Порядок действий

В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.

Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.

Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:

10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Такие выражения нельзя вычислить сразу, то есть поставить знак равенства и записать значение выражения. Да и выглядят они не так просто, как 2 + 2 или 9 − 3.

Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.

Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение 10 − 1 + 2 + 3. Видим, что в нём нет никаких скобок. Тогда переходим к следующему правилу, которое выглядит так:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:

Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Встречаем вычитание 10 − 1. Сразу выполняем эту операцию: 10 − 1 = 9. Полученную девятку запишем в главном выражении вместо 10 − 1

Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:

1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!

2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!

3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!

Сейчас у нас имеется выражение 9 + 2 + 3 Читаем его слева направо и встречаем сложение 9 + 2. Выполняем эту операцию: 9 + 2 = 11. Запишем число 11 в главном выражении вместо 9 + 2:

Осталось простейшее выражение 11 + 3, которое вычисляется легко:

11 + 3 = 14

Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14

10 − 1 + 2 + 3 = 14

Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  10 − 1 = 9

2)   9 + 2 = 11

3)  11 + 3 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:

Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.

Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3

Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение (3 + 5) + 2 × 3. Видим, что в нём есть выражение в скобках (3 + 5). Вычислим то, что в этих скобках: 3 + 5 = 8. Запишем полученную восьмёрку в главном выражении вместо выражения в скобках:

8 + 2 × 3

Снова читаем первое правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Посмотрим на наше выражение 8 + 2 × 3. Видим, что в нём есть умножение 2 × 3. Выполним эту операцию: 2 × 3 = 6. Запишем полученную шестёрку в главном выражении вместо 2 × 3

8 + 6

Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:

8 + 6 = 14

Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14

(3 + 5) + 2 × 3 = 14

Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  3 + 5 = 8

2)   2 × 3 = 6

3)  8 + 6 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.

Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием,  четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:

1)  5 − 3 = 2

2)  5 × 2 = 10

3)  2 : 2 = 1

4)  10 + 1 = 11

5)  11 + 1 = 12

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Четвёртое и пятое действие заключалось в том, чтобы вычислить оставшееся простейшее выражение 10 + 1 + 1. Мы не стали тратить время на выполнение каждого из этих действий, а поставили знак равенства и записали ответ 12.

Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым

1)  3250 − 2905 = 345

2)  345 : 5 = 69

В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.

Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.

В данном случае сначала нужно 6 411 умножить на 8, и из полученного результата вычесть 40 799. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат будет умножен на 6.

В результате будем иметь следующий порядок:

1)  6 411 × 8 = 51 288

2)  51 288 − 40 799 = 10 489

3)  10 489 × 6 = 62 934

Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.

1) 50 377 + 20 338 = 70 715

2) 1 657 974 : 822 = 2 017

3) 2 017 × 106 = 213 802

4) 213 802−70 715 = 143 087

Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.

В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:

1) 96 : 4 = 24

2) 24 + 3 680 = 3 704

3) 14026 − 3 704 = 10 322

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

5 + 2 − 2 − 1

Решение

Задание 2. Найдите значение выражения:

14 + (6 + 2 × 3) − 6

Решение

Задание 3. Найдите значение выражения:

486 : 9 − 288 : 9

Решение

Задание 4. Найдите значение выражения:

756 : 3 : 4 × 28

Решение

Задание 5. Найдите значение выражения:

807 : 3 − (500 − 58 × 4)

Решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Ученые назвали правильный ответ в спорном примере из школьного курса математики — Общество

МОСКВА, 1 августа. /Корр. ТАСС Олеся Кулинчик, Александра Рыжкова/. Правильный ответ в примере из школьной математики с делением и умножением, породившем споры в социальных сетях, — «16». Об этом ТАСС заявили известные российские математики.

28 июля один из пользователей опубликовал в Twitter пример из школьной программы по математике: «8:2(2+2)=?». Обсуждение примера вызвало широкий резонанс, и перешло на международный уровень, пользователи разных стран получали ответ «16» или «1».

Российский математик, доктор физико-математических наук, первый декан факультета математики Высшей школы экономики Сергей Ландо рассказал ТАСС, что правильный ответ в России будет 16. «На территории Российской Федерации деление и умножение имеют равные приоритеты. В США или Англии может быть другой порядок. В России сначала выполняется операция в скобках, потом деление на эту сумму, а потом результат умножается на следующий множитель. Правильный ответ — 16», — сказал он. Ландо добавил, что в подобных спорных случаях специалисты стараются обозначить порядок операций скобками.

Заведующий кафедры высшей математики Национального исследовательского университета «Московский институт электронной техники» (НИУ МИЭТ) Александр Прокофьев подтвердил ТАСС, что правильный ответ — 16, и объяснил, почему пример вызвал столько споров.

«Ошибаются, как я полагаю, преимущественно взрослые. У школьников вопросов быть не должно. Первой выполняется операция в скобках, затем, согласно приоритету арифметических действий, деление и умножение — они являются равноправными и выполняются слева направо. Студенты привыкают отделять косой чертой числитель от знаменателя, поэтому путаются в данном примере, полагая, что умножение двойки на скобку расположено в знаменателе», — сказал Прокофьев.

С ними согласилась и заведующая кафедры «Математика» Российского университета транспорта Людмила Кочнева. «Если бы стояла скобка после знака деление, то правильным ответом была бы единица. Если бы после восьмерки была горизонтальная черта — знак дробного деления — а внизу 2(2+2), это была бы единица. А раз все это в строчку, вы должны делать операции в том порядке, в котором они написаны. Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного — чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример», — пояснила она. 

Как решить пример по действиям. Правила решения примеров по действиям со скобками

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие:
вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6
.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ:
7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие:
в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3
?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ:
сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие:
подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ:
17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7
.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие:
вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2
.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2
.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ:
5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6
.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие:
вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3))
.

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24
. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28
.

Ответ:
4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28
.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1
. Считаем 4 + 5 − 1 = 8
и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие:
найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ:
(3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13
.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса…
» [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Порядок выполнения действий — Математика 3 класс (Моро)

Краткое описание:

В жизни вы постоянно совершаете различные действия: встаете, умываетесь, делаете зарядку, завтракаете, идете в школу. Как вы думаете, можно ли поменять этот порядок действий? Например, позавтракать, а потом умыться. Наверное, можно. Может быть, будет не очень удобно завтракать неумытому, но ничего страшного из-за этого не случится. А в математике можно ли менять порядок действий по своему усмотрению? Нет, математика – точная наука, поэтому даже малейшие изменения в порядке действий приведут к тому, что ответ числового выражения станет неверным. Во втором классе вы уже познакомились с некоторыми правилами порядка действий. Так, вы, наверное, помните, что руководят порядком в выполнении действий скобки. Они показывают, что действия нужно выполнить первым. Какие существуют другие правила порядка действий? Отличается ли порядок действий в выражениях со скобками и без скобок? На эти вопросы вам предстоит найти ответы в учебнике математики 3 класса при изучении темы «Порядок выполнения действий». Вы должны обязательно потренироваться в применении изученных правил, а если понадобиться, то найти и исправить ошибки в установлении порядка действий в числовых выражениях. Помните, пожалуйста, что порядок важен в любом деле, но в математике он имеет особое значение!

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37
(при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

• При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
• Начать следует с умножения, далее – сложение.
• После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
• По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
• Завершающим этапом станет .

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)

17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)

24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

Составление выражения со скобками

1. Составь из следующих предложений выражения со скобками и реши их.

Из числа 16 вычти сумму чисел 8 и 6.
Из числа 34 вычти сумму чисел 5 и 8.
Сумму чисел 13 и 5 вычесть из числа 39.
Разность чисел 16 и 3 прибавь к числу 36
Разность чисел 48 и 28 прибавь к числу 16.

2. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

2.1. Папа принёс из леса мешок с орехами. Коля взял из мешка 25 орешков и съел. За тем Маша взяла из мешка 18 орешков. Мама то же взяла из мешка 15 орешков, но положила обратно 7 из них. Сколько осталось в итоге орешков в мешке, если в начале их было 78?

2.2. Мастер ремонтировал детали. В начале рабочего дня их было 38. В первой половине дня он смог отремонтировать 23 из них. После полудня ему принесли еще столько же, сколько было в самом начале дня. Во второй половине он отремонтировал еще 35 деталей. Сколько деталей ему осталось отремонтировать?

3. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

45: 5 + 12 * 2 -21:3

56 — 72: 9 + 48: 6 * 3

7 + 5 * 4 — 12: 4

18: 3 — 5 + 6 * 8

Решение выражений со скобками

1. Реши примеры правильно раскрывая скобки:

2. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

2.1. 36: 3 + 12 * (2 — 1) : 3

2.2. 39 — (81: 9 + 48: 6) * 2

2.3. (7 + 5) * 2 — 48: 4

2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 — 4

3. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

3.1. На складе было 25 упаковок стирального порошка. В один магазин увезли 12 упаковок. За тем во второй магазин увезли столько же. После этого на склад привезли в 3 раза больше упаковок, чем было раньше. Сколько упаковок порошка стало на складе?

3.2. В гостинице проживало 75 туристов. За первый день из гостиницы уехали 3 группы по 12 человек, а заехали 2 группы по 15 человек. На второй день уехали еще 34 человека. Сколько туристов осталось в гостинице к концу 2 дня?

3.3. В химчистку привезли 2 мешка одежды по 5 вещей в каждом мешке. За тем забрали 8 вещей. После полудня привезли ещё 18 вещей на стирку. А забрали только 5 выстиранных вещей. Сколько вещей в химчистке к концу дня, если в начале дня там было 14 вещей?

ФИ _________________________________

Если в примерах встретится вопросительный знак (?), следует его заменить на знак * — умножение.

1. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

35: 5 + 36: 4 — 3
26 + 6 х 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 х 6
9 х 6 – 3 х 6 + 19 – 27:3

2. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 х 4
17 + 24: 3 х 4 – 27: 3 х 2 6 х 4: 3 + 54: 6: 3 х 6 + 2 х 9
100 – 6 х 2: 3 х 9 – 39 + 7 х 4

3. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

100 – 27: 3 х 6 + 7 х 4
2 х 4 + 24: 3 + 18: 6 х 9 9 х 3 – 19 + 6 х 7 – 3 х 5
7 х 4 + 35: 7 х 5 – 16: 2: 4 х 3

4. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 6: 3 + 6 х 8 – 17
5 х 8 – 4 х 7 + 13 — 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 х 7
21: 3 – 35: 7 + 9 х 3 + 9 х 5

5. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 7 х 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 х 3
6 х 6 + 30: 5: 2 х 7 — 19 90 — 7 х 5 – 24: 3 х 5
6 х 5 – 12: 2 х 3 + 49

6. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 7 + 54: 6: 3 х 5
50 – 45: 5 х 3 + 16: 2 х 5 8 х 6 + 23 – 24: 4 х 3 + 17
48: 6 х 4 + 6 х 9 – 26 + 13

7. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 6 + (19 + 6) : 5 – 6 х 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 х 4 + 25 (27 – 19) х 4 + 18: 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74) : 2 х 7 + 7 х 4 — (63 – 27): 4
8. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

90 – (40 – 24: 3) : 4 х 6 + 3 х 5
3 х 4 + 9 х 6 – (27 + 9) : 4 х 5
(50 – 23) : 3 + 8 х 5 – 6 х 5 + (26 + 16) : 6
(5 х 6 – 3 х 4 + 48: 6) +(82 – 78) х 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5

9. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

9 х 6 – 6 х 4: (33 – 25) х 7
3 х (12 – 8) : 2 + 6 х 9 — 33 (5 х 9 — 25) : 4 х 8 – 4 х 7 + 13
9 х (2 х 3) – 48: 8 х 3 + 7 х 6 — 34

10. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 6 – 36: 6) : 6 х 3 + 5 х 9
7 х 6 + 9 х 4 – (2 х 7 + 54: 6 х 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 х 4
(7 х 4 + 33) – 3 х 6:2

11. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(37 + 7 х 4 – 17) : 6 + 7 х 5 + 33 + 9 х 3 – (85 – 67) : 2 х 5
5 х 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 х 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31) : 6

12. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 х 5 – (60 – 42) : 3 + 9 х 2
(9 х 7 + 56: 7) – (2 х 6 – 4) х 3 + 54: 9

13. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 х 5 + (13 – 5) х 4 + 5 х 4
(7 х 8 – 14: 7) + (7 х 4 + 12: 6) – 10: 5 + 63: 9

Тест «Порядок арифметических действий» (1 вариант)

1(1б)

2(1б)

3(1б)

4(3б)

5(2б)

6(2б)

7(1б)

8(1б)

9(3б)

10(3б)

11(3б)

12(3б)

110 – (60 +40) :10 х 8

а) 800 б) 8 в) 30

а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

3 4 6 5 1 2

5. В каком из выражений последнее действие умножение?

а) 1001:13 х (318 +466) :22

в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2

6. В каком из выражений первое действие вычитание?

а) 2025:5 – (524 – 24:6) х45

б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90

в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5

Выбери верный ответ:

9. 90 – (50- 40:5) х 2+ 30

а) 56 б) 92 в) 36

10. 100- (2х5+6 — 4х4) х2

а) 100 б) 200 в) 60

11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100

а) 106 б) 205 в) 0

12. 150: (80 – 60:2) х 3

а) 9 б) 45 в) 1

Тест «Порядок арифметических действий»

1(1б)

2(1б)

3(1б)

4(3б)

5(2б)

6(2б)

7(1б)

8(1б)

9(3б)

10(3б)

11(3б)

12(3б)

1. Какое действие в выражении сделаешь первым?

560 – (80+20) :10 х7

а) сложение б) деление в) вычитание

2. Какое действие в этом же выражении сделаешь вторым?

а) вычитание б) деление в) умножение

3. Выбери правильный вариант ответа данного выражения:

а) 800 б) 490 в) 30

4. Выбери верный вариант расстановки действий:

а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15) в) 320:8 х 7+9х(240 – 60:15)

3 4 6 5 2 1

б) 320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15)

5. В каком из выражений последнее действие деление?

а) 1001:13 х (318 +466) :22

б) 391 х37:17 х (2248:8 – 162)

в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2

6. В каком из выражений первое действие сложение?

а) 2025:5 – (524 + 24 х6) х45

б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90

в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5

7. Выбери верное высказывание: «В выражении без скобок действия выполняются:»

а) по порядку б) х и: , затем + и — в) + и -, затем х и:

8. Выбери верное высказывание: «В выражении со скобками действия выполняются:»

а) сначала в скобках б)х и:, затем + и — в) по порядку записи

Выбери верный ответ:

9. 120 – (50- 10:2) х 2+ 30

а) 56 б) 0 в) 60

10. 600- (2х5+8 — 4х4) х2

а) 596 б) 1192 в) 60

11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200

а) 106 б) 203 в) 0

12. 160: (80 – 80:2) х 3

а) 120 б) 0 в) 1

Зубодробительная задачка с очень простой математикой

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских правила:

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва направо.
2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычитание.
3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умножения.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем случае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скобки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую замену:

8 / 2(4) → 8 / 2 × 4

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скобках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами 🙂

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют криком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

Та самая цитата. 

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть первоисточник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло поддержки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про приоритет».
2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не поддержало.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва направо.

Пол­ная цита­та из Шустеф, кото­рая, ока­зы­ва­ет­ся, име­ет в виду совсем не то. 

6/2(2+1)= Как решается этот проклятый пример: denis_demakhin — LiveJournal

Уже давно я увлечен этим примером:

Делал по нему опросы

И сейчас попробую обосновать мою новую точку зрения, которая теперь выглядит так:

Дело в том, что между алгеброй и арифметикой есть разница в порядке действий:

Теперь понятно, почему инженерный калькулятор показывает ответ: 1.

Он не сломался. Он алгебраический.

Алгебраический калькулятор считает по правилам алгебры.

Осталось понять, алгебраический это пример или арифметический. От этого будет зависеть ответ.

Букв в примере нет, однако, в нем есть пропущенный знак умножения перед скобкой:

Случаи возможного пропуска знака умножения:

1. Между буквенными множителями;
2. Между числовым и буквенным множителем;
3. Между множителем и скобкой;
4. Между выражениями в скобках.

Тут подходит только правило №3. И тогда пропущенный знак умножения равносилен скобкам, то есть 2(2+1) = (2*(2+1)), следуя правилам из скана выше.

И получается, что если выражение (2+1) заменить на икс, то написание 6/2Х читается как «шесть, разделить на два икса».

Тогда ответ: 1.

Но почему тогда самая умная штука на Земле — Гугл-поисковик считает, что ответ 9?

Потому что и Гугл и смартфон считают по арифметическим правилам.

Но вот тут есть тонкий момент. Арифметические правила должны, по-правильному то, действовать при указании знака умножения. Так, как я написал здесь:

Тут уже нет оснований применять правила алгебры, в которых пропущенный знак умножения считается неразрывным. И ответ получается: 9.

Вывод:

Всё зависит от того, алгебра это или арифметика.

Еще интересные штуки:

Задачи, ломающие мозг (с ответами, спрятанными под спойлер)

Тренировка ума развивальщика предприятий

Подписывайся, мыслитель!

Как решать примеры с минусами

Еще в начальной школе учат, как складывать и вычитать числа. Для того чтобы научиться это делать, необходимо выучить таблицу сложения и основанную на ней таблицу вычитания. Получается,первоклашка сможет из семнадцати вычесть девять или решить любой подобный пример. Однако завести в тупик его сможет пример обратного характера: как вычесть из девяти семнадцать. Примеры с отрицательными числами даются по школьной программе много позже, когда человек созревает до абстрактного мышления.

Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров сбудет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются скобками для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).

Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак «+» меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа «6» отнимается меньшее — «3», после чего ответу присваивается знак большего, то есть «-«.
2) -3+6=3. Этот пример можно записать по-другому («6-3») или решать по принципу «из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего».
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии скобок происходит замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули чисел и результату ставиться знак «минус».

Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и ответ получает общий знак «-«.
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на «+», далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа — знак большего числа.

Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с разными знаками ответу присваивается знак «минус», если числа с одинаковыми знаками — у результата всегда знак «плюс».1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Приложение PhotoMath решит примеры по математике с помощью камеры смартфона Статьи редакции

Компания MicroBlink представила приложение PhotoMath, которое умеет распознавать текст математических примеров и помогать с их решением.

Бесплатное приложение PhotoMath представлено в версиях для iOS и Windows Phone, версия для Android ожидается в начале 2015 года. Для того, чтобы с его помощью решить пример, достаточно выбрать необходимый участок задачи с помощью камеры смартфона, причем границы выделения можно изменять вручную. 

Решённые примеры сохраняются в специальный раздел, где можно просмотреть не только конечный результат, но и все промежуточные этапы решения. 

Приложение умеет сканировать задачи как с бумаги, так и с экрана, но во втором случае ему может потребоваться больше времени на обработку. С рукописным текстом PhotoMath пока не работает.

MicroBlink занимается проблемой машинного распознавания текста, и, по словам её представителей, приложение PhotoMath не столько преследует образовательные задачи, сколько призвано продвигать конкретные технологии. Ранее компания представила похожий по механике сервис PhotoPay, упрощающий оплату счетов. 

Мы начали разработку нашей технологии три года назад. Теперь она достаточно зрелая, и мы собираемся находить для неё различные возможности использования. Дамир Сабол (Damir Sabol), сооснователь и генеральный директор MicroBlink

За наводку спасибо Хорошоу.

241 398

просмотров

{
«author_name»: «Ольга Жигулина»,
«author_type»: «editor»,
«tags»: [«\u0440\u0430\u0441\u043f\u043e\u0437\u043d\u0430\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435_\u0442\u0435\u043a\u0441\u0442\u0430″,»\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f_\u0434\u043b\u044f_windows_phone»,»\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f_\u0434\u043b\u044f_ios»,»\u043d\u043e\u0432\u043e\u0441\u0442\u044c»,»\u043d\u043e\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438″,»photomath»,»microblink»],
«comments»: 48,
«likes»: 147,
«favorites»: 1,
«is_advertisement»: false,
«subsite_label»: «flood»,
«id»: 52762,
«is_wide»: true,
«is_ugc»: false,
«date»: «Wed, 22 Oct 2014 11:12:30 +0400»,
«is_special»: false }

{«id»:3,»url»:»https:\/\/tjournal.ru\/u\/3-olga-zhigulina»,»name»:»\u041e\u043b\u044c\u0433\u0430 \u0416\u0438\u0433\u0443\u043b\u0438\u043d\u0430″,»avatar»:»eb782902-b9c1-dea5-b332-553cc8566b7e»,»karma»:212999,»description»:»»,»isMe»:false,»isPlus»:true,»isVerified»:false,»isSubscribed»:false,»isNotificationsEnabled»:false,»isShowMessengerButton»:false}

{«url»:»https:\/\/booster.osnova.io\/a\/relevant?site=tj»,»place»:»entry»,»site»:»tj»,»settings»:{«modes»:{«externalLink»:{«buttonLabels»:[«\u0423\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c»,»\u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c»,»\u041d\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c»,»\u0417\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c»,»\u041a\u0443\u043f\u0438\u0442\u044c»,»\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c»,»\u0421\u043a\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c»,»\u041f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0442\u0438″]}},»deviceList»:{«desktop»:»\u0414\u0435\u0441\u043a\u0442\u043e\u043f»,»smartphone»:»\u0421\u043c\u0430\u0440\u0442\u0444\u043e\u043d\u044b»,»tablet»:»\u041f\u043b\u0430\u043d\u0448\u0435\u0442\u044b»}},»isModerator»:false}

Еженедельная рассылка

Одно письмо с лучшим за неделю

Проверьте почту

Отправили письмо для подтверждения

Решение проблем | Введение в психологию

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите стратегии решения проблем
• Определить алгоритм и эвристику
• Объясните некоторые общие препятствия на пути к эффективному решению проблем

Люди сталкиваются с проблемами каждый день — обычно с множеством проблем в течение дня. Иногда эти проблемы просты: например, чтобы удвоить рецепт теста для пиццы, все, что требуется, — это удвоить каждый ингредиент в рецепте.Однако иногда проблемы, с которыми мы сталкиваемся, более сложные. Например, предположим, что у вас установлен крайний срок работы, и вы должны отправить распечатанную копию отчета своему руководителю до конца рабочего дня. Отчет чувствителен ко времени и должен быть отправлен в ночное время. Вы закончили отчет вчера вечером, но ваш принтер сегодня не будет работать. Что вы должны сделать? Сначала вам нужно определить проблему, а затем применить стратегию решения проблемы.

СТРАТЕГИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ

Когда вы сталкиваетесь с проблемой — будь то сложная математическая задача или сломанный принтер, как вы ее решаете? Прежде чем найти решение проблемы, ее необходимо четко определить.После этого можно применить одну из многих стратегий решения проблем, которая, надеюсь, приведет к решению.

Стратегия решения проблем — это план действий, используемый для поиска решения. С разными стратегиями связаны разные планы действий ([ссылка]). Например, известная стратегия — это метод проб и ошибок. Старая поговорка «Если сначала не получится, попробуй, попробуй еще раз» описывает метод проб и ошибок. Что касается вашего сломанного принтера, вы можете попробовать проверить уровень чернил, и если это не поможет, вы можете проверить, не застрял ли лоток для бумаги.Или, может быть, принтер на самом деле не подключен к вашему ноутбуку. При использовании метода проб и ошибок вы продолжите пробовать разные решения, пока не решите свою проблему. Хотя метод проб и ошибок обычно не является одной из самых эффективных по времени стратегий, они широко используются.

Другой тип стратегии — алгоритм.Алгоритм — это формула решения проблемы, которая предоставляет вам пошаговые инструкции, используемые для достижения желаемого результата (Kahneman, 2011). Вы можете думать об алгоритме как о рецепте с очень подробными инструкциями, которые дают один и тот же результат каждый раз, когда они выполняются. Алгоритмы часто используются в нашей повседневной жизни, особенно в информатике. Когда вы выполняете поиск в Интернете, поисковые системы, такие как Google, используют алгоритмы, чтобы решить, какие записи появятся первыми в вашем списке результатов.Facebook также использует алгоритмы, чтобы решить, какие сообщения отображать в вашей ленте новостей. Можете ли вы определить другие ситуации, в которых используются алгоритмы?

Эвристика — это еще один тип стратегии решения проблем. В то время как алгоритм должен точно соблюдаться для получения правильного результата, эвристика — это общая структура решения проблем (Tversky & Kahneman, 1974). Вы можете думать об этом как о мысленных ярлыках, которые используются для решения проблем. «Эмпирическое правило» — это пример эвристики. Такое правило экономит время и силы человека при принятии решения, но, несмотря на его экономящие время характеристики, не всегда является лучшим методом для принятия рационального решения.В разных ситуациях используются разные типы эвристики, но импульс к использованию эвристики возникает, когда выполняется одно из пяти условий (Pratkanis, 1989):

• Когда сталкивается со слишком большим количеством информации
• Когда время на принятие решения ограничено
• Когда решение неважно
• Когда есть доступ к очень небольшому количеству информации для использования при принятии решения
• Когда подходящая эвристика приходит на ум в тот же момент

Работа в обратном направлении — это полезная эвристика, в которой вы начинаете решать проблему, сосредотачиваясь на конечном результате.Рассмотрим следующий пример: вы живете в Вашингтоне, округ Колумбия, и вас пригласили на свадьбу в 16:00 в субботу в Филадельфию. Зная, что межштатная автомагистраль 95 имеет тенденцию резервироваться в любой день недели, вам необходимо соответствующим образом спланировать свой маршрут и время отъезда. Если вы хотите быть на свадебной службе к 15:30, а до Филадельфии без пробок можно добраться за 2,5 часа, во сколько вам следует выйти из дома? Вы используете обратную эвристику для регулярного планирования событий дня, возможно, даже не задумываясь об этом.

Еще одна полезная эвристика — это практика выполнения большой цели или задачи путем разбиения ее на серию более мелких шагов. Учащиеся часто используют этот распространенный метод для завершения большого исследовательского проекта или длинного школьного сочинения. Например, студенты обычно проводят мозговой штурм, разрабатывают диссертацию или основную тему, исследуют выбранную тему, систематизируют информацию в виде плана, пишут черновик, редактируют и редактируют черновик, разрабатывают окончательный вариант, организуют список литературы и корректируют свою работу до сдачи проекта.Большая задача становится менее сложной, если ее разбить на серию небольших шагов.

Ежедневные связи: решение головоломок

Способность решать проблемы может улучшиться с практикой. Многие люди каждый день ставят перед собой задачу решить головоломки и другие умственные упражнения, чтобы отточить свои навыки решения проблем. Головоломки судоку ежедневно появляются в большинстве газет. Как правило, головоломка судоку представляет собой сетку 9 × 9. Простая судоку ниже ([ссылка]) представляет собой сетку 4 × 4. Чтобы решить головоломку, заполните пустые поля одной цифрой: 1, 2, 3 или 4.Вот правила. Всего должно быть 10 чисел в каждом поле, выделенном жирным шрифтом, в каждой строке и каждом столбце; однако каждая цифра может отображаться только один раз в выделенном жирным шрифтом поле, строке и столбце. Найдите время, решая эту головоломку, и сравните свое время с одноклассником.

Сколько времени у вас ушло на решение этой головоломки судоку? (Вы можете увидеть ответ в конце этого раздела.)

Вот еще одна популярная головоломка ([ссылка]), которая бросает вызов вашим навыкам пространственного мышления. Соедините все девять точек четырьмя соединительными прямыми линиями, не отрывая карандаш от бумаги:

Вы разобрались? (Ответ находится в конце этого раздела.) Как только вы поймете, как разгадывать эту головоломку, вы не забудете.

Взгляните на логическую головоломку «Загадочные весы» ниже ([ссылка]). Сэм Лойд, известный мастер головоломок, на протяжении своей жизни создавал и совершенствовал бесчисленное количество головоломок (Cyclopedia of Puzzles, без даты).

ЛАМНИНЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ

Однако не все проблемы решаются успешно. Какие проблемы мешают нам успешно решить проблему? Альберт Эйнштейн однажды сказал: «Безумие повторяет одно и то же снова и снова и ожидает другого результата.«Представьте себе человека в комнате с четырьмя дверными проемами. Одна дверь, которая всегда была открыта в прошлом, теперь заперта. Человек, привыкший выходить из комнаты через этот конкретный дверной проем, продолжает пытаться выйти через тот же дверной проем, даже если остальные три дверных проема открыты. Человек застрял, но ей просто нужно пройти к другому дверному проему, вместо того, чтобы пытаться выбраться через запертый дверной проем. Ментальная установка — это когда вы упорно подходите к проблеме так, как это работало в прошлом, но явно не работает сейчас.

Функциональная неподвижность — это тип ментальной установки, при которой вы не можете воспринимать объект, используемый для чего-то другого, кроме того, для чего он был разработан. Во время миссии Apollo 13 на Луну инженерам НАСА из Центра управления полетами пришлось преодолеть функциональную неподвижность, чтобы спасти жизни астронавтов на борту космического корабля. Взрыв модуля космического корабля повредил несколько систем. Астронавтам угрожала опасность отравиться из-за повышения уровня углекислого газа из-за проблем с фильтрами углекислого газа.Инженеры нашли способ, позволяющий астронавтам использовать запасные пластиковые пакеты, ленту и воздушные шланги, чтобы создать импровизированный воздушный фильтр, который спас жизни астронавтов.

Ссылка на обучение

Посмотрите эту сцену Apollo 13 , где группе инженеров НАСА дана задача преодолеть функциональную неподвижность.

Исследователи выяснили, влияет ли культура на функциональную устойчивость.В одном эксперименте людей из группы Шуар в Эквадоре попросили использовать объект не для той цели, для которой объект был первоначально предназначен. Например, участникам рассказали историю о медведе и кролике, разделенных рекой, и попросили выбрать среди различных предметов, включая ложку, чашку, ластики и т. Д., Чтобы помочь животным. Ложка была единственным предметом, достаточно длинным, чтобы охватить воображаемую реку, но если ложка была представлена ​​таким образом, чтобы отражать ее нормальное использование, участникам требовалось больше времени, чтобы выбрать ложку для решения проблемы.(Герман и Барретт, 2005 г.). Исследователи хотели знать, влияет ли использование узкоспециализированных инструментов, как это происходит с людьми в промышленно развитых странах, на их способность преодолевать функциональную неподвижность. Было установлено, что функциональная неподвижность ощущается как в индустриальных, так и в непромышленных культурах (German & Barrett, 2005).

Чтобы принимать правильные решения, мы используем наши знания и рассуждения. Часто эти знания и рассуждения надежны и надежны. Однако иногда на нас влияют предубеждения или другие манипулирующие ситуацией.Например, предположим, что вы и трое друзей хотели снять дом, и у вас общий целевой бюджет составляет 1600 долларов. Риэлтор показывает вам только очень ветхие дома за 1600 долларов, а затем показывает очень красивый дом за 2000 долларов. Можете ли вы попросить каждого человека платить больше за аренду, чтобы получить дом за 2000 долларов? Зачем риэлтору показывать ветхие дома и красивый дом? Риэлтор может оспорить вашу предвзятость. Смещение привязки возникает, когда вы сосредотачиваетесь на одной части информации при принятии решения или решении проблемы.В этом случае вы настолько сосредоточены на сумме денег, которую готовы потратить, что не можете распознать, какие дома доступны по этой цене.

Предвзятость подтверждения — это тенденция сосредотачиваться на информации, которая подтверждает ваши существующие убеждения. Например, если вы думаете, что ваш профессор не очень хороший, вы замечаете все случаи грубого поведения профессора, игнорируя бесчисленные приятные взаимодействия, в которые он вовлечен ежедневно.Предвзятость в ретроспективе заставляет вас поверить в то, что событие, которое вы только что пережили, было предсказуемым, хотя на самом деле это не так. Другими словами, вы все время знали, что все будет так, как было раньше. Репрезентативная предвзятость описывает ошибочный образ мышления, при котором вы непреднамеренно стереотипируете кого-то или что-то; Например, вы можете предположить, что ваши профессора проводят свободное время за чтением книг и интеллектуальным разговором, потому что представление о том, что они проводят время за волейболом или посещением парка развлечений, не соответствует вашим стереотипам о профессорах.

Наконец, эвристика доступности — это эвристика, в которой вы принимаете решение на основе примера, информации или недавнего опыта, которые легко доступны вам, даже если это может быть не лучший пример для информирования вашего решения . Предубеждения имеют тенденцию «сохранять то, что уже установлено, — поддерживать наши ранее существовавшие знания, убеждения, отношения и гипотезы» (Aronson, 1995; Kahneman, 2011). Эти предубеждения суммированы в [ссылка].

Ссылка на обучение

Посетите этот сайт, чтобы увидеть умное музыкальное видео, которое учитель средней школы снял, чтобы объяснить эти и другие когнитивные искажения своим ученикам-психологам.

Удалось ли вам определить, сколько шариков необходимо для балансировки весов в [ссылка]? Тебе нужно девять. Удалось ли вам решить проблемы в [ссылка] и [ссылка]? Вот ответы ([ссылка]).

Сводка

Существует множество различных стратегий решения проблем. Типичные стратегии включают метод проб и ошибок, применение алгоритмов и эвристику. Чтобы решить большую сложную проблему, часто помогает разбить ее на более мелкие шаги, которые можно выполнить индивидуально, что приведет к общему решению.Препятствиями на пути к решению проблем являются психологическая установка, функциональная неподвижность и различные предубеждения, которые могут омрачить навыки принятия решений.

Вопросы для самопроверки

Вопросы о критическом мышлении

1. Что такое функциональная стабильность и как ее преодоление может помочь вам в решении проблем?

2. Как алгоритм экономит ваше время и энергию при решении проблемы?

Персональный вопрос заявки

3.Какой тип предвзятости вы признаете в процессе принятия собственных решений? Как эта предвзятость повлияла на то, как вы принимали решения в прошлом, и как вы можете использовать свое осознание этого, чтобы улучшить свои навыки принятия решений в будущем?

ответы

1. Функциональная неподвижность возникает, когда вы не видите другого использования объекта, кроме того, для которого он был предназначен. Например, если вам нужно что-то, чтобы удерживать брезент под дождем, но у вас есть только вилы, вы должны преодолеть свое ожидание, что вилы можно использовать только для работы в саду, прежде чем вы поймете, что можете воткнуть их в землю и задрапировать брезент поверх него, чтобы удерживать его.

2. Алгоритм — это проверенная формула для достижения желаемого результата. Это экономит время, потому что, если вы будете точно следовать ему, вы решите проблему, не выясняя, как ее решить. Это немного похоже на изобретение велосипеда.

Глоссарий

алгоритм стратегия решения проблем, характеризуемая конкретным набором инструкций

смещение привязки ошибочная эвристика, при которой вы сосредотачиваетесь на одном аспекте проблемы, чтобы найти решение

эвристика доступности ошибочная эвристика, в которой вы принимаете решение на основе информации, доступной вам

предвзятость подтверждения ошибочная эвристика, при которой вы сосредотачиваетесь на информации, подтверждающей ваши убеждения

функциональная стабильность неспособность рассматривать объект как полезный для любого другого использования, кроме того, для которого он был предназначен

эвристический мысленный ярлык, который экономит время при решении проблемы

предвзятость в ретроспективе уверенность в том, что только что произошедшее событие было предсказуемым, хотя на самом деле это не было

мысленный набор постоянно использует старое решение проблемы безрезультатно

стратегия решения проблем метод решения проблем

предвзятость представителя ошибочная эвристика, при которой вы стереотипируете кого-то или что-то без веских оснований для вашего суждения

методом проб и ошибок стратегия решения проблем, в которой предпринимаются попытки нескольких решений, пока не будет найдено правильное

работа в обратном направлении эвристика, в которой вы начинаете решать проблему, сосредотачиваясь на конечном результате

3 примера (отлично подходят для резюме)

Существует множество определений решения проблем , но на базовом уровне он фокусируется на способности точно оценить ситуацию и прийти к положительному решению.

Решение проблем — это аналитический навык, который многие работодатели ищут при просмотре анкет кандидатов. Этот конкретный навык не ограничивается одним сектором, отраслью или ролью, хотя работодатели, в частности, в инженерной и юридической отраслях, как правило, стремятся к повышению квалификации. Следовательно, во время собеседований часто возникают вопросы о вашей способности решать проблемы.

Сильные навыки решения проблем могут быть очень полезны для вашей карьеры. В каждом секторе проблемы неизбежны и будут возникать в той или иной форме, когда вы будете выполнять свои повседневные обязанности.Когда все же возникают проблемы, ожидается, что сотрудники проявят инициативу и разработают подходящие решения, чтобы избежать перерастания ситуации в нечто более серьезное.

Какие проблемы обычно возникают в профессиональном контексте?

Существует множество ситуаций, когда проблемы могут возникнуть на рабочем месте, от беспокойства клиента до помощи технической группе в устранении ошибки веб-сайта или базы данных. Проблемы, с которыми вы сталкиваетесь, часто различаются по сложности: некоторые ситуации требуют простого решения, а другие требуют большего обдумывания и навыков для преодоления.

Бизнес-менеджеры тратят много времени на решение проблем и, следовательно, требуют от своих сотрудников творческого подхода и интуиции, когда дело доходит до их решения. Уверенность в своем подходе действительно важна, и по мере того, как вы узнаете, какие процессы наиболее эффективны для преодоления препятствий, ваша уверенность будет расти. Без соответствующих процессов ваши решения могут потерпеть неудачу или даже создать дополнительные проблемы.

Хороший процесс решения проблем включает четыре основных этапа: определение проблемы , разработка альтернатив , оценка альтернатив и затем реализация наиболее жизнеспособных решений .

Менеджеры ищут сотрудников, которые могут проявлять творческий подход и интуитивно понимать, когда дело доходит до решения бизнес-задач.

Какие вопросы решают проблемы?

Вопросы о решении проблем обычно возникают в ходе собеседования на основе компетенций и требуют от вас продемонстрировать свой особый подход.

Вопросы о решении проблем можно задавать разными способами, но вот некоторые общие примеры решения проблем:

• Как вы решаете проблемы?
• Приведите пример проблемы, с которой вы сталкивались в прошлом, как часть команды или как отдельное лицо.Как вы решили проблему?
• Что вы делаете, если не можете решить проблему?

Почему работодатели заинтересованы в проверке ваших навыков решения проблем?

Эффективное решение проблем требует сочетания творческого мышления и серьезных аналитических навыков . Работодатели ищут сотрудников, которые могут продемонстрировать каждый из этих навыков на рабочем месте для достижения положительных результатов.

Менеджеры скорее предпочтут нанять сотрудника, который может принять меры для решения проблемы, чем того, кто не действует и полагается на кого-то другого в поисках решения.Даже если это не указано как требование в описании должности, многие работодатели все равно будут оценивать вашу способность решать проблемы на протяжении всего процесса подачи заявления.

Эффективные решатели проблем — это те, кто может применить логику и воображение, чтобы разобраться в ситуации и разработать эффективное решение. Даже если это окажется не таким успешным, как вы надеялись, жизнестойкость важна, поэтому вы можете переоценить ситуацию и попробовать альтернативу.

В какой форме принимаются вопросы для решения проблем?

Если навыки решения проблем являются неотъемлемой частью вашей роли, вероятно, вам придется пройти какую-то оценку в процессе подачи заявки.Существует ряд форм, которые могут принимать вопросы о решении проблем, но большинство из них будет основано на сценарии .

Работодатели могут строить вопросы для решения проблем по трем основным направлениям:

• Как вы подходили к ситуациям в прошлом
• Как бы вы справились с проблемой, которая может возникнуть в ходе работы
• Как вы решаете проблемы на протяжении всего процесса подачи заявки

Прошлые вызовы

Некоторые работодатели считают, что то, как вы подходили к ситуации в прошлом, является хорошим индикатором того, как вы подойдете к сложной ситуации в будущем.Поэтому лучший способ понять, как кто-то отреагирует на конкретный сценарий, — это задать такой вопрос, как «объясните случай, когда…»

Поскольку работодатель хочет оценить ваши навыки решения проблем, он может попросить вас описать ситуацию, когда что-то пошло не так и что произошло. Это может быть пример того, как вы столкнулись с чем-то неожиданным или к вам обратился клиент по поводу беспокойства.

Ситуации, характерные для работы

Менеджеры часто связывают один или несколько вопросов с должностью, на которую вы претендуете.Иногда это может принимать форму вопроса о том, что бы поступил соискатель, если бы у него было слишком много или слишком мало работы для выполнения.

Вопросы такого типа обычно начинаются с того, что рекрутер спрашивает, как бы вы поступили в конкретной ситуации, после чего следует какой-то вызов. Например, как вы поступили бы с коллегой, который полагался на вас в выполнении всей работы или не достиг цели.

Вопросы в процессе подачи заявки

Хотя это не вопросы как таковые, они могут использоваться некоторыми рекрутерами, чтобы увидеть, как вы справляетесь с неожиданными изменениями.Это может быть изменение времени собеседования или отправка электронного письма без прикрепления чего-то важного. И то, и другое — даже если они непреднамеренные — можно использовать как способ оценить, как вы подходите к чему-то непредвиденному.

Как отвечать на вопросы для решения проблем

Если вы знаете, что в процессе подачи заявки вы, вероятно, столкнетесь с вопросами, связанными с решением проблем, рекомендуется изучить типичные вопросы и сценарии, которые предлагаются кандидатам.Это не только повысит вашу уверенность в себе, но и поможет уточнить ответы и дать более убедительный ответ. В этом разделе мы приводим три примера общих вопросов и подходящих ответов:

Вопрос 1

Вас попросили запланировать срочный проект, но вы не можете выполнить необходимую работу, так как вам нужна информация от другого коллеги, который в настоящее время недоступен. Как бы вы справились с ситуацией?

Ответ:

Лучшим вариантом здесь будет переоценка ситуации.Есть ли какие-то другие элементы проекта, над которыми вы можете продолжать, пока не вернется ваш коллега? Если это не вариант, вам следует изучить все возможности, чтобы попытаться связаться с ними или с кем-то из их команды, кто может помочь.

Вопрос 2

Вы работаете над проектом и на полпути понимаете, что допустили существенную ошибку, для устранения которой может потребоваться перезапустить проект. Как вы подойдете к этому, чтобы уложиться в срок?

Ответ:

Прекратите то, что вы делаете, и оцените ошибку.Достаточно ли он мал, чтобы разрешиться, не занимая слишком много времени? Если да, устраните ошибку и двигайтесь дальше. В качестве альтернативы, если нет другого выхода, кроме как переработать проект (что может повлиять на соблюдение сроков), первое, что нужно сделать, — это уведомить своего руководителя. Возможно, вам придется перенести свой день или поработать дольше, чтобы завершить проект и уложиться в срок.

Вопрос 3

Как бы вы поступили с клиентом, который недоволен вашим обслуживанием, даже если вы не сделали ничего плохого, а ошибку совершил клиент?

Ответ:

Независимо от того, насколько расстроен, резок или рассержен клиент, ответственность за то, чтобы с ним обращались с уважением, лежит на сотруднике.Лучший способ сделать это — быть внимательными и искренне заботиться об их проблеме. Роль сотрудника — превратить негативную ситуацию в позитивную. Если ваши усилия по-прежнему не увенчаются успехом, в качестве последнего варианта уведомите об этом своего руководителя.

Советы, распространенные ошибки и дальнейшие действия

Когда дело доходит до ответов на вопросы о навыках решения проблем, мы рекомендуем следующее;

Do:

• Выберите сильный пример , который действительно положительно продемонстрирует вашу способность решать проблемы.
• Выберите примеры, имеющие отношение к вакансии, на которую вы претендуете . Если вы подаете заявку на проектную должность, приведите пример того, как вы решили проблему с рабочим или академическим проектом.
• Будьте конкретны в своих ответах и предоставьте достаточно деталей, чтобы привести пример того, как вы подходите к ситуациям и как вы думаете. Обдумайте возможные ответы и сценарии перед собеседованием .
• Убедитесь, что проблема уникальна .Если у вас есть проблема, просто позвонить кому-нибудь для ее решения не впечатлит. Лучшие ответы покажут индивидуальные решения задач, которые могут показаться обыденными.
• Убедитесь, что проблема проста . Если вы перешли с юридической карьеры на инженерную и ваша проблема носит юридический характер, убедитесь, что ее легко понять, и объясните ее интервьюеру без использования жаргона.

Нельзя:

• Выберите слабую или скучную задачу или задачу, которая негативно отражает вас.
• Обобщите свои ответы такими ответами, как «вы считаете себя отличным решателем проблем» или «вы регулярно решаете проблемы». Вы должны продемонстрировать , как вы эффективно решаете проблемы.
• Поднимите любые вопросы, вызывающие беспокойство, приведя примеры негативных ситуаций, возникших в результате ваших собственных действий , даже если вы успешно решили проблему.
• Какой бы интересной ни была история, которую вы должны рассказать, не тратьте слишком много времени на подробное описание , потому что рекрутеру скоро надоест.Ответьте кратко и по существу.

Как продемонстрировать решение проблем в своем резюме или сопроводительном письме

При подаче письменного заявления и на собеседовании работодатели будут ожидать, что вы подтвердите свои навыки решения проблем. В своем письменном заявлении вы должны продемонстрировать их с помощью соответствующих ключевых слов, утверждений и достижений. Если вы решили проблему, и она оказала положительное влияние на бизнес — например, повысила стандарты обслуживания клиентов или сэкономила ресурсы — укажите это в своем резюме.

Если вас пригласили на собеседование, попробуйте использовать метод STAR , чтобы структурировать свои ответы. Этот метод фокусирует ваши ответы на ситуации, задаче, действии и результате. Следование этому процессу поможет вашим ответам быть сфокусированными, краткими и убедительными.

Если решение проблем является основным элементом вашей работы, работодатель может включить соответствующий психометрический тест и / или мероприятие для тщательной оценки ваших навыков решения проблем.

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Решение

Наша цель — иметь x (или другую переменную) самостоятельно слева от знака неравенства:

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 — 2> 12 — 2

Упростить:

x> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .

Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

• Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
• Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
• Упростить сторону

Пример: 3x

<7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно изменяют направление неравенства (например, «<» становится «>»):

Пример: 2y + 7

<12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2 года + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Часто мы можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3

<7

Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:

х + 3 — 3 <7 — 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

И это хорошо работает для сложения и вычитания , потому что, если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но «x» справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если вычесть 5 с обеих сторон, получим:

12 -5 -5

7 <х

Вот и решение!

Но ставить «x» слева — это нормально…

… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре — умножение).

Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).

Положительные значения

Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y

<15

Если мы разделим обе стороны на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5

Отрицательные значения

Почему?

Ну, посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 это , увеличение ,
, но от -3 до -7, , уменьшение.

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y

<−8

Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !

−2лет <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , которую я разделил на отрицательное число.)

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx

<3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

x <3

… но подождите … если b равно отрицательное значение , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !

Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

• , если b равно 1 , то ответ будет x <3
• , но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответ будет x> 3

Ответ может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Так:

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример:

x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте очистим «/ 2», умножив обе стороны на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х − 3 <−10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

x − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И вот наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу сразу с двумя неравенствами?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

Теперь вычтите 6 из каждой части:

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

• Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон, пока не останется переменная сама по себе.
• Но эти вещи изменят направление неравенства:
  • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
  • Замена левой и правой сторон
• Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

Решение рациональных уравнений

Решение рациональных уравнений
Вот шаги, необходимые для решения рациональных уравнений:

Пример 1 — Решить:

Пример 2 — Решить:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 —

Щелкните здесь для практических задач

Пример 6 —

Щелкните здесь для практических задач

Квадратичное решение на множитель

Квадратное решение на множитель
Вот шаги, необходимые для решения квадратичных расчетов по факторингу:

Пример 1 — Решить: x ² + 16 = 10x

Пример 2 — Решить: 18x ² — 3x = 6

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 — Решить: 50x ² = 72

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 — Решить: x (2x — 1) = 3

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 — Решить: (x + 3) (x — 5) = –7

Щелкните здесь для практических задач

Пример 6 — Решить: 3x (x + 1) = (2x + 3) (x + 1)

Щелкните здесь для практических задач

GRE Стратегии решения проблем (для тестируемых)

вопросов в мере количественного мышления Общего теста GRE® просят вас смоделировать и решить проблемы, используя количественные или математические методы.Как правило, решение математической задачи состоит из трех основных шагов:

• Шаг 1. Разберитесь в проблеме
• Шаг 2: Реализуйте стратегию решения проблемы
• Шаг 3. Проверьте свой ответ

Вот описание трех шагов, за которым следует список полезных стратегий для решения математических задач.

Шаг 1. Понять проблему

Первый шаг — внимательно прочитать формулировку проблемы, чтобы убедиться, что вы понимаете предоставленную информацию и проблему, которую вас просят решить.

Некоторая информация может описывать определенные количества. Количественная информация может быть дана словами или математическими выражениями, или их комбинацией. Кроме того, в некоторых задачах вам может потребоваться прочитать и понять количественную информацию в представлениях данных, геометрических фигурах или системах координат. Другая информация может принимать форму формул, определений или условий, которым должны удовлетворять количества. Например, условия могут быть уравнениями или неравенствами или могут быть словами, которые можно перевести в уравнения или неравенства.

Помимо понимания информации, которую вам дают, важно понимать, что вам нужно сделать, чтобы решить проблему. Например, какие неизвестные количества необходимо найти? В какой форме они должны быть выражены?

Шаг 2. Реализация стратегии решения проблемы

Решение математической задачи требует большего, чем понимание описания проблемы, то есть больше, чем понимание величин, данных, условий, неизвестных и всех других математических фактов, связанных с проблемой.Это требует определения того, какие математические факты использовать, а также когда и как использовать эти факты для разработки решения проблемы. Это требует стратегии.

Математические задачи решаются с помощью самых разнообразных стратегий. Также могут быть разные способы решения данной проблемы. Следовательно, вам следует разработать репертуар стратегий решения проблем, а также представление о том, какие стратегии, вероятно, будут лучше всего работать при решении конкретных проблем. Попытка решить проблему без стратегии может привести к большому объему работы без получения правильного решения.

После того, как вы определите стратегию, вы должны ее реализовать. Если вы застряли, проверьте свою работу, чтобы увидеть, не допустили ли вы ошибки в своем решении. Важно иметь гибкий и непредвзятый настрой. Если вы проверяете свое решение и не можете найти ошибку или ваша стратегия решения просто не работает, поищите другую стратегию.

Шаг 3. Проверьте свой ответ

Когда вы получите ответ, вы должны проверить его разумность и правильность вычислений.

• Вы ответили на заданный вопрос?
• Разумен ли ваш ответ в контексте вопроса? Проверить разумность ответа можно так же просто, как вспомнить основной математический факт и проверить, соответствует ли ваш ответ этому факту.Например, вероятность события должна быть от 0 до 1 включительно, а площадь геометрической фигуры должна быть положительной. В других случаях вы можете использовать оценку, чтобы убедиться, что ваш ответ обоснован. Например, если ваше решение включает сложение трех чисел, каждое из которых находится в диапазоне от 100 до 200, оценка суммы говорит вам, что сумма должна быть между 300 и 600.
• Вы допустили вычислительную ошибку при получении ответа? Ошибка ввода ключа с помощью калькулятора? Вы можете проверять наличие ошибок на каждом этапе своего решения.Или вы можете напрямую проверить правильность вашего решения. Например, если вы решили уравнение для x и получили ответ, вы можете проверить свой ответ, подставив его в уравнение, чтобы увидеть это.

Стратегии

Не существует установленных правил — применимых ко всем математическим задачам — для определения наилучшей стратегии. Способность определять стратегию, которая будет работать, растет по мере того, как вы решаете все больше и больше проблем.