимания, что к 9-11 классу не все ученики могут им свободно пользоваться. Деление столбиком на двузначное число проходят в 4 классе, как и деление на трехзначное число, а далее этот прием используется только как вспомогательный при решении каких-либо уравнений или нахождении значения выражения.

Очевидно, что уделив делению столбиком больше внимания, чем заложено в школьной программе, ребенок облегчит себе выполнение заданий по математике вплоть до 11 класса. А для этого нужно немногое — понять тему и позаниматься, порешать, держа алгоритм в голове, довести навык вычисления до автоматизма.

Алгоритм деления столбиком на двузначное число

Как и при делении на однозначное число, будем последовательно переходить от деления более крупных счетных единиц к делению более мелких единиц.

1. Находим первое неполное делимое
. Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. Это значит, что первое неполное делимое всегда больше делителя. При делении на двузначное число в первом неполном делимом минимум 2 знака.

Примеры 76
8:24. Первое неполное делимое 76
265
:53 26 меньше 53, значит не подходит. Нужно добавить следующую цифру (5). Первое неполное делимое 265.

2. Определяем количество цифр в частном
. Для определения числа цифр в частном следует помнить, что неполному делимому соответствует одна цифра частного, а всем остальным цифрам делимого — еще по одной цифре частного.

Примеры 768:24. Первое неполное делимое 76. Ему соответствует 1 цифра частного. После первого неполного делителя есть еще одна цифра. Значит в частном будет всего 2 цифры.
265:53. Первое неполное делимое 265. Оно даст 1 цифру частного. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет всего 1 цифра.
15344:56. Первое неполное делимое 153, а после него еще 2 цифры. Значит в частном будет всего 3 цифры.

3. Находим цифры в каждом разряде частного
. Сначала найдем первую цифру частного. Подбираем такое целое число, чтобы при умножении его на наш делитель получилось число, максимально приближенное к первому неполному делимому. Цифру частного записываем под уголок, а значение произведения вычитаем столбиком из неполного делителя. Записываем остаток. Проверяем, что он меньше делителя.

Затем находим вторую цифру частного. Переписываем в строку с остатком цифру, следующую за первым неполным делителем в делимом. Полученное неполное делимое снова делим на делитель и так находим каждое последующее число частного, пока не закончатся цифры делителя.

4. Находим остаток
(если есть).

Если цифры частного закончились и получился остаток 0, то деление выполнено без остатка. В ином случае значение частного записывается с остатком.

Так же выполняется деление на любое многозначное число (трехзначное, четырехзначное и т. д.)

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

Найдем значение частного чисел 265 и 53.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

Найдем значение частного чисел 184 и 23.

В частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

Найдем значение частного чисел 768 и 24.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

Найдем значение частного чисел 15344 и 56.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое 414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Пример на деление с остатком

Чтобы провести аналогию, возьмем пример, похожий на пример выше, и отличающийся лишь последней цифрой

Найдем значение частного чисел 15345:56

Делим сначала точно так же, как в примере 15344:56, пока не дойдем до последнего неполного делимого 225. Разделим 225 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 225 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 5). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 225-224=1, деление выполнено с остатком.

Значение частного чисел 15345 и 56 равно 274 (остаток 1).

Деление с нулем в частном

Иногда в частном одним из чисел получается 0, и дети зачастую пропускают его, отсюда неправильное решение. Разберем, откуда может взяться 0 и как его не забыть.

Найдем значение частного чисел 2870:14

Первое неполное делимое — 28 сотен. Значит в частном будет 3 цифры. Ставим под уголок три точки. Это важный момент. Если ребенок потеряет ноль, останется лишняя точка, которая заставит задуматься, что где-то упущена цифра.

Определим первую цифру частного. Разделим 28 на 14. Подбором получается 2. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 14*2=28. Цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном. 28-28=0.

Получился нулевой остаток. Мы обозначили его розовым для наглядности, но записывать его не нужно. Переписываем в строку с остатком цифру 7 из делимого. Но 7 не делится на 14 с получением целого числа, поэтому записываем на месте десятков в частном 0.

Теперь переписываем в ту же строку последнюю цифру делимого (количество единиц).

70:14=5 Записываем вместо последней точки в частном цифру 5. 70-70=0. Остатка нет.

Значение частного чисел 2870 и 14 равно 205.

Деление нужно непременно проверить умножением.

Примеры на деление для самопроверки

Найдите первое неполное делимое и определите количество цифр в частном.

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

Усвоили тему, а теперь потренируйтесь решить несколько примеров столбиком самостоятельно.

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

Поделись статьей:

Похожие статьи

Как разделить в Excel и обработать # DIV / 0! ошибка

В руководстве показано, как использовать формулу деления в Excel для деления чисел, ячеек или целых столбцов и как обрабатывать ошибки Div / 0.

Как и другие основные математические операции, Microsoft Excel предоставляет несколько способов деления чисел и ячеек. Какой из них использовать, зависит от ваших личных предпочтений и конкретной задачи, которую вам нужно решить. В этом руководстве вы найдете несколько хороших примеров использования формулы деления в Excel, которые охватывают наиболее распространенные сценарии.

Символ разделения в Excel

Обычный способ сделать деление — использовать знак деления. В математике операция деления обозначается символом обелуса (÷). В Microsoft Excel символ разделения представляет собой косую черту (/).

При таком подходе вы просто пишете выражение типа = a / b без пробелов, где:

  • a — это дивиденд — число, которое вы хотите разделить, и
  • b — делитель — число, на которое делится дивиденд.

Как делить числа в Excel

Чтобы разделить два числа в Excel, вы вводите знак равенства (=) в ячейку, затем вводите число, которое нужно разделить, затем косую черту, затем число, на которое нужно делить, и нажмите клавишу Enter, чтобы вычислить формула.

Например, чтобы разделить 10 на 5, введите в ячейку следующее выражение: = 10/5

На снимке экрана ниже показано еще несколько примеров простой формулы деления в Excel:

Когда формула выполняет более одной арифметической операции, важно помнить о порядке вычислений в Excel (PEMDAS): сначала скобки, затем возведение в степень (возведение в степень), затем умножение или деление в зависимости от того, что наступит раньше, а затем сложение или вычитание в зависимости от того, что наступит раньше.

Как разделить ячейку в Excel

Чтобы разделить две ячейки в Excel, используйте символ разделения точно так же, как показано в приведенных выше примерах, но вместо чисел укажите ссылки на ячейки.

Например:

  • Чтобы разделить ячейку A2 на 5: = A2 / 5
  • Чтобы разделить ячейку A2 на ячейку B2: = A2 / B2
  • Чтобы последовательно разделить несколько ячеек , введите ссылки на ячейки, разделенные символом деления. Например, чтобы разделить число в A2 на число в B2, а затем разделить результат на число в C2, используйте следующую формулу: = A2 / B2 / C2

Функция деления в Excel (QUOTIENT)

Скажу прямо: в Excel нет функции разделения.Всякий раз, когда вы хотите разделить одно число на другое, используйте символ деления, как объяснено в приведенных выше примерах.

Однако, если вы хотите вернуть только часть деления целого числа и отбросить остаток, используйте функцию QUOTIENT:

ЧИСЛО (числитель, знаменатель)

Где:

  • Числитель (обязательно) — делимое, т.е. число, которое нужно разделить.
  • Знаменатель (обязательный) — делитель, т.е.е. число, на которое нужно разделить.

Когда два числа делят поровну без остатка , символ деления и формула QUOTIENT возвращают одинаковый результат. Например, = 10/5 и = QUOTIENT (10, 5) возвращают 2.

Когда после деления остается остаток , знак деления возвращает десятичное число, а функция ЧИСЛО возвращает только целую часть. Например, = 5/4, возвращает 1,25, а = QUOTIENT (5,4) возвращает 1.

3 вещи, которые следует знать о функции QUOTIENT

Как бы просто не выглядело, функция Excel QUOTIENT все же имеет несколько предостережений, о которых вы должны знать:

  1. Аргументы числителя и знаменателя должны быть представлены в виде чисел, ссылок на ячейки, содержащие числа, или других функций, возвращающих числа.
  2. Если какой-либо из аргументов не является числовым, формула QUOTIENT возвращает #VALUE! ошибка.
  3. Если знаменатель равен 0, QUOTIENT возвращает ошибку деления на ноль (# DIV / 0!).

Как разделить столбцы в Excel

Разделить столбцы в Excel тоже просто. Это можно сделать, скопировав обычную формулу деления вниз по столбцу или используя формулу массива. Зачем использовать формулу массива для такой тривиальной задачи? Вы узнаете причину в мгновение ока 🙂

Как разделить два столбца в Excel, скопировав формулу

Чтобы разделить столбцы в Excel, выполните следующие действия:

  1. Разделите две ячейки в самой верхней строке, например: = A2 / B2
  2. Вставьте формулу в первую ячейку (скажем, C2) и дважды щелкните маленький зеленый квадрат в правом нижнем углу ячейки, чтобы скопировать формулу вниз по столбцу.Сделанный!

Поскольку мы используем относительные ссылки на ячейки (без знака $), наша формула деления будет изменяться в зависимости от относительного положения ячейки, в которую она копируется:

Наконечник. Аналогичным образом можно разделить две строки в Excel. Например, чтобы разделить значения в строке 1 на значения в строке 2, вы помещаете = A1 / A2 в ячейку A3, а затем копируете формулу вправо в необходимое количество ячеек.

Как разделить один столбец на другой с помощью формулы массива

В ситуациях, когда вы хотите предотвратить случайное удаление или изменение формулы в отдельных ячейках, вставьте формулу массива во весь диапазон.

Например, чтобы разделить значения в ячейках A2: A8 на значения в B2: B8 построчно, используйте эту формулу: = A2: A8 / B2: B8

Чтобы правильно вставить формулу массива, выполните следующие действия:

  1. Выберите весь диапазон, в который вы хотите ввести формулу (C2: C8 в этом примере).
  2. Введите формулу в строке формул и нажмите Ctrl + Shift + Enter, чтобы завершить ее. Как только вы это сделаете, Excel заключит формулу в {фигурные скобки}, указывая, что это формула массива.

В результате вы получите числа в столбце A, разделенные на числа в столбце B одним махом. Если кто-то попытается изменить вашу формулу в отдельной ячейке, Excel покажет предупреждение о том, что часть массива нельзя изменить.

Чтобы удалить или изменить формулу , вам нужно сначала выбрать весь диапазон, а затем внести изменения. Чтобы расширить формулу на новые строки, выберите весь диапазон, включая новые строки, измените ссылки на ячейки в строке формул, чтобы разместить новые ячейки, а затем нажмите Ctrl + Shift + Enter, чтобы обновить формулу.

Как разделить столбец на число в Excel

В зависимости от того, хотите ли вы, чтобы выходные данные были формулами или значениями, вы можете разделить числовой столбец на постоянное число с помощью формулы деления или функции Специальная вставка .

Разделите столбец на номер по формуле

Как вы уже знаете, самый быстрый способ выполнить деление в Excel — использовать символ разделения. Итак, чтобы разделить каждое число в данном столбце на одно и то же число, вы помещаете обычную формулу деления в первую ячейку, а затем копируете формулу вниз по столбцу.Вот и все!

Например, чтобы разделить значения в столбце A на число 5, вставьте следующую формулу в A2, а затем скопируйте ее в любое количество ячеек: = A2 / 5

Как объяснено в приведенном выше примере, использование относительной ссылки на ячейку (A2) обеспечивает правильную настройку формулы для каждой строки. То есть формула в B3 становится = A3 / 5 , формула в B4 становится = A4 / 5 и т. Д.

Вместо того, чтобы указывать делитель непосредственно в формуле, вы можете ввести его в какую-либо ячейку, например, D2, и разделить на эту ячейку.В этом случае важно заблокировать ссылку на ячейку знаком доллара (например, $ D $ 2), сделав ее абсолютной ссылкой, поскольку эта ссылка должна оставаться постоянной независимо от того, куда копируется формула.

Как показано на снимке экрана ниже, формула = A2 / $ D $ 2 возвращает точно такие же результаты, как = A2 / 5 .

Разделите столбец на одно и то же число с помощью специальной вставки

Если вы хотите, чтобы результаты были значениями, а не формулами, вы можете выполнить деление обычным способом, а затем заменить формулы на значения.Или вы можете добиться того же результата быстрее с помощью опции Специальная вставка > Divide .

  1. Если вы не хотите переопределять исходные числа, скопируйте их в столбец, в котором вы хотите получить результаты. В этом примере мы копируем числа из столбца A в столбец B.
  2. Поместите делитель в какую-нибудь ячейку, скажем D2, как показано на скриншоте ниже.
  3. Выберите ячейку делителя (D5) и нажмите Ctrl + C, чтобы скопировать ее в буфер обмена.
  4. Выберите ячейки, которые хотите умножить (B2: B8).
  5. Нажмите Ctrl + Alt + V, затем I, что является ярлыком для Специальная вставка > Divide , и нажмите клавишу Enter.

Или щелкните правой кнопкой мыши выбранные числа, выберите Специальная вставка… из контекстного меню, затем выберите Разделить в разделе Операция и нажмите OK.

В любом случае каждое из выбранных чисел в столбце A будет разделено на число в D5, и результаты будут возвращены в виде значений, а не формул:

Как разделить на процент в Excel

Поскольку проценты являются частями более крупного целого, некоторые люди думают, что для вычисления процента от данного числа вы должны разделить это число на процент.Но это же заблуждение! Чтобы найти проценты, нужно умножать, а не делить. Например, чтобы найти 20% от 80, вы умножаете 80 на 20% и в результате получаете 16: 80 * 20% = 16 или 80 * 0,2 = 16.

В каких ситуациях вы делите число на процент? Например, чтобы найти X, если определенный процент от X равен Y. Чтобы прояснить ситуацию, давайте решим эту задачу: 100 — это 25% от какого числа?

Чтобы получить ответ, преобразуйте задачу в это простое уравнение:

X = Y / P%

Если Y равно 100, а P равно 25%, формула принимает следующий вид: = 100/25%

Поскольку 25% — это 25 частей от сотни, вы можете смело заменять процентное значение десятичным числом: = 100/0.25

Как показано на скриншоте ниже, результат обеих формул будет 400:

Дополнительные примеры процентных формул см. В разделе Как рассчитать проценты в Excel.

Ошибка Excel DIV / 0

Деление на ноль — это операция, для которой нет ответа, поэтому она запрещена. Всякий раз, когда вы пытаетесь разделить число на 0 или на пустую ячейку в Excel, вы получите ошибку деления на ноль (# DIV / 0!). В некоторых ситуациях эта индикация ошибки может быть полезна, предупреждая вас о возможных сбоях в вашем наборе данных.

В других сценариях формулы могут просто ждать ввода, поэтому вы можете заменить обозначения ошибок Excel Div 0 пустыми ячейками или своим собственным сообщением. Это можно сделать с помощью формулы ЕСЛИ или функции ЕСЛИОШИБКА.

Подавить ошибку # DIV / 0 с помощью IFERROR

Самый простой способ справиться с # DIV / 0! ошибка в Excel заключается в том, чтобы заключить формулу деления в функцию ЕСЛИОШИБКА следующим образом:

= ЕСЛИ ОШИБКА (A2 / B2; "")

Формула проверяет результат деления, и, если она оценивается как ошибка, возвращает пустую строку («»), иначе результат деления.

Обратите внимание на два рабочих листа ниже. Какой из них эстетичнее?

Примечание . Функция ЕСЛИОШИБКА в Excel маскирует не только # ДЕЛ / 0! ошибок, но все другие типы ошибок, такие как # Н / Д, # ИМЯ ?, # ССЫЛКА !, # ЗНАЧЕНИЕ !, и т. д. Если вы хотите подавить конкретные ошибки DIV / 0, используйте формулу ЕСЛИ, как показано в следующий пример.

Обработка ошибки Excel DIV / 0 с помощью формулы IF

Чтобы замаскировать только ошибки Div / 0 в Excel, используйте формулу ЕСЛИ, которая проверяет, равен ли делитель (или не равен) нулю.

Например:

= ЕСЛИ (B2 = 0, "", A2 / B2)

или

= ЕСЛИ (B2 <> 0, A2 / B2, "")

Если делителем является любое число, отличное от нуля, формулы делят ячейку A2 на B2. Если B2 равно 0 или пусто, формулы ничего не возвращают (пустая строка).

Вместо пустой ячейки вы также можете отобразить собственное сообщение, подобное этому:

= ЕСЛИ (B2 <> 0, A2 / B2, «Ошибка в вычислении»)

Как разделить с помощью Ultimate Suite для Excel

Если вы делаете первые шаги в Excel и еще не чувствуете себя комфортно с формулами, вы можете выполнить деление с помощью мыши.Все, что для этого требуется, — это установить наш Ultimate Suite в ваш Excel.

В одном из примеров, обсужденных ранее, мы разделили столбец на число с помощью специальной вставки Excel. Это потребовало большого количества движений мыши и двух ярлыков. Теперь позвольте мне показать вам более короткий способ сделать то же самое.

  1. Скопируйте числа, которые вы хотите разделить, в столбец «Результаты», чтобы предотвратить замену исходных чисел.
  2. Выберите скопированные значения (C2: C5 на скриншоте ниже).
  3. Перейдите на вкладку инструментов Ablebits> Группа Calculate и выполните следующие действия:
    • Выберите знак разделения (/) в поле Operation .
    • Введите число для деления в поле Значение .
    • Нажмите кнопку Рассчитать .

Готово! Весь столбец делится на указанное число в мгновение ока:

Как и в случае с Excel Paste Special, результатом деления будет значений , а не формул. Таким образом, вы можете безопасно переместить или скопировать вывод в другое место, не беспокоясь об обновлении ссылок на формулы. Вы даже можете переместить или удалить исходные числа, и ваши рассчитанные числа останутся в целости и сохранности.

Вот как вы делите в Excel с помощью формул или инструментов вычислений. Если вам интересно попробовать эту и многие другие полезные функции, включенные в Ultimate Suite for Excel, вы можете загрузить 14-дневную пробную версию.

Чтобы ближе познакомиться с формулами, обсуждаемыми в этом руководстве, загрузите наши примеры формул Excel Division.

Благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Вас также может заинтересовать

Как разделить в Excel в 2020 году (+ примеры и скриншоты)

Хотите узнать, как разделить в Microsoft Excel? Вы пришли в нужное место.

В этой статье я расскажу:

Как разделить в Excel ярлык

Чтобы разделить в Excel, вам нужно написать формулу с помощью арифметического оператора деления, символа косой черты (/).

Вы можете сделать это тремя способами: с самими значениями, с помощью ссылок на ячейки или с помощью функции ЧИСЛО.

Пр. = 20/10, = A2 / A3, = ЧИСЛО (A2, A3)

Связано: Не забудьте проверить, как умножать в Excel, как вычитать в Excel и как складывать в Excel!

Если вы хотите научиться делить в Excel, вам нужно научиться писать формулы Excel.

Формулы

Excel — это выражения, используемые для отображения значений, рассчитываемых на основе введенных вами данных, и обычно используются для выполнения различных математических, статистических и логических операций.

Итак, прежде чем мы перейдем к деталям того, как делить в Excel, вот несколько напоминаний, которые следует иметь в виду при написании формул Excel:

  • Все формулы Excel должны начинаться со знака равенства (=). Это должен , чтобы Excel распознал его как формулу.
  • В ячейках будет отображаться результат формулы, а не фактическая формула. Таким образом, используя ссылки на ячейки, а не просто вводя данные в ячейку, если вам нужно будет вернуться позже, значения будут легче понять.
  • При использовании арифметических операторов в формуле помните порядок операций (я лично ссылаюсь на аббревиатуру PEMDAS: P arenthesis, E xponentiation, M ultiplication, D ivision, A ddition, S ddition, S убтракция.) Ниже вы найдете пример того, как порядок операций применяется к формулам в Excel.

Как разделить в ячейке

Чтобы разделить числа в ячейке, вам нужно написать формулу в указанной ячейке. Формула должна начинаться со знака равенства (=) и содержать арифметический оператор (/), необходимый для вычисления. В этом случае вы хотите разделить 20 на 2, поэтому ваша формула = 20/2.

После того, как вы ввели формулу, нажмите «Enter», и ваш результат отобразится.В этом примере формула деления = 20/2 дает результат 10 (см. Ниже).

Как делить клетки

Чтобы разделить ячейки, данные должны быть в отдельных ячейках, чтобы вы могли использовать ссылки на ячейки в формуле.

Ниже вы можете видеть, что формула деления была записана в ячейку C1 с использованием ссылок на ячейки, но данные нужно было вводить отдельно в ячейки A1 и B3.

После того, как вы ввели формулу, нажмите «Enter», и ваш результат отобразится.В этом примере формула деления = A1 / B3 дает результат 5 (см. Ниже).

Как разделить диапазон ячеек на постоянное число

Хотите разделить каждую ячейку диапазона на постоянное число? Написав формулу со знаком доллара ($), вы сообщаете Excel, что ссылка на ячейку является «абсолютной», то есть при копировании формулы в другие ячейки ссылка всегда будет на эту ячейку. В этом примере ячейка C2 является абсолютной.

При этом, чтобы разделить каждую ячейку в столбце A на постоянное число в C2, начните с написания формулы, как если бы вы делили ячейки, но добавьте «$» перед буквой столбца и номером строки.В этом случае ваша формула = A2 / $ C $ 2.

Затем перетащите формулу в другие ячейки диапазона. Это копирует формулу в новые ячейки, обновляя данные, но сохраняя константу.

Результаты будут отображаться при перетаскивании формулы (см. Ниже).

Как использовать функцию ЧАСТНОЕ

При делении иногда результаты будут иметь остаток. Например, если вы введете формулу умножения = 10/6 в Excel, ваш результат будет 1.6667.

Однако функция QUOTIENT возвращает только целую часть деления, но не остаток. Следовательно, вам следует использовать эту функцию, если вы хотите отказаться от остатка.

Чтобы использовать эту функцию, перейдите на вкладку «Формулы» и нажмите «Вставить функцию» или начните вводить «= QUOTIENT» в ячейке, в которую хотите поместить результат. Выберите «QUOTIENT».

Оттуда введите ссылки на ячейки (или числа) в функции. Обязательно разделяйте ссылки на ячейки запятой (,).

Нажмите «Enter», и появится целочисленный результат без остатка. Таким образом, вместо = 10/6, равного 1,6667, использование функции ЧИСЛО дает 1,

.

Вы готовы делить в Excel!

И все! В этой статье мы рассмотрели все, что вам нужно знать о том, как делить в Excel с помощью формул и функций.

Теперь возьмите свой компьютер и погрузитесь в Excel, чтобы попробовать его на себе!

Вам понравилась эта статья? Ознакомьтесь с нашими статьями о том, как объединить ячейки в Excel и как заблокировать ячейки в Excel!

Как разделить в Excel

В Excel нет функции РАЗДЕЛЕНИЕ.Просто используйте косую черту (/), чтобы разделить числа в Excel .

1. Приведенная ниже формула делит числа в ячейке. В качестве оператора деления используйте косую черту (/). Не забывайте, всегда начинайте формулу со знака равенства (=).

2. Приведенная ниже формула делит значение в ячейке A1 на значение в ячейке B1.

3. Excel отображает # DIV / 0! ошибка, когда формула пытается разделить число на 0 или пустую ячейку.

4. Приведенная ниже формула делит 43 на 8. Ничего особенного.

5. Вы можете использовать функцию ЧИСЛО в Excel, чтобы вернуть целую часть деления. Эта функция отбрасывает остаток от деления.

6. Функция МОД в Excel возвращает остаток от деления.

Посмотрите на снимок экрана ниже. Чтобы разделить числа в одном столбце на числа в другом столбце, выполните следующие действия.

7а. Сначала разделите значение в ячейке A1 на значение в ячейке B1.

7б. Затем выберите ячейку C1, щелкните в правом нижнем углу ячейки C1 и перетащите ее в ячейку C6.

Посмотрите на снимок экрана ниже. {2} + 54x [/ latex] .Длина твердого тела равна 3 x ; ширина определяется как [латекс] x — 2 [/ латекс]. Чтобы найти высоту твердого тела, мы можем использовать полиномиальное деление, о котором идет речь в этом разделе.

Мемориал Линкольна, Вашингтон, округ Колумбия (источник: Рон Когсуэлл, Flickr)

Полиномиальное деление в столбик

Мы знакомы с алгоритмом деления в столбик для обычной арифметики. Мы начинаем с деления дивиденда на цифры, которые имеют наибольшее разрядное значение.Мы делим, умножаем, вычитаем, включаем цифру в позицию следующего разряда и повторяем. Например, разделим 178 на 3 в столбик.

Другой способ взглянуть на решение — как на сумму частей. Это должно показаться знакомым, поскольку это тот же метод, который используется для проверки деления в элементарной арифметике.

[латекс] \ begin {array} {l} \ left (\ text {divisor} \ cdot \ text {quotient} \ right) \ text {+ остаток} \ text {= divisor} \ hfill \\ \ left (3 \ cdot 59 \ right) +1 = 177 + 1 = 178 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Мы называем это алгоритмом деления и обсудим его более формально после рассмотрения примера.{2} -7x + 18 \ справа) -31 [/ латекс]

Мы можем идентифицировать дивиденд , делитель , частное и остаток .

Запись результата таким образом иллюстрирует алгоритм деления.

Общее примечание: алгоритм деления

Алгоритм деления утверждает, что для данного полиномиального делимого [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] и ненулевого полиномиального делителя [латекс] d \ left (x \ right) [/ latex], где степень [латекса] d \ left (x \ right) [/ latex] меньше или равна степени [latex] f \ left (x \ right) [/ latex], существуют уникальные многочлены [латекс] q \ left (x \ right) [/ latex] и [latex] r \ left (x \ right) [/ latex] такие, что

[латекс] f \ left (x \ right) = d \ left (x \ right) q \ left (x \ right) + r \ left (x \ right) [/ латекс]

[латекс] q \ left (x \ right) [/ latex] — это частное, а [latex] r \ left (x \ right) [/ latex] — остаток.Остаток либо равен нулю, либо имеет степень строго меньше, чем [latex] d \ left (x \ right) [/ latex].

Если [латекс] r \ left (x \ right) = 0 [/ latex], то [latex] d \ left (x \ right) [/ latex] равномерно делится на [латекс] f \ left (x \ right) [/латекс]. Это означает, что оба [латекс] d \ left (x \ right) [/ latex] и [latex] q \ left (x \ right) [/ latex] являются факторами [латекса] f \ left (x \ right) [ /латекс].

Как сделать: для заданного полинома и бинома используйте деление в столбик, чтобы разделить полином на бином

  1. Задайте проблему разделения.
  2. Определите первый член частного, разделив главный член дивиденда на главный член делителя.
  3. Умножьте ответ на делитель и запишите его под аналогичными членами дивиденда.
  4. Вычтите нижний бином из числа над ним.
  5. Уменьшите следующий срок выплаты дивидендов.
  6. Повторяйте шаги 2–5 до последнего члена дивиденда.
  7. Если остаток не равен нулю, выразите дробью, используя делитель в качестве знаменателя.{2} + 4x + 5 [/ latex] на [latex] x + 2 [/ latex] с использованием алгоритма длинного деления.

    Окончательная форма процесса выглядела так:

    В таблице много повторов. Если мы не будем записывать переменные, а вместо этого выстроим их коэффициенты в столбцы под знаком деления, а также исключим частичные продукты, у нас уже будет более простая версия всей проблемы.

    Синтетическое подразделение несет в себе это упрощение еще на несколько шагов. Сверните таблицу, перемещая каждую строку вверх, чтобы заполнить все свободные места.Кроме того, вместо деления на 2, как при делении целых чисел, а затем умножения и вычитания среднего произведения, мы меняем знак «делителя» на –2, умножаем и складываем. Процесс начинается с понижения ведущего коэффициента.

    Затем мы умножаем его на «делитель» и складываем, повторяя этот процесс столбец за столбцом, пока не останется записей. 2} -7x + 18 [/ latex], а остаток равен –31.Процесс будет более понятен в следующих примерах.

    A Общее примечание: Подразделение синтетических материалов

    Синтетическое деление — это сокращение, которое можно использовать, когда делитель является биномом в форме x k . В синтетического деления только коэффициенты используются в процессе деления.

    Как сделать: даны два многочлена, используйте синтетическое деление, чтобы разделить

    1. Запишите k вместо делителя.
    2. Напишите коэффициенты дивиденда.
    3. Понизьте ведущий коэффициент.
    4. Умножьте старший коэффициент на k . Напишите продукт в следующем столбце.
    5. Добавьте условия второго столбца.
    6. Умножьте результат на k . Напишите продукт в следующем столбце.
    7. Повторите шаги 5 и 6 для остальных столбцов.
    8. Используйте нижние числа для записи частного. Число в последнем столбце является остатком и имеет степень 0, следующее число справа имеет степень 1, следующее число справа имеет степень 2 и т. Д.{2} -3x — 36 [/ латекс] по [латекс] х — 3 [/ латекс].

      Показать решение

      Начнем с создания синтетического подразделения. Напишите k и коэффициенты.

      Понизьте ведущий коэффициент. Умножьте старший коэффициент на k .

      Продолжайте, добавляя числа во второй столбец. Умножьте полученное число на k . Запишите результат в следующий столбец. Затем сложите числа в третьем столбце.

      Результат: [латекс] 5x + 12 [/ латекс].{2} + 54х [/ латекс]. Длина твердого тела равна 3 x , а ширина — x -2. Найдите высоту твердого тела.

      Показать решение

      Есть несколько способов решения этой проблемы. Нам нужно разделить выражение для объема твердого тела на выражения для длины и ширины. Создадим эскиз.

      Теперь мы можем написать уравнение, подставив известные значения в формулу для объема прямоугольного твердого тела. {2} + 54x = 3x \ cdot \ left (x — 2 \ right) \ cdot h \ end {array} [/ latex]

      Чтобы найти h , сначала разделите обе части на 3 x .{2} -4x + 1 [/ латекс]

      Ключевые уравнения

      Алгоритм деления [латекс] f \ left (x \ right) = d \ left (x \ right) q \ left (x \ right) + r \ left (x \ right) [/ латекс] где [латекс] q \ left ( x \ right) \ ne 0 [/ латекс]

      Ключевые понятия

      • Полиномиальное деление в столбик можно использовать для деления полинома на любой полином равной или меньшей степени.
      • Алгоритм деления говорит нам, что полиномиальное делимое можно записать как произведение делителя и частного, добавленного к остатку.
      • Синтетическое деление — это ярлык, который можно использовать для деления полинома на бином вида x — k .
      • Полиномиальное деление можно использовать для решения прикладных задач, в том числе для определения площади и объема.

      Глоссарий

      Алгоритм деления
      с полиномиальным делимым [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] и ненулевым полиномиальным делителем [латекс] d \ left (x \ right) [/ latex], где степень [латекса] d \ left (x \ right) [/ latex] меньше или равно степени [latex] f \ left (x \ right) [/ latex], существуют уникальные многочлены [latex] q \ left (x \ right ) [/ latex] и [latex] r \ left (x \ right) [/ latex] такие, что [latex] f \ left (x \ right) = d \ left (x \ right) q \ left (x \ right ) + r \ left (x \ right) [/ latex], где [latex] q \ left (x \ right) [/ latex] — частное, а [latex] r \ left (x \ right) [/ latex] — это остаток.Остаток либо равен нулю, либо имеет степень строго меньше, чем [latex] d \ left (x \ right) [/ latex].
      синтетическое подразделение
      быстрый метод, который можно использовать для деления полинома на бином в форме x k

      Подразделение синтетических материалов

      синтетический
      Подразделение: Процесс
      (стр.
      1 из 4)

      Разделы: Введение,
      Наработанные примеры, поиск
      нули, Факторинговые полиномы

      Синтетическое подразделение
      сокращенный или сокращенный метод полинома
      разделение в
      частный случай деления на линейный множитель — а это только
      работает в этом случае.Синтетическое деление обычно используется, но не
      для разделения множителей, но для нахождения нулей (или корней) многочленов.
      Подробнее об этом позже.

      Если вам дается, скажем,
      полиномиальное уравнение y
      = x 2 + 5x + 6,
      вы можете разложить полином на множители как y
      = ( x + 3) ( x + 2). потом
      вы можете найти нули y
      установив каждый коэффициент равным нулю и решив.Вы обнаружите, что x
      = 2 и x
      = 3 — два нуля
      из и .

      Однако вы также можете
      работать в обратном направлении от нулей, чтобы найти исходный многочлен. Для
      Например, если вам дано, что x
      = 2 и x
      = 3 — нули
      квадратичной, то вы знаете, что x
      + 2 = 0, поэтому x
      + 2 — коэффициент, а
      х
      + 3 = 0, поэтому x
      +3 — фактор.Следовательно,
      вы знаете, что квадратичный должен иметь вид y
      = a ( x + 3) ( x + 2).

      (Дополнительный номер « а »
      в этом последнем предложении есть, потому что, когда вы работаете
      назад от
      нули, вы не знаете, к какой квадратичной вы работаете. Для
      любое ненулевое значение « a «,
      ваш квадратичный по-прежнему будет иметь те же нули.Но вопрос стоимости
      из « а »
      это просто техническое соображение; пока вы видите отношения
      между нулями и множителями, это все, что вам действительно нужно знать
      для этого урока.)

      В любом случае, это
      многословный способ сказать, что если x
      n — коэффициент,
      затем x
      = n — это
      ноль, и если x = n
      является нулем, тогда x
      n — фактор.И это тот факт, который вы используете, когда делаете синтетическое деление.

      Давайте еще раз посмотрим на
      квадратичный сверху: y
      = x 2 + 5 x + 6.
      Из Рационального
      Тест на корни, ты
      знаю это
      1, 2, 3 и
      6 возможных нулей
      квадратичной. (И из приведенного выше факторинга вы знаете, что нули
      на самом деле 3
      и 2.)
      Как бы вы использовали синтетическое деление для проверки потенциальных нулей? Хорошо,
      подумай, как долго
      полиномиальное деление
      работает. Если мы догадаемся, что
      x = 1 — ноль,
      тогда это означает, что x
      1 — коэффициент
      квадратичный. А если это фактор, то он будет делиться поровну; что
      есть, если разделить x 2
      + 5 x + 6 по
      х
      1, мы получили бы
      нулевой остаток.Проверим:

      Как и ожидалось (поскольку мы знаем
      что x
      1 не является фактором),
      мы получили ненулевой остаток. Как это выглядит в синтетическом дивизионе?
      Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

      Сначала напишите
      ТОЛЬКО коэффициенты внутри перевернутого символа деления:

      Убедитесь, что вы ушли
      комната внутри, под строкой коэффициентов, чтобы написать еще
      ряд чисел позже.

      Поставь тестовый ноль,
      х
      = 1, слева:

      Возьмите первое число
      внутри, представляя ведущий коэффициент, и переносим его вниз,
      без изменений, до символа деления ниже:

      Умножить
      это понижающее значение на тестовый ноль, и переносим результат вверх
      в следующий столбец:

      Добавить
      столбец:

      Умножить предыдущее
      значение переноса на тестовый ноль, а новый результат перенести в
      последний столбец:

      Добавить
      столбец:

      Этот последний перенос
      значение — остаток.

      Сравнивая, можно увидеть
      что мы получили тот же результат от синтетического деления, такое же частное
      (а именно 1 x
      + 6) и
      тот же остаток в конце (а именно, 12),
      как когда мы делали длинное деление:

      Результаты отформатированы
      по-разному, но вы должны понимать, что каждый формат предоставил нам
      результат, являющийся частным x
      + 6, а остаток
      из 12.


      Вы уже знаете
      (из приведенного выше факторинга), что x
      + 3 — фактор
      полинома, и, следовательно, x
      = 3 — ноль.

      Теперь сравните результаты деления в столбик и синтетического деления.
      когда мы используем коэффициент x
      + 3 (для
      длинное деление) и ноль x
      = 3 (для
      синтетическое подразделение):

      Как видно выше, в то время как
      результаты имеют другой формат, в остальном результаты такие же:

      В длинном дивизионе я
      делится на коэффициент x
      + 3 и достигли
      результат x
      + 2 с остатком
      нуля.Это означает, что x
      + 3 — коэффициент, а
      что x
      + 2 осталось после факторинга
      из x
      + 3. Установка факторов
      равно нулю, я получаю x
      = 3 и x
      = 2 — нули
      квадратичной.

      В синтетическом дивизионе
      Я разделил на x
      = 3, и пришли к
      тот же результат x
      + 2 с остатком
      нуля.Поскольку остаток равен нулю, это означает, что x
      + 3 — фактор и
      х
      = 3 — ноль. Также,
      из-за нулевого остатка x
      + 2 — это оставшееся
      фактор после деления. Установив это значение равным нулю, я получу, что x
      = 2 — другой ноль
      квадратичной.

      Я вернусь к этим отношениям
      между множителями и нулями в дальнейшем; две темы
      неразрывно переплетены.


      Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы
      заниматься синтетическим делением. Попробуйте введенное упражнение или введите
      ваше собственное упражнение. Затем нажмите кнопку «бумажный самолетик», чтобы сравнить свой ответ.
      к Мэтуэю. (Или пропустите виджет и продолжите
      с уроком.)

      (Нажав на «Нажмите, чтобы просмотреть шаги»
      на экране ответа виджета приведет вас на сайт Mathway для платного обновления
      .)

      Верх
      | 1 | 2 | 3
      | 4
      | Возвращаться
      к указателю Вперед >>

      Цитируйте эту статью
      как:

      Стапель, Елизавета.
      «Синтетическое подразделение: процесс». Purplemath .
      Доступно по номеру
      https://www.purplemath.com/modules/synthdiv.2) / 2`

      После того, как вы попрактикуетесь с ними, вы сможете делать это, не разделяя их сначала на 2 части.

      На дробь

      Помните следующее при делении
      алгебраические выражения.

      Значение , обратное числа x , равно `1 / x`.

      Например, величина, обратная 5 — это «1/5», а обратная величина для «1 2/3» — «3/5».

      Чтобы разделить на дробь, умножьте на
      , обратное дроби.

      Например, `3/4 -: 7 / x = 3 / 4xxx / 7 = (3x) / 28`

      Пример 4

      Упростить

      `(3 + 1 / x) / (5 / x + 4)`

      Ответ

      Я покажу вам, как это сделать двумя разными способами. Стоит увидеть оба, потому что они оба полезны. Вы сами решаете, что проще 😉

      Решение 1. Умножение на обратное

      Я беру верхнее выражение (числитель) и превращаю его в единую дробь со знаминателем x .

      `3 + 1 / x = (3x + 1) / x`

      Аналогично поступаем с нижним выражением (знаменателем):

      `5 / x + 4 = (5 + 4x) / x`

      Итак вопрос стал:

      `(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) = ((3x + 1) / x) / ((5 + 4x) / x)`

      Мы думаем о правой стороне как о делении верхней части на нижнюю:

      `(3x + 1) / x — 🙁 5 + 4x) / x`

      Чтобы разделить на дробь, умножьте на обратную:

      `(3x + 1) / (x) xxx / (5 + 4x) = (3x + 1) / (5 + 4x)`

      x отменены, и у нас есть наш окончательный ответ, который больше не может быть упрощен.

      Решение 2. Умножение верха и низа

      Я понимаю, что у меня есть «/ x » как в числителе, так и в знаменателе. Поэтому, если я просто умножу верхнюю и нижнюю части на x , это упростит все, удалив дробные части сверху и снизу.

      `(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) xxx / x`

      Я просто умножаю на «1» и не меняю исходное значение дроби — просто меняю ее форму.

      Итак, я умножаю каждый элемент верха на x и каждый элемент низа на x , и я получаю:

      `(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) xxx / x = (3x + 1) / (5 + 4x)`

      Я не могу дальше упрощать.

      Длинное деление в алгебре

      Прежде чем мы рассмотрим пример с использованием алгебры, давайте сначала вспомним, как выполнить деление в столбик с числами .

      Пример 5

      Давайте сделаем 23 576 разделенных на 13.

      Мы можем записать это в виде дроби:

      `23576/13`

      Теперь, чтобы разделить это (при условии, что у нас нет калькулятора), мы могли бы поступить следующим образом.

      23 делится на 13 = 1 с остатком 10.

      Опускаем 5 (следующее число после 3) вниз.2-11x-4) — 🙁 x-4) `

      Ответ

      Мы делим многочлен степени 2 на многочлен степени 1. Это алгебраическое деление в столбик.

      Шаг 1: Мы смотрим на первый член (3 x 2 — 11 x — 4) и первый член ( x — 4).

      Разделить следующим образом: 3 x 2 ÷ x = 3 x

      Мы пишем 3 x в верхней части нашего деления в столбик и умножаем (3 x ) ( x — 4) = 3 x 2 -12 x , чтобы получить вторую строку нашего решения.

      Шаг 2: Вычитание второй строки из первой дает:

      Будьте осторожны с

      -11 x — (-12 x ) = -11 x + 12 x = x

      Шаг 3: Опустите -4 из первого ряда:

      Шаг 4: Разделите x (в 3-й строке) на x из ( x — 4) в вопросе.Наш ответ — 1, и мы пишем «+1» в верхней части нашего длинного деления.

      Затем умножьте (1) на ( x — 4), чтобы получить 4-ю строку.

      Шаг 5: Вычтем 4-ю строку из 3-й:

      Итак (3 x 2 -11 x -4) ÷ ( x -4) = 3 x + 1

      Вы можете проверить свой ответ, умножив (3 x + 1) на ( x — 4), и вы получите (3 x 2 — 11 x — 4).2 + 6 + 7x) / (2x + 1) `как (6 x 2 + 7 x + 6) ÷ (2 x + 1)

      Мы снова делим многочлен степени 2 на многочлен более низкой степени (1). Это алгебраическое деление в столбик.

      Шаг 1: 6 x 2 ÷ 2 x = 3 x

      Итак, мы запишем следующее, используя (3 x ) (2 x + 1) = 6 x 2 + 3 x для второй строки:

      Шаг 2: Вычитаем 6 x 2 + 3 x из первой строки:

      Шаг 3: Опустите 6:

      Шаг 4: Разделите 4 x на 2 x .2 + 6 + 7x) / (2x + 1) = 3x + 2 + 4 / (2x + 1) `

      ПРИМЕЧАНИЕ: Некоторые люди предпочитают записывать задачу со всеми x 2 , x и единицами в строке следующим образом:

      Вы можете увидеть, как алгебраическое деление в столбик используется в следующем разделе, теоремы об остатке и множитель.

      Как научить деление в столбик: пошаговый метод

      В этой статье я объясню, как обучить делению в столбик в несколько шагов.
      Вместо того, чтобы показывать студентам сразу весь алгоритм, мы
      искренне воспринимайте это «шаг за шагом».

      До ребенок готов выучить длинное деление, он должен знать:

      • таблицы умножения (по крайней мере неплохо)
      • базовая концепция деления, основанная на таблицах умножения
        (например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
      • базовое деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

      Одна из причин, почему деление в столбик затруднено

      Длинное деление — это алгоритм, который повторяет основные шаги
      1)
      Делить; 2) Умножить; 3) Вычесть; 4) Отбросьте следующую цифру.

      Из этих шагов №2 и №3 могут стать трудными и запутать учащихся, потому что
      они, по-видимому, не имеют отношения к разделению — они имеют отношение к нахождению остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в один «умножить и вычесть»
      шаг.

      Чтобы избежать путаницы, я рекомендую обучать полному делению в таком
      мода на то, что дети сначала НЕ подвергаются всем этим шагам.
      Вместо этого вы можете научить этому в
      несколько «ступенек»:

      • Шаг 1: Все цифры деления четные.Здесь студенты отрабатывают только разделительную часть.
      • Шаг 2: Остаток в единицах. Сейчас,
        студенты практикуют
        часть «умножить и вычесть»
        и связать это с поиском
        остаток.
      • Шаг 3: Остаток в десятках. Студенты
        теперь используйте весь
        алгоритм, в том числе «отбрасывание следующей цифры», с использованием 2-значного
        дивиденды.
      • Шаг 4: Остаток в любом месте
        значения. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

      Шаг 1: Деление четное по всем цифрам

      Мы делим числа, в которых каждая из сотен, десятков и единиц цифр делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ на этом первом легком шаге
      чтобы студенты привыкли к двум вещам:

      1. Чтобы привыкнуть к большему делению «угол», чтобы частное писалось сверху.
      2. Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель входит в различные цифры делимого.

      Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Студенты должны проверить каждый
      деление на умножение.

      На этом этапе студенты также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не входит в первую цифру:

      ч до
      0
      4

      )

      2 4 8

      ч до
      0 6 2
      4

      )

      2 4 8

      4 не входит в 2.Вы можете поставить ноль в частном разряда сотен или опустить его.
      Но 4 действительно входит в 24, шесть раз. Введите 6 в частном.

      Пояснение:

      г.
      2 из 248 — это, конечно, 200 на самом деле. Если вы разделите 200 на 4,
      результат будет меньше 100, поэтому частное не будет иметь
      любые целые сотни.

      Но тогда вы комбинируете
      2 сотни с 4 десятками.Получается 24 десятка, и вы МОЖЕТЕ разделить
      24 десятка на 4. Результат 6 десятков входит в частное.

      Проверьте окончательный ответ:
      4 × 62 = 248.

      Далее следуют другие примеры проблем.
      Делить. Проверьте свой ответ
      умножение частного на делитель.

      а. г.
      г. г.

      Шаг 2: Остаток в единицах

      Теперь есть остаток в единицах (единицах). Тысячи, сотни,
      а также
      десятки цифр по-прежнему делятся на делитель без остатка. Во-первых, студенты могут
      остальное решить мысленно
      и просто напишите остаток сразу после
      частное:

      ч до
      0 4 1 R1
      4

      )

      1 6
      5

      4 шт.
      не входить в 1 (сотку).Так что объедините 1 сотню с 6 десятками
      (160).

      4
      переходит в 16 четыре раза.

      4 идет
      в 5 раз, оставив остаток 1.

      тыс. До
      0 4 0 0 R7
      8

      )

      3 2 0
      7

      8 шт.
      не входить в 3 тысячи.Так что объедините 3 тысячи с 2
      сотни (3200).

      8 ед.
      в 32 четыре раза (3,200 ÷ 8 = 400)
      8 переходит в 0 раз в ноль (десятки).
      8 переходит в 7 нулевых раз и оставляет остаток 7.

      Далее студенты учатся
      к найти
      остаток, используя процесс «умножить и вычесть»
      . Это
      очень важный шаг! Часть «умножить и вычесть» часто очень
      запутывает студентов, поэтому здесь мы практикуем это в максимально простых
      место: в самом конце деления, в колонке единиц (вместо
      в столбце десятки или сотни).Конечно, это предполагает, что студенты
      уже научились находить остаток в задачах простого деления
      основанные на таблицах умножения (например, 45 ÷ 7 или 18 ÷ 5).

      В проблемах
      раньше вы просто записывали оставшиеся.
      Обычно мы записываем вычитание, которое фактически находит
      остаток. Смотрите внимательно:

      часов до
      0 6 1
      4

      )

      2 4 7
      — 4
      3

      При делении единиц, 4
      переходит в 7 один раз.Умножим 1 × 4 = 4, запишем четыре под 7,
      и вычесть. Это дает нам остаток от 3.

      Чек: 4 × 61 + 3 = 247

      тыс. До
      0 4 0 2
      4

      )

      1 6 0 9
      — 8
      1

      При делении единиц, 4
      переходит в 9 два раза.Умножим 2 × 4 = 8, запишем это восемь под знаком
      9 и вычесть. Это дает нам остаток от 1.

      Чек:
      4 × 402 + 1 = 1 609

      Вот несколько примеров проблем. Теперь
      студенты проверяют ответ, умножая делитель на
      частное, а затем добавляем остаток.

      а. г.

      г. г.

      Шаг 3: остаток в десятках

      На этом этапе студенты впервые практикуют все основные этапы.
      алгоритма длинного деления: делить, умножать и вычитать, раскрывать
      следующая цифра.Для простоты мы используем двузначные числа. Умножить
      & вычитание связано с нахождением остатка, а после нахождения
      остаток, мы объединяем это со следующим блоком, к которому мы готовимся
      разделить (опустив цифру).

      Пример:

      1.
      Делить.
      2.
      Умножить и вычесть.
      3.
      Выпустите следующую цифру.

      Два переходит в 5 два
      раз, или
      5 десятков ÷ 2 = 2 целых десятки — но есть остаток!

      От

      до
      2
      2

      )

      5 8
      4
      1

      Чтобы найти, умножьте 2
      × 2 = 4, напишите это 4 под пятеркой и вычтите, чтобы найти
      остаток от 1 десятки.

      От

      до
      2 9
      2

      )

      5 8
      4 ↓
      1 8

      Затем выпадайте 8
      принадлежащий
      один следующий
      к оставшейся 1 десять.Вы объединяете остаток
      десять с 8 единицами, получаем 18.

      1.
      Делить.
      2.
      Умножить и вычесть.
      3.
      Выпустите следующую цифру.

      От

      до
      2 9
      2

      )

      5 8
      4
      1 8

      Разделите 2 на 18.Поставьте 9 в частное.

      От

      до
      2 9
      2

      )

      5 8
      4
      1 8

      1 8

      0

      Умножить 9 × 2 = 18,
      напишите, что 18 меньше 18, и вычтите.

      От

      до
      2 9
      2

      )

      5 8
      4
      1 8

      1 8

      0

      Разделение окончено
      поскольку в дивиденде больше нет цифр.Частное 29.

      Шаг 4: остаток в любом из значений разряда

      Освоив предыдущий шаг, студенты долго практикуются.
      деление с трех- и четырехзначными числами, куда им придется идти
      выполните основные шаги несколько раз.

      1.
      Делить.
      2.
      Умножить и вычесть.
      3.Выпустите следующую цифру.
      ч до
      1
      2

      )

      2 7 8

      Два переходят в два в одном
      раз, или 2 сотки ÷ 2 = 1 сотня.

      ч до
      1
      2

      )

      2 7 8
      2
      0

      Умножить 1 × 2 = 2,
      напишите это 2 под двумя и вычтите, чтобы найти остаток от нуля.

      ч до
      1 8
      2

      )

      2 7
      8
      2 ↓
      0 7

      Затем выпадайте 7
      десятков рядом с нулем.

      Разделить. Умножить
      & вычесть.
      Капля
      вниз на следующую цифру.
      ч до
      1 3
      2

      )

      2
      7 8
      2
      0 7

      Разделите 2 на 7.Поместите 3 в частное.

      ч до
      1 3
      2

      )

      2 7 8
      2
      0 7

      6

      1

      Умножить
      3 × 2 = 6, запишите это 6 под 7 и вычтите, чтобы найти остаток от 1 до десяти.

      ч до
      1 3
      2

      )

      2
      7 8
      2
      0 7

      6

      1 8

      Затем выпадайте 8
      из тех, что рядом с 1 оставшимися десятью.

      1.
      Делить.
      2.
      Умножить и вычесть.
      3.
      Выпустите следующую цифру.
      ч до
      1 3 9
      2

      )

      2
      7 8
      2
      0 7

      6

      1 8

      Разделите 2 на 18.Поставьте 9 в частное.

      ч до
      1 3 9
      2

      )

      2
      7 8
      2
      0 7

      6

      1 8

      — 1 8

      0

      Умножить 9 × 2 = 18,
      напишите, что 18 меньше 18, и вычтите, чтобы найти остаток от нуля.

      ч до
      1 3
      9
      2

      )

      2
      7 8
      2
      0 7

      6

      1 8

      — 1 8

      0

      Больше нет
      цифры, которые нужно раскрыть.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      2022 © Все права защищены.