ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ
Чтобы найти значение числового выражения, необходимо знать ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ.
Если в выражении используются только основные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), то порядок таков: сначала выполняется умножение и деление, а затем выполняется сложение и вычитание, причем выполняют их слева направо в том порядке, в котором они записаны.
Если же в примере есть действие возведения в степень, то сначала выполняется возведение в степень, потом умножение или деление, затем сложение и вычитание.
Нарушить порядок выполнения арифметических действий могут скобки.
Если в выражении есть скобки и основные арифметические действия, то сначала выполняются действия в скобках, при этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.
В старых учебниках и сборниках задач выражения заключают последовательно в круглые ( — ), квадратные [ — ( — ) — ] и фигурные { — [ — ( — ) — ] — } скобки.
Действия в данном случае выполняются последовательно: сначала в круглых, затем в квадратных, потом в фигурных скобках. При этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.
В нынешних учебниках чаще используют только круглые скобки, например: ( — ( — ( — ) — ) — ). В этом случае начинаем выполнять действия сначала во внутренних скобках и далее последовательно от внутренних скобок к последним внешним. Выполняют действия в этих скобках, соблюдая установленный порядок выполнения математических действий.
Если в примерах деление обозначено чертой дроби, то необходимо обязательно сократить дробь, если, конечно, это возможно.
Если сократить нельзя, то сначала выполняют действия в числителе этой дроби, затем в знаменателе, потом выполняют деление результата выполнения действий в числителе на результат выполненных действий в знаменателе (напоминаем, черта дроби — это действие деления).
При наличии в примере знака корня и действий под корнем, мы выполняем сначала действия под знаком корня, затем извлекаем корень, то есть рассматриваем как запись со скобками (знак корня — рассматривается, как скобки).
Если выражение содержит действия в показателе степени, сначала выполняют все математические действия, указанные в показателе степени.
ПОДЕЛИТЕСЬ:
Порядок выполнения математических действий
Порядок выполнения математических действий
В математике установлен определенный порядок выполнения математических действий при любой записи действий над числами. Для основных арифметических действий установлен следующий порядок: сначала выполняется возведение числа в степень, затем выполняется умножение и деление и в самую последнюю очередь выполняется сложение и вычитание.
Если необходимо выполнить несколько действий умножения и деления, то выполняются они слева на право в том порядке, в котором записаны.
Точно так же выполняются несколько действий сложения и вычитания: слева на право в том порядке, в котором действия сложения и вычитания записаны.
Если хотят, чтобы порядок арифметических действий в какой-нибудь записи отличался от установленного, то употребляют скобки.
Математические выражения заключают последовательно в круглые ( … ), квадратные [ … ( … ) … ] и фигурные { … [ … ( … ) … ] … } скобки. Действия над числами выполняются последовательно: сначала в круглых, затем в квадратных и, наконец, в фигурных скобках. Если в скобках заключены несколько различных математических действий, установленный порядок выполнения действий необходимо соблюдать: сначала выполняется умножение и деление, после этого сложение и вычитание внутри скобок. После получения результатов математических действий, заключенных в скобки, приступают к выполнению математических действий, записанных за скобками, соблюдая установленный порядок выполнения математических действий.
Если деление обозначено чертой, необходимо сократить дробь, если это возможно. Деление, обозначенное чертой, выполняют после вычисления выражений, стоящих в числителе и в знаменателе.
Знак извлечения корня рассматривается как запись при помощи скобок.
При возведении в степень сначала выполняют все математические действия, указанные в показателе степени.
Если требуется указать иной порядок действий, то употребляют скобки. В этом случае сперва выполняются все действия внутри скобок, только после этого приступают к выполнению действий за скобками.
18 сентября 2009 года — 22 сентября 2019 года.
© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защишены.
Порядок действий скобки | Математика
Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат зависит от порядка действий. Например, 4-2 + 1 = 3, если производить действия в порядке их записи; если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1. Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае (4 — 2) + 1 = 3; 4 — (2 + 1) = 1.
Пример 1.
(2 + 4) · 5 = 6 · 5 = 30; 2 + (4 · 5) = 2 + 20 = 22.
Чтобы чрезмерно не загромождать записи, принято не писать скобок:
1)в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны; например, вместо (4 — 2) + 1 = 3 пишут 4-2 + 1 = 3;
2)в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.
При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:
1) сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление выполняются в порядке их следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2) затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление выполняются в порядке их следования, но раньше сложения и вычитания.
Пример 2. 2·5-3·3.
Сначала выполняем умножения 2·5 = 10, 3·3 = 9; затем вычитание: 10 — 9 = 1.
Пример 3.
9 + 16 : 4 — 2 · (16 — 2 · 7 + 4) + 6 · (2 + 5).
Сначала выполняем действия в скобках: 16-2·7 + 4=16-14 + 4 = 6; 2 + 5 = 7.
Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 — 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 — 12 + 42 = 43.
Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки.
Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки другой формы, например квадратные [ ]. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками { }. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности; затем — вычисления внутри всех квадратных ско-
бок по тем же правилам; далее — вычисления внутри фигурных скобок и т. д.; наконец, выполняются остающиеся действия.
Пример 4.
5 + 2 · [14 — 3 · (8 — 6)] + 32 : (10 — 2 · 3).
Выполняем действия в круглых скобках; имеем: 8-6 = 2; 10-2 · 3 = 10 — 6 = 4; действия в квадратных скобках дают: 14-3·2 = 8; выполняя остающиеся действия, находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29.
Пример 5.
{100 — [35 — (30 — 20)]} · 2. Порядок действий: 30 — 20 = 10; 35 — 10 = 25;
100-25 = 75; 75 · 2 = 150.
| Табличка на двери |
Конспект урока ««Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».»
Сколько пальцев на 6 руках? (30)
Пойя: “Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому”.
”
Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?
Умножить 271 на 49. 
Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?
Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.
Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).
В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.
Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
Электронный справочник по математике для школьников арифметика арифметические действия
Арифметика. Арифметические действия
Содержание
Арифметика. Арифметические действия
Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.
Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.
Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
Обратные арифметические действияВычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.
Например,
Свойства арифметических действий
Порядок выполнения арифметических действий
Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.
Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.
Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.
Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.
Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.
Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того, чтобы умножить натуральное число на 10 , 100 , 1000   и т.д., нужно справа приписать к нему столько нулей, сколько содержится в числе 10 , 100 , 1000   и т.д. соответственно.
Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому
что и требовалось показать.
благо или зло для России? — Евгений Анисимов — Умом Россию понимать — Эхо Москвы, 21.05.2021
И. Прохорова― Здравствуйте. С вами программа «Умом Россию понимать». И я ее ведущая, Ирина Прохорова. Этим циклом передач мы постараемся опровергнуть Тютчева о том, что умом Россию не понять, и постараемся это сделать спокойно, объективно и желательно сохраняя чувство юмора, что необходимо для жителей нашей страны.
И мы начнем нашу программу с самой спорной и самой яркой фигуры отечественной истории – это, конечно, фигура Петра I, вокруг которого происходят бесконечные баталии, ожесточенные споры в российском обществе. И собственно говоря, разногласия в оценке деятеля Петра в 19 веке привели к разделению интеллектуального слоя России на две ведущие силы, которые так или иначе реинкарнируются и в наше время – это западники и славянофилы. Сейчас теперь почвенники, прогрессисты и так далее.
Так вот, что из себя представляет фигура Петра – благо или зло для России, – мы поговорим с ведущим историком, специалистом по 18 веку эпохи Петра Евгением Викторовичем Анисимовым, который написал прекрасную книгу, которая так и называется «Петр Первый. Благо или зло для России?». Евгений Викторович, здравствуйте.
Е. Анисимов― Здравствуйте. Фигура совершенно замечательная. Вот я пишу сейчас о нем снова. О нем можно много писать. Он такой черный ящик, из которого что-то извлекаешь совершенно необыкновенное.
И вот в начале «Писем и бумаг Петра», толстого тома, изданного больше 150 лет назад, там есть такие учебные тетради – там цифирь какая-то, столбцы и прочее. Я решил разобраться, чем же он занимался. Это, понимаете, сложение и вычитание длинных чисел. К примеру, 13500 и вычесть из этого 10200. Это, казалось, бы обычное дело. Так делают все дети. Какие дети? Ему 17 лет. То есть он в 17 лет не умел считать, арифметические примеры делать. И что потом произошло в России? В то время, когда он в свои 17 лет писал в столбик, в это время его современники в Англии читали и наслаждались Ньютоном с его новыми открытиями. Как произошло, что вот этот полуграмотный человек сумел достичь таких невероятных результатов?
И. Прохорова― Смотрите, вот российское общество постоянно спорит, нужны ли для России реформы, продуктивны ли были усилия Петра по перенесению на русскую почву чужих образцов, стоило ли подрывать традиции. И лучше всего обобщил это все Карамзин в своих «Записках о древней и новой России». Он писал: «Мы стали гражданами мира, но перестали быть, в некоторых случаях, гражданами России. Виною Петр. Он велик без сомнения; но еще мог бы возвеличиться гораздо более, когда бы нашел способ просветить ум россиян без вреда для их гражданских добродетелей».
Так вот, мой первый вопрос. И вот как бы есть какие-то непреложные тезисы и установки по отношению к фигуре Петра, которые кочуют из учебника в учебник и в общественном сознании. Вот как бы говорят, что необходимость радикальных реформ назрела, и Петр был тем человеком, который эти реформы провел. Вот скажите, а нужны ли были такие радикальные реформы?
Е. Анисимов― Я вначале хотел сказать по поводу Карамзина. Карамзин действительно очень ярко характеризовал Петра. И вот там где-то в конце прозвучало, что вот надо было бы сначала просвещением заняться, а не устраивать такую ломку. Да, надо было бы просвещением заниматься, если б были университеты, если бы были спонсоры, которые финансировали бы просвещение вообще. Ничего не было.
Вот знаете, говорят, Петр создал крепостническую экономику. Я согласен. Действительно, она нас привела к крымской катастрофе в конечном счете. Но экономику нужно было создавать. А из чего ее создавать? И самое главное другое. Почему то, что Петр неправильно начал, в конце концов не исправили на правильное? И где это просвещение, о котором постоянно говорили? И во времена Александра, когда ему предлагали радикальные реформы, Лагарп ему писал: «Сначала нужно просвещение. Крестьян надо сначала просветить». Вот Александр II взял и устроил без просвещения реформу – отмену крепостного права.
И.Прохорова: Мы знаем историю. Ни одна страна не был белой и пушистой. Это справедливо
И. Прохорова― В данном случае я хотела сказать, что ведь ваша книга замечательная тем, что она построена в форме диалога защитника деяний Петра и противника. Вот у меня такая, в общем, неблагодарная роль быть адвокатом дьявола, консерватором. Вы знаете, во-первых, сам Петр вполне себе в стиле и других правителей европейских, затевая такие чудовищные реформы, которые, в общем, ломали через колено традиционную жизнь российскую, всегда упирал на мрачное прошлое.
Но это известно, что Ренессанс и Просвещение – все время говорили о мрачном Средневековье. Последние десятилетия историки вообще показывали, что никакого мрачного Средневековья, особенно позднего Средневековья, не было. Это вполне были развитые и интересные культуры, мощные, на которые Ренессанс и Просвещение опирались, по большому счету.
Так вот разговор о мрачном Средневековье и ужасе до Петра – это же тоже отчасти его пропаганда.
Е.Анисимов: Петр считал, что он богом назначен
Е. Анисимов― Да.
И. Прохорова― Он возглавил реформы, которые назревали, которые начинали происходить. Никаких голодных бунтов не было, не было никакого кризиса экономического. Наоборот, последние десятилетия 17 века, в общем, были вполне себе успешными. И собственно говоря, на этот жирок крестьянский Петр и опирался, проводя свои бесконечные войны, и обложил крестьян чудовищными податями, которых не было до него, собственно говоря, разоряя крестьян и надрывая всю экономику. Так в чем, собственно, была идея? Ну, появился первый университета – Славяно-греко-латинская академия. То есть никто не говорил, что реформы не нужны. Но идея слома всего, изничтожение тех ростков, точек роста.
В данном случае что в итоге такого невероятного мы получили? А в чем плохо просвещение крестьян? Ведь, на самом деле, мы знаем, например, крестьянская война в Германии, которая покончила с крепостничеством, была связана с тем, что немецкие крестьяне были грамотными и они противопоставляли и говорили, что в Библии написано, что все равны, вы не имеете права нас угнетать. Вот невежество крестьян ведь и тормозило очень многие реформы. Разве не так?
Е. Анисимов― Да, это все правильно. Вот знаете, ваш редактор замечательный, он все время мне писал: «В конце как вы-то считаете? К какому выводу приходите?»
И. Прохорова― Мы обязательно к концу придем и спросим вас.
Е. Анисимов:― «Как вы считаете, вот благо или зло?» И я каждый раз не то что уворачивался, я как бы все время стремился лететь над этим пейзажем, который был. И в конечном счете я вам могу сказать – и это часто бывает с реформаторами, с реформами – все происходило, потому что это такая личность. Вот понимаете, это реформы ненависти к прошлому. А какое прошлое? Все со школьных времен знают и стрелецкие бунты, и опасность, которая всегда над ним висела, пока он был молод, будучи вторым царем. И он возненавидел вот это прошлое и в том числе то вполне благополучное, которое было.
И второе обстоятельство – это, конечно, империализм. Он изо всех сил стремился расширить пределы России и войти в общую группу немногочисленную тех, кто правит миром. Это очень важный момент. И ради этих двух причин произошло то, что произошло. И мы знаем, что ради, допустим, мировой революции то же самое происходило в позднейшее время.
То есть когда мы рассуждаем просто о том, что действительно в конце 17 века были такие жирные, упитанные годы, то чего тут, собственно, было так ломать? Но если мы введем вот эти два фактора, то мы увидим, что по-своему это, с его точки зрения, все это было оправданно.
И. Прохорова― Вы знаете, если посмотреть с точки зрения имперского государственного взгляда, ну да, Россия стала мощной, хищной империей, которая стала грозить не только шведу, но и всей Европе. И с этой точки зрения, конечно, картина, в общем, я бы сказала, выдающаяся. Но если мы посмотрим немножко с другой стороны… Понимаете, вот этот меня всегда смущает эффект на каком-то ближнем эффекте. В течение жизни Петра и ближайших, может быть, десятилетий эффект был колоссальный.
Но мы же говорим, если смотрим исторически, перспективу, а что это дало впоследствии для страны, вот поскольку Петр заложил основы современного государства, модернового. Ну, фактически он выстроил всю экономику под военные цели. То есть армия стала главным и единственным, я бы сказала, таким бенефициаром всего этого.
Но вот, например, я не могу не привести цитату историка Александра Корнилова, который писал о России 17 века: «Содержание служивого сословия сделалось господствующим интересом в Московском государстве, поглощавшим все остальные интересы страны. Этому интересу все приносилось в жертву.
Эта же неизбежность постоянного многовекового напряжения средств страны, малонаселенной и вынужденной отстаивать, охранять и постоянно расширять и без того непомерно растянутые границы, привела к тому, что население обращено было к отбыванию тяжелой государственной повинности того или иного рода. В поисках за платежными силами возникает и укореняется мало-помалу своеобразная финансовая система, в основание которой кладется идея всеобщего тягла».
И.Прохорова: Разговор о мрачном Средневековье и ужасе до Петра – это же тоже отчасти его пропаганда
То есть, грубо говоря, в каком-то смысле мы и сейчас живем в этой конструкции, когда все население, грубо говоря, существует для того, чтобы кормить армию. Разве это не так? И насколько это же и однобокая экономика и вообще приоритеты территории над людьми, живущими на территории, как писал Александр Пятигорский, она до сих пор существует в политике, что никак не идет на пользу государству в целом. Разве это не так?
Е. Анисимов― Нет, это так. Вот здесь мы как раз входим в то противоречие, которое отражено в книжке. Да, вокруг России не ходили мягкие голубые слоны или розовые. Там были свои империи. И необходимость государственных преобразований для укрепления обороны очевидна. Но при этом следующий растык. А какого беса он пошел в Индию, завоевывать Персию, если, с одной стороны, действительно, надо было создать армию, а с другой стороны, начать безумные проекты (например, проект основания базы на Мадагаскаре). Собственно, то, что вы говорите. У нас, по-моему, теперь в Судане где-то должна новая база быть. Примерно в том же направлении. Вот такая история России.
Е.Анисимов: Он создал монстра, который существует и до сих пор
Как Погодин писал, что Петр – такая фигура, которая не уменьшается по мере того, как мы идем по историческому пути. Это нарушение исторической перспективы. Он все время великий, большой. А почему это произошло? Может быть, он выбрал тот путь, который был предназначен России? Как Соловьев писал: «Собрались в дорогу. Ждали, когда придет вождь». Я говорю это к тому, что никакого другого пути у этой страны нет.
И. Прохорова― Хорошо. А главная ошибка Петра?
Е. Анисимов― Главная ошибка Петра… Он говорил: «Как бы я хотел сменить свое место русского царя на место английского адмирала. Как бы мне хорошо было». Он не ценил свой народ. Он вообще не видел в нем никаких начал цивилизованных и поэтому считал, что это палка. Вот это самый главный, существенный недостаток многих русских правителей, которые не верят в свой народ. Но когда у них там что-то в огне, то они вдруг начинают говорить «братья, сестры». Александр I вообще обратился «граждане», когда Наполеон пришел. Это вот это неумение ценить свой народ, использовать его действительно выдающиеся, как и у других народов, способности. Это главный недостаток.
И. Прохорова― Нам нужно ненадолго уйти на перерыв. А после перерыва все-таки попытаемся мы с вами поспорить, мог бы быть у России другой путь, кроме имперского милитаристского. Так что, наши радиослушатели, не переключайтесь. Мы вернемся к этой архиважной теме.
НОВОСТИ / РЕКЛАМА
И. Прохорова― Мы продолжаем нашу программу под общим названием «Умом Россию понимать». И напомню нашим радиослушателям, что мы сегодня беседуем с Евгением Викторовичем Анисимовым, известным историком, специалистом по 18 веку и петровской эпохе, о фигуре Петра очень неоднозначной. И мы программу назвали по книге Евгения Викторовича, которая так и называется «Петр Первый. Благо или зло для России?» Так вот закончили на тезисе, выдвинутом автором книги, что другого пути у России не было. Вы знаете, эти разговоры об особом единственном пути никогда меня, честно говоря, не убеждали.
Мы знаем историю. Ни одна страна не был белой и пушистой. Это справедливо. Есть много завоеваний, безобразий и ужасов. Но знаем целый ряд примеров стран, которые, в общем, совсем необязательно были самодержавными. И ведь мы прекрасно понимаем, что вот этот тезис, который был выдвинут при Петре, а потом им жонглировали и манипулировали все остальные самодержцы, что из-за географии, географический фактор, у нас страна такая огромная, вот кроме как самодержавие удержать это не может. И это работало в сталинское время: железный обруч, железная рука и так далее.
Но существует целый ряд других пример. Вот нелюбимые наши США – огромная страна, которая управляется по-другому. Был пример Швейцарии. Был вообще другой пример стран – та же Британская империя, где в самом расцвете король и дальше королева теряли полномочия всевластного монарха. Это никак не мешало развиваться стране.
Почему мы считаем, что самовластие – то, что ввел Петр – это единственный способ для такой страны, как Россия? Вот, может быть, рассказали бы немножко о том, что за тип государства он, собственно, создал довольно специфически? И вроде бы по всем современным с точки зрения 17-18 века лекалам. Так что Петр сделал?
И.Прохорова: Ведь Петр регламентировал все на свете, вплоть до того, как чиновникам в туалет ходить
Е. Анисимов― Сначала про то, что перечислили страны. Там жили и живут другие люди. Там живут американцы, швейцарцы.
И. Прохорова― Ну, знаете, а что, у нас рога с хвостами?
Е. Анисимов― Нет, нет, нет. Я про другое хочу сказать. Я хочу сказать, что в некотором смысле Петр когда праздновал Ништадтский мир, то были вывешены, условно говоря, такие плакаты: с одной стороны – Иван Грозный, где написано: «Я начал», а с другой стороны – Петр: «Я продолжил». Вот, понимаете, еще тут «Гуталина» не хватает, Иосифа Виссарионовича, чтобы третьим поставить. Действительно так.
Вот если бы сохранились Новгород, независимая Тверь, другие страны, то действительно могла бы история быть иной. Но у нас Золотая Орда. Она категорическим образом изменила всю историю русского народа, в отличие от народов, которые не попали под ее гнет. И это очень существенно. Петр, в сущности, и так историк Платонов в свое время писал, что Петр ничего нового не придумал, он придумал какие-то новые средства, а сущность оставалась прежней – деспотическая сущность. Только при Иване Грозном мучали людей невинных, а здесь осмысленные были жертвы.
И. Прохорова― Чем они были, собственно, осмысленны? Вот правда, знаете, ведь писание истории чаще всего, особенно нашей истории – это такая, действительно, государственная милитаристская история. И поэтому это все время разговоры о том, что цель оправдывает средства, если уж мы так серьезно скажем. Поэтому количество людей, которые были убиты и замучены и погибли на стройках бесконечных Азова, Таганрога, Беломорканала и так далее – это все как бы не считается.
И в данном случаем мне кажется, что все разговоры о том, что по-другому невозможно, они исходят из идеи именно этой имперской. Если бы в основание политики была положена идея все-таки ценности человеческой жизни, те же самые цели другими средствами бы достигались.
Но мы забываем, что эта Северная война, кажется, уложился полмиллиона человек, притом что население России тогда при Петре было 12 млн. То есть, на самом деле, в каком-то смысле это национальная катастрофа. А рекрутская система, которую Петр вроде бы взял из Швеции, она же абсолютно чудовищна, потому что дала возможность выкачивать бесконечное количество людей из деревни. Крепостных можно было как угодно вытаскивать оттуда. И что получилось? Кстати, если мы посмотрим на современную армию, она же по этому принципу и работает.
Там у нас великий полководец говорил, что нужно воевать не числом, а умением. А ведь, на самом деле, в реальности все наоборот: не умением, а числом. И начиная с Петра, просто заваливали людьми все войны, пока войны велись исходя просто из размеров армии. Если мы посмотрим в перспективе исторической, но ведь это приводит к оскудению населения (то, что и произошло, между прочим, во Вторую мировую войну).
Так что в этом смысле это красивая имперская история. Но если мы посмотрим на результаты нескольких веков, мы увидим, насколько это порочная система. Собственно, почему ее уж так нельзя поменять?
Е. Анисимов― Нет, я вообще сторонник изменений. Вообще, действительно, Ира, в наших с вами беседах и презентациях я все время выступаю в роли консерватора, потому что пытаюсь каким-то образом уравновесить. Но я все равно в вашем лагере. И хочу сказать, что очень многие проблемы, которые вы ставите, их невозможно решить, потому что поляна Петром затоптан, никакого другого варианта он не оставил. Почему вот дальше следующие правители, допустим, тот же Александр I не провел демократизацию? Почему Александр II не довел до конца то, что он начал? Вот это другой вопрос.
Вот вы говорите, Ренессанс был в Европе. В России этого не было. В России сразу же началось раннее новое время из Средневековья. И перспектив вот такого мирного, благородного и просветительского изменения я не вижу в предыстории Петра.
По поводу того, что он начал все это резко. Во многом это связано, действительно, с изменением одежды, быта, нравов. Но посмотрите, Ира, вот Япония провела реформы Мэйдзи, сохранив и кимоно до сих пор, и все остальное. Но к чему это тоже привело? Это привело к империализму, к захватам страшным. Это такой путь модернизации, получается, у восточных народов.
И.Прохорова: Постоянно спорим, продуктивны ли были усилия Петра по перенесению на русскую почву чужих образцов
И. Прохорова― Вы знаете, по поводу того, что мы Восток или мы Запад, мы даже спорить не будем.
Е. Анисимов― Да, не будем.
И. Прохорова― Это уже как-то совсем у нас какие-то дебри. Мы не похожи на японцев, не похожи на китайцев. Если мы блудный сын европейской культуры, то уж это проблема европейской культуры в целом, наверное.
Е. Анисимов― Да, да. Знаете, как голландский один дипломат говорил: «Хорошо иметь Россию другом, но не соседом».
И. Прохорова― Именно. Вы знаете, честно говоря, эти все разговоры, апеллировать бесконечно к татаро-монгольскому нашествию, которое списывает все, и поэтому мы такие – мне кажется, это тоже в некотором смысле уловка. Искать виноватых в какой-то там древней истории… Можно так дойти и до Рима в каком-то смысле и обвинить их в том, почему у нас что-то там не получилось. А все-таки для меня важный момент, и мне кажется, что какие-то изменения в обществе возможны, если понимать вот эти механизмы, как складывалось это модерное государство в России.
Все-таки, может быть, вы бы описали? Вроде бы Петр хотел сделать такую камералистскую систему управления, казалось бы, очень логичную, четкую и ясную. Вот, может быть, вы немножко расскажете, что он, собственно, сделал, зачем он сломал устоявшуюся систему управления, которая имела, конечно, много недостатков, но более-менее функционировала, работала, перегородки между социальными группами были непрочными, социальные лифты довольно интересным образом работали? Вот он решил сделать это по европейскому образцу. А вот что он, собственно, сделал?
Е. Анисимов― Здесь опять же я снова возвращаюсь к тому, что это была реформа ненависти. Иметь дело с людьми, которые замышляли его убийство и вообще свержение, он не хотел. То есть я имею в виду бояр, окольничих и всех прочих. Он решил новую систему взять на Западе. Как, собственно, он взял там строить корабли? Вот голландская ему система не понравилась, взял английскую и начали строить корабли. То же самое и здесь.
Но то, что он создал – это был монстр, который существует и до си пор, потому что он взял западноевропейскую систему учреждений, отрезав, даже кастрировав их, ибо они все соединялись с представительными органами власти, с парламентом, в том или ином виде который существовал и в Швеции, и в Дании, и в других странах, откуда он брал НРЗБ. Ему нужен был сам механизм. Он считал, что с помощью дисциплины можно привести этот механизм в идеальное состояние, и он будет лучше работать, чем московские приказы. Между тем, до Полтавского сражения эти приказы благополучно работали и достигли выдающихся успехов для этой победы.
И поэтому само создание новой государственной системы преследовало цель обеспечения армии, флота и всего прочего бесперебойными средствами. И этот монстр, в нем главным человеком стал бюрократ. В принципе, дальше было уже неважно, слабая женщина на престоле или ребенок. Эта машина уже работала. Она работала сама по себе. То, что он не использовал допетровские механизмы – здесь тоже понятно, потому что они не были отрегулированы так, как необходимо было бы, чтобы они могли функционировать как, допустим, Государственные думы и тому подобное.
Но я вам хочу сказать, что до Петра все эти Земские соборы, все это представительство народное – все это угасло. Потому что в России так устроено: если государству плохо, оно обращается к народу, народ его спасает, а после этого он снова загоняет народ в стойло. И Земские соборы к петровской эпохе уже себя изжили, как пишут. На самом деле, в них власть не нуждалась, потому что она не нуждалась в помощи народа, в его одобрении того, что она делает.
Вы знаете, дело доходило до того, что люди не платили государству налоги, а приезжал приказчик в город, занимал денег и платил в казну, а потом в деревне он собирал себе эти деньги, потому что люди больше приказчику доверяли, чем государству, они не хотели прямо платить. Это поразительно. Произошел колоссальный разрыв между обществом и государством уже в допетровскую эпоху. И он углубил это. Вы знаете, что русская элита в допетровской эпохе питалась теми же культурными продуктами, а в послепетровской произошел колоссальный разрыв между верхушкой и народом.
Я снова говорю, этот раскол наметился еще раньше, потому что русская власть не хочет иметь дела со своим народом, она хочет им только управлять.
И.Прохорова: С точки зрения имперского государственного взгляда, Россия стала мощной, хищной империей
И. Прохорова― Вы понимаете, любая власть, дай ей волю, при сломе важных социальных институтов жаждет быть и будет абсолютно авторитарной и тоталитарной. Вопрос. Говоря о том, что все угасло, но ведь можно было немножко подновить огонь и позволить, наоборот, больше самостоятельности.
И кстати, если уж говорить о прагматизме, как раз в огромной стране быть единым самодержцем значительно сложнее, потому что как раз саморегулирование регионов в огромной стране позволяет снять огромную долю ответственности и бюрократических волокит именно с центральной власти. Поэтому эта идея все держать в кулаке, на самом деле, не позволяет и стране развиваться, и людям НРЗБ, и, на самом деле, делает саму власть очень уязвимой, потому что получается, что она отвечает за все.
Но, кстати, вы и пишете в книге, что Петр фактически ручным управлением занимался. То есть он должен был рассматривать, как сейчас у нас пишут президенту: «Вот там у нас канаву раскопали, а трубу не проложили». И ему приходилось, выстроив такую мощную систему бюрократическую, которая вроде должна работать сама по себе, он вынужден был вот все время смотреть, следить, выстраивать армию надсмотрщиков над негодными бюрократами и так далее и так далее. Собственно говоря, степень дееспособности этой системы какова?
Е. Анисимов― По-видимому, если смотреть историю в целом, то в 18 веке она была дееспособна. Позже наступил серьезный кризис этой системе. Она в каком-то смысле, наверное, отвечала и общим чаяниям. Потому что, знаете, когда Петру предложили ввести систему управления с представителями от деревни, то он сказал, что это русскому мужику не нужно, нужно, чтобы к нему пришли и сказали, что делать. И в этом смысле ведь все же идет снизу. Когда была смута, то вот это движение снизу заставило очень власть измениться.
То же самое и до сих пор. Пока не будет именно такого движения снизу к самоуправлению, то ничего не будет, потому что бюрократическая система остается единственной, которая функционирует. И пока она не сменится, ничего я придумать не могу.
И. Прохорова― Хорошо, предположим, для 18 века абсолютизм был вещью вполне себе привычной в Европе. Но вот то, о чем, собственно, в вашей книжке пишется, и что недоброжелатель претензии предъявляет защитнику Петра, что если бы Петр, даже выстраивая такую абсолютную монархию, собственно, вписал бы монарха в новое законодательство, то есть обязанности монарха, то эта система была бы способна к эволюции.
Но ведь произошло самое чудовищное. Ведь Петр регламентировал все на свете, вплоть до того, как чиновникам в туалет ходить, где и когда, а при этом он вывел фигуру монарха из правового поля. То есть, грубо говоря, монарх не подчинялся никаким правилам, в том числе и престолонаследования (просто разрушена была система привычная, можно было хоть коня посадить на престол), и как бы неответственным был ни перед кем.
Е.Анисимов: Русская власть не хочет иметь дела со своим народом, она хочет им только управлять
Не это ли создало вот эту порочную систему? Дело даже не в самом абсолютизме, который пережили почти все страны, а в том, что здесь фактически обязанности у монарха и ограничения его власти какими-то установками вообще не оказалось. И отсюда мы видим эти бесконечные дворцовые перевороты, всю эту катавасию. И вот эта идея неподчиненности высшей власти ничему, даже собственным законам, не есть ли это главный порок, который создал Петр в своей несомненно мощной деятельности по реформированию страны?
Е. Анисимов― Да, конечно. Но даже если бы ему было предложение такое… А, собственно, есть об этом сохранившийся анекдот о том, что он сказал, что аглицкие законы – это у нас как от стенки горох, имея в виду парламентскую систему. Ему казалось, что он в состоянии заменить все. Знаете, у него как бы такая была идея, что не нужно нам демократии, не нужно нам этих институтов, я, моя просвещенная воля – вот гарантия прогрессивного развития России. И с этим ваши предложения он никогда бы не принял.
И. Прохорова― Я думаю, что меня бы еще потащили куда-нибудь на плаху.
Е. Анисимов― Да. Нас сейчас никуда не тащат, но я ни разу не слышал отчета президента о проведенных годах у власти. То есть это, между прочим, характерно как раз для авторитарных режимов. И в этом смысле Петр был уж такой авторитарист, которого трудно даже представить. Поэтому создать систему, которая бы была, условно говоря, демократической, учитывала интересы разных сословий, он просто по своей природе не мог, не в состоянии этого даже понять. Это, между прочим, часто бывает с диктаторами. Вспомните Чаушеску и тому подобных. Последние слова его жены были, обращенные к солдатам: «Я же вам как мать всегда была». Вот это неизбежно.
Еще очень важный момент. Петр считал, что он богом назначен. Он в некотором смысле издевательски в церковной реформе начинал указ: «Призовет меня Господь и спросит: что ты сделал для блага русской церкви? А что я могу ответить, если я ничего не сделал?» Понимаете, здесь, конечно, есть элемент такой юмористический. Но это не юмор. Он каждую область русской жизни переделывал так, как он считал нужным. Но звучит это очень забавно.
И. Прохорова― Вы знаете, о Петре мы могли бы говорить часа 3 и было бы мало. А вот программа наша подходит к концу. Так все-таки, с вашей точки зрения, Петр I – благо или зло для России? Как историк кратко, если можете, ответьте.
Е. Анисимов― Для меня – благо. Потому что он открыл мне ворота на Запад.
И. Прохорова― А без него бы вот точно не открыли, с вашей точки зрения?
Е. Анисимов― Нет, не открыли.
И. Прохорова― А вот кратко, какое его достижение считаете самым главным?
Е. Анисимов― Самое его главное достижение – что русские люди стали себя чувствовать европейцами. Ну, не все, не власть…
И. Прохорова― 1% населения, да?
Е. Анисимов― Это важно. Этот 1% все решает. Мы вошли в ойкумену. И это очень важно. У нас сознание в целом европейцев. И это важно. И конечно, что там говорить, это культура, это открытые ворота для культуры Европы, которая к нам пришла и долгое время, почти столетие, русская культура болела и наконец-то через Державина, Пушкина она рванула вверх. Это самое главное. То есть как Марина Цветаева сказала: «Этот взгляд, остановившись на маленьком арапчонке, сказал: Пушкину – быть».
И. Прохорова― Вот здесь мы поставим точку, а предоставим нашим слушателям возможность самим решать. Может быть, прочитав книгу, этот диалог защитника и противника Петра, они вынесут какое-то свое суждение. Большое вам спасибо, Евгений Викторович.
Е. Анисимов― До свидания, дорогая.
И. Прохорова― До свидания.
Сложение и вычитание натуральных чисел
- Сложение натуральных чисел и его свойства
- Вычитание натуральных чисел и его свойства
- Числовые и буквенные выражения
- Буквенная запись свойств сложения и вычитания
- Уравнения
Все мы умеем считать.
Вы ведь знаете, что при счёте предметов мы используем натуральные числа (1, 2, 3 и так далее)? С этими числами можно совершать множество математических действий, суммировать, вычитать умножать, выбирать большее и т.д.
Сегодня мы подробно расскажем об операциях сложения и вычитания натуральных чисел и посмотрим, как можно проиллюстрировать эти действия на координатном луче.
Сложение натуральных чисел и его свойства
Для начала предлагаю вспомнить, что такое ряд натуральных чисел.
Натуральный ряд — это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Значит в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Как определить неизвестное число из натурального ряда?
Нужно прибавить к предыдущему числу единицу. Какое число следует за тройкой? Прибавляем единицу и получаем 4. То есть в натуральном ряду за тройкой следует четвёрка.
Как использовать это свойство натурального ряда при сложении?
Давайте сложим 2 и 3. Три — это три единицы, значит, к двойке прибавляем по одной по порядку:
2+1=3
3+1=4
4+1=5
В конечном результате действия с числами 2 и 3 появилось число 5. Вроде бы просто да? Но такой способ сложения лёгкий лишь когда, мы работаем с маленькими числами. С большими числами не по единичке же добавлять? Правильно?
Представим ситуацию, при которой в корзине лежит 20 яблок, добавляем к ним и ещё 15. Как определить, сколько всего яблок оказалось в корзине? Чтобы освободиться от необходимости перебирать объекты по одному, давайте определим операцию сложения.
Определение:
Сложение — это арифметическая операция, после проведения которого наши вещи, подвергаемые счету, соединяются воедино. В данном случае единое целое — это общее количество яблок в корзине. Общее количество в переводе на латиницу – это сумма. Слышали это слово?
Сумма — это результат операции сложения.
Для записи операции сложения используется знак «+». Он располагается между складываемыми числами.
Числа, которые мы складываем, называют слагаемыми. Для отображения результата сложения используют знак «=».
Давайте посчитаем, сколько же яблок оказалось в той самой корзине:
20 (яблок) + 15 (яблок) = 35 (яблок) в корзине
Теперь попробуем представить сложение небольших натуральных чисел на координатном луче.
Мы уже складывали числа 2 и 3. Возьмём теперь числа 2 и 4 и найдём их сумму с помощью координатного луча с началом отсчета в точке 0.
Его единичный отрезок (одно деление) равен единице. Мы помним, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка. Учитывая это знание, выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче.
Отмечаем число 2 там, где два деления, далее прибавляем 4, то есть двигаемся право на 4 единичных отрезка, где мы окажемся в точке, равной 6. Следовательно, суммы чисел 2 и 4 равна 6. Это мы и так уже знали, но теперь увидели это и на координатном луче.
Переходим к следующему разделу и рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
Переместительное свойство
У нас есть корзина, и в ней лежат 8 бананов. Затем мы кладем туда ещё 5 бананов. Таким образом, в ней оказывается 13 бананов.
А мы выберем немного другой порядок. Представим, что сначала в корзине было 5 бананов, и мы туда положили ещё 8 бананов. В итоге фруктов в корзине будет 13. Почему? Потому что и в первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в корзину одинаковое. Без разницы, в каком порядке выполнялись эти действия 8 + 5 или 5 + 8. В обоих случаях в сумме получается 13. Переместительное свойство сложения обязательно нужно запомнить.
Определение:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Сочетательное свойство
Второе сложения натуральных чисел – сочетательное свойство. Мы можем положить в корзину 3 банана и 4 яблока, а потом доложить еще 5 мандаринов. Или наоборот, мы можем положить 4 яблока и 5 мандаринов, а потом доложить еще 3 банана. Порядок добавления фруктов не имеет значения, потому неважно, в каком сочетании суммировались эти числа. В обоих случаях итог был бы одинаковым – 12 фруктов в корзине. Говоря математически, результат сложения числа 5 с суммой чисел 3 и 4 равен результату сложения числа 3 и суммы чисел 4 и 5.
Определение:
«Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе».
Отметим, что последовательность действий при суммировании значение не имеет.
Сложение с числом 0
Еще одно свойство сложения – это свойство сложения 0 с натуральным числом.
При сложении 0 с каким-либо числом всегда получается это самое число. Или наоборот, если к числу прибавлять 0, то есть ничего не прибавлять, то получится исходное число.
Определение:
«Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому».
Вычитание натуральных чисел и его свойства
Математический прием, при помощи которого, зная сумму слагаемых и один из этих слагаемых, можно определить неизвестное слагаемое, называется вычитанием.
Ранее мы складывали два числа 2 и 3 и получали 5. А теперь предположим, что мы не знаем второе число 3, а знаем только результат 5 и начальное число 2.
Давайте произведем математическую операцию вычитания.
5 – 2 = 3
Как видите, результатом вычитания является недостающее слагаемое. Оно называется разность.
В нашем случае число 5 тогда будет называть уменьшаемым, а число 2 будет называть вычитаемым.
Похожим образом, как и со сложением, можно вычитать числа на координатном луче, только двигаться нужно не вправо, а влево на число отрезков, равное вычитаемому.
Теперь рассмотрим свойства вычитания, которые иногда помогают значительно ускорить процесс расчетов.
Разность одинаковых чисел
Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.
Вычитание нуля из натурального числа
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Вычитание суммы из натурального числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.
Вычитание натурального числа из суммы
Если же мы хотим вычесть число из суммы двух чисел, мы можем сначала вычесть это натуральное число из одного из слагаемых, а потом прибавить к результату второе слагаемое.
Чуть позже мы разберемся, как эти правила записать в более понятном виде. Немного терпения 😉
Числовые и буквенные выражения
Как вы уже, наверное, заметили, математические операции сложения и вычитания мы записывали в какой-то новой для нас форме, со знаками «-«, «+» и «=».
Такой способ записи математической информации на бумаге, в компьютере или где-нибудь еще можно назвать математическим языком.
А определенную последовательность символов этого математического языка, которая несет в себе некий смысл, мы будет называть математическим выражением.
Существуют числовые и буквенные выражения. Ниже приведем пример таких выражений.
Под цифрами 1, 2 и 4 записаны числовые выражения.
Числовые выражения — это математические выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.
Под цифрами 2, 5 и 6 записаны буквенные выражения.
Буквенное выражение составлено также из знаков арифметических действий и скобок. Но в отличие от числовых выражений, здесь есть ещё и буквы. Буквами в буквенных выражениях обозначаются некоторые числа, которые пока нам не известны.
Следует учесть то, что две одинаковые буквы подразумевают под собой одно и то же число.
Если, например, известно какое число скрывается за каждой буквой в буквенном выражении, то такое выражение можно перевести в числовое.
Посмотрите на буквенное выражение:
a + b = 9
Если a = 5, а b = 4, то это буквенное выражение можно представить в виде числового
5 + 4 = 9
Буквенная запись свойств сложения и вычитания
Вспомним свойства сложения и вычитания, которые мы изучили в начале. Теперь мы можем представить их в виде буквенных выражений.
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = a
0 + a = a
a — 0 = a
a — (b + c) = (a — b) — c
(a + b) — c = (a — c) + b
Уравнения
Давайте рассмотрим такую задачу.
В корзине лежало несколько ягод. После того, как в неё добавили еще 4, их стало 30. Вопрос, сколько яблок было в корзине?
Обозначим неизвестное число ягод, лежащих корзине, латинской буквой X.
После того, как неё добавили 4 ягоды в ней стало 30.
Мы можем записать равенство в следующем виде:
Х + 4 = 30
Это запись условия задачи называется уравнением.
Теперь наша задача сводится к следующему. Требуется найти, каким числом нужно заменить Х, чтобы значение буквенного выражения стало равно 30.
В таких случаях говорят, что надо решить уравнение.
Внимательно посмотрим на уравнение, которое находится перед нами. Нам неизвестно слагаемое. Воспользуйся правилом нахождения неизвестного слагаемого.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Найдём значение X. Оно равно 26.
Давайте проверим. В наше начальное уравнение вместо X подставим число 26 и найдём значение левой части. Действительно, 30 равно 30.
Тогда говорят, что число 26 является корнем уравнения. Корнем уравнения называется число, которое при подстановке вместо буквы, обращать уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения называют также решением уравнения. А решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что их вообще нет (такое тоже может быть).
Например, уравнение X — X = 1 не имеет корней, потому что при любом числовом значении Х данное буквенное выражение не будет обращаться в верное числовое равенство.
В данной задаче мы находили неизвестное слагаемое. Но есть еще два правила, которые тоже обязательно нужно знать: правило нахождения неизвестного уменьшаемого и правило нахождения неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
В буквенном виде эти правила записываются следующим образом:
X — a = b => X = a + b
a — X = b => X = a — b
Здесь X — это неизвестное число, а a и b некоторые числа.
Порядок операций — PEMDAS
Операции
«Операции» означают такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д. Если это не число, это, вероятно, операция.
Но, когда вы видите что-то вроде …
7 + (6 × 5 2 + 3)
… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?
Начать слева и пойти направо?
Или идти справа налево?
Предупреждение: вычислите их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!
Итак, давным-давно люди согласились соблюдать правила при расчетах, а это:
Порядок действий
Действия, указанные в скобках, сначала
| 4 × (5 + 3) | = | 4 × 8 | = | 32 | |||
| 4 × (5 + 3) | = | 20 + 3 | = | 23 | (неправильно) |
Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием
| 5 × 2 2 | = | 5 × 4 | = | 20 | |||
| 5 × 2 2 | = | 10 2 | = | 100 | (неправильно) |
Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием
| 2 + 5 × 3 | = | 2 + 15 | = | 17 | |||
| 2 + 5 × 3 | = | 7 × 3 | = | 21 | (неправильно) |
В противном случае просто идите слева направо
| 30 ÷ 5 × 3 | = | 6 × 3 | = | 18 | |||
| 30 ÷ 5 × 3 | = | 30 ÷ 15 | = | 2 | (неправильно) |
Как я все это помню…? ПЕМДАС!
пол | P первые скобки |
E | E xponents (т.е. степени, квадратные корни и т. Д.) |
MD | M ultiplication и D ivision (слева направо) |
AS | A ddition и S ubtraction (слева направо) |
Разделение и Умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).
Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)
Так сделай так:
После того, как вы сделали «P» и «E», просто идите слева направо, выполняя любую «M» или «D», как вы их найдете.
Затем идите слева направо, выполняя любые «A» или «S», когда найдете их.
| Вы можете вспомнить, сказав « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally». | |
| Или … | Пухлые эльфы могут потребовать перекус Попкорн Каждый понедельник Пончики Всегда воскресенье Ешьте, пожалуйста, вкусные яблочные штрудели мамы Везде приняли решения по суммам |
Примечание: в Великобритании говорят BODMAS (скобки, заказы, деление, умножение, сложение, вычитание),
а в Канаде говорят BEDMAS (скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание). Все это означает одно и то же!
Неважно, как вы это запомните, главное, чтобы вы все поняли правильно.
Примеры
Пример: как вычислить
3 + 6 × 2 ?
M Ультипликация до A ddition:
Сначала 6 × 2 = 12 , затем 3 + 12 = 15
Пример: как вычислить
(3 + 6) × 2 ?
P первая цифра:
Сначала (3 + 6) = 9 , затем 9 × 2 = 18
Пример: как вы работаете
12/6 × 3/2 ?
M ultiplication и D ivision ранжируются одинаково, поэтому просто идите слева направо:
Сначала 12/6 = 2 , затем 2 × 3 = 6 , затем 6/2 = 3
Практический пример:
Пример: Сэм бросил мяч прямо вверх со скоростью 20 метров в секунду, как далеко он улетел за 2 секунды?
Сэм использует эту особую формулу, которая учитывает эффекты гравитации:
высота = скорость × время — (1/2) × 9.8 × время 2
Сэм устанавливает скорость 20 метров в секунду и время 2 секунды:
высота = 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 2
Теперь о расчетах!
Начать с: 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 2
Сначала скобки: 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 2 2
Тогда экспоненты (2 2 = 4): 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 4
Затем умножается: 40 — 19,6
Вычесть и СДЕЛАНО! 20.4
Мяч достигает 20,4 метра за 2 секунды
Показатели экспоненты …
А как насчет этого примера?
4 3 2
Экспоненты особые: идут сверху вниз (сначала экспонента сверху). Итак, мы вычисляем так:
| Начать с: | 4 3 2 | |
| 3 2 = 3 × 3: | 4 9 | |
| 4 9 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4: | 262144 |
Так 4 3 2 = 4 (3 2 ) , а не (4 3 ) 2
И, наконец, как насчет примера с самого начала?
Начать с: 7 + (6 × 5 2 + 3)
Скобки сначала , а затем Показатели : 7 + (6 × 25 + 3)
Затем Умножить : 7 + (150 + 3)
Затем Добавьте : 7 + (153)
Скобки завершены: 7 + 153
Последняя операция — Добавить : 160
Порядок операций
Поделитесь этой страницей!
После изучения 4 основных операций сложения, вычитания, умножения и деления пора научиться использовать их в различных комбинациях.Чтобы сделать это правильно, нам нужно понять некоторые правила того, как операции соотносятся друг с другом.
Мы делаем это, понимая порядок важности каждой операции относительно других.
Правило: сложение и вычитание одинаково важны.
Это означает, что мы выполняем сложение и / или вычитание в том порядке, в котором они появляются (слева направо).
Пример 1
10 + 4-8
= 14-8 (тренировка 10 + 4 сначала)
= 6
Пример 2
10-7 + 8
= 3 + 8 (сначала тренировка 10-7)
= 11
Если вы выполните расчет в другом порядке, в большинстве случаев вы получите другой результат.Так что навести порядок в правильной последовательности жизненно важно.
Пусть ваш ребенок или ученик сначала поработает с двумя операциями, прежде чем переходить к более сложным выражениям, включающим три, четыре или более операций.
Правило: умножение и деление имеют одинаковое значение.
Это означает, что мы выполняем умножение и / или деление в том порядке, в котором они появляются (слева направо).
Правило: умножение и деление важнее сложения и вычитания.
Это означает, что нам нужно сначала выполнить умножение и деление, прежде чем мы сможем выполнять сложение и вычитание.
Правило: круглые скобки или квадратные скобки () более важны, чем каждая из 4 операций.
Это означает, что мы должны выполнить все, что находится в круглых скобках (), прежде чем следовать другим правилам.
Примеры
Это приводит нас к правилу BODMAS :
Скобки, порядки (степени и корни), деление и умножение, сложение и вычитание
Или правило PEMDAS :
Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление и сложение и вычитание
Для облегчения запоминания: Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли
Практические вопросы
ОТВЕТОВ
Правило PEMDAS: понимание порядка операций
Каждый, кто посещал математические курсы в США, слышал аббревиатуру «PEMDAS» раньше.Но что именно это означает? Здесь мы подробно объясним значение PEMDAS и то, как он используется , прежде чем дать вам несколько примеров задач PEMDAS, чтобы вы могли практиковать то, что вы узнали.
PEMDAS Значение: что это означает?
PEMDAS — это аббревиатура, призванная помочь вам запомнить порядок операций, используемых для решения математических задач. Обычно произносится как «пем-дасс», «пем-дозз» или «пем-досс».
Вот что означает каждая буква в PEMDAS:
- P аренцев
- E xponents
- M ultiplication и D ivision
- A ddition и S ubtraction
Порядок букв показывает порядок, в котором вы должны решать различные части математической задачи , причем выражения в скобках идут первыми, а сложение и вычитание — последними.
Многие ученики используют этот мнемонический прием, чтобы помочь им запомнить каждую букву: Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли .
В Великобритании и других странах студентов обычно изучают PEMDAS как BODMAS . Значение BODMAS такое же, как значение PEMDAS — просто используется пара разных слов. В этом аббревиатуре B обозначает «скобки» (то, что мы в США называем круглыми скобками), а O обозначает «порядки» (или показатели).
Теперь, как именно вы используете правило PEMDAS? Давайте взглянем.
Как вы используете PEMDAS?
PEMDAS — это аббревиатура, используемая для напоминания людям о порядке операций.
Это означает, что вы не просто решаете математические задачи слева направо; скорее, вы решаете их в заранее определенном порядке, который дается вам через аббревиатуру PEMDAS . Другими словами, вы начнете с упрощения любых выражений в круглых скобках, прежде чем упрощать любые экспоненты и переходить к умножению и т. Д.
Но это еще не все.Вот что означает PEMDAS для решения математических задач:
- Круглые скобки: Все, что указано в скобках, необходимо сначала упростить
- Показатели: Все, что имеет показатель степени (или квадратный корень), должно быть упрощено после все в скобках было упрощено
- Умножение и деление: После того, как разобрались со скобками и показателями степени, решите любое умножение и деление слева направо
- Сложение и вычитание: После того, как разобрались со скобками, экспонентами, умножением и делением, решите любое сложение и вычитание слева направо
Если какой-либо из этих элементов отсутствует (например,g., у вас есть математическая задача без показателей), вы можете просто пропустить этот шаг и перейти к следующему.
Теперь давайте рассмотрим пример задачи, чтобы помочь вам лучше понять правило PEMDAS:
4 (5 — 3) ² — 10 ÷ 5 + 8
У вас может возникнуть соблазн решить эту математическую задачу слева направо, но это приведет к неправильному ответу! Итак, вместо этого давайте использовать PEMDAS, чтобы помочь нам приблизиться к правильному подходу к .
Мы знаем, что сначала нужно разобраться со скобками.В этой задаче заключены одни скобки: (5 — 3). Упрощение дает 2 , поэтому теперь наше уравнение выглядит так:
4 (2) ² — 10 ÷ 5 + 8
Следующая часть PEMDAS — экспоненты (и квадратные корни). В этой задаче есть один показатель степени, который возводит в квадрат число 2 (то есть то, что мы нашли, упростив выражение в скобках).
Это дает нам 2 × 2 = 4. Итак, теперь наше уравнение выглядит так:
4 (4) — 10 ÷ 5 + 8 ИЛИ 4 × 4 — 10 ÷ 5 + 8
Далее идет умножение и деление слева направо .Наша задача содержит как умножение, так и деление, которые мы будем решать слева направо (сначала 4 × 4, а затем 10 ÷ 5). Это упрощает наше уравнение следующим образом:
16-2 + 8
Наконец, все, что нам нужно сделать, это решить оставшееся сложение и вычитание слева направо :
16-2 + 8
14 + 8
= 22
Окончательный ответ: 22. Не верите? Вставьте все уравнение в свой калькулятор (написанное в точности так, как указано выше), и вы получите тот же результат!
Дэвид Геринг / Flickr
Примеры математических задач с использованием PEMDAS + ответы
Посмотрите, сможете ли вы правильно решить следующие четыре проблемы, используя правило PEMDAS.Мы рассмотрим ответы позже.
Пример задач PEMDAS
- 11-8 + 5 × 6
- 8 ÷ 2 (2 + 2)
- 7 × 4 — 10 (5 — 3) ÷ 2²
- √25 (4 + 2) ² — 18 ÷ 3 (3 — 1) + 2³
ответы
- 33
- 16
- 23
- 176
Ответ объяснения
Здесь мы рассмотрим каждую проблему, указанную выше, и то, как вы можете использовать PEMDAS, чтобы получить правильный ответ.
# 1 Объяснение ответа
11–8 + 5 × 6
Эта математическая задача представляет собой довольно простой пример PEMDAS, который использует сложение, вычитание и умножение только , поэтому здесь не нужно беспокоиться о скобках или показателях.
Мы знаем, что умножение предшествует сложению и вычитанию , поэтому вам нужно начать с умножения 5 на 6, чтобы получить 30:
.
11–8 + 30
Теперь мы можем просто работать слева направо над сложением и вычитанием:
11-8 + 30
3 + 30
= 33
Это приводит нас к , правильный ответ — 33 .
# 2 Ответ Объяснение
8 ÷ 2 (2 + 2)
Если эта математическая задача кажется вам знакомой, возможно, это связано с тем, что стал вирусным в августе 2019 года из-за своей неоднозначной настройки . Многие люди спорили о том, был ли правильный ответ 1 или 16, но, как все мы знаем, в математике есть (почти всегда!) Только один истинно правильный ответ .
Так что это: 1 или 16?
Давайте посмотрим, как PEMDAS может дать нам правильный ответ.В этой задаче есть скобки, деление и умножение. Итак, мы начнем с упрощения выражения в скобках, согласно PEMDAS:
.
8 ÷ 2 (4)
В то время как большинство людей в сети до этого момента соглашались, многие не соглашались с тем, что делать дальше: умножить ли 2 на 4 или разделить 8 на 2?
PEMDAS может ответить на этот вопрос: когда дело доходит до умножения и деления, вы всегда работаете слева направо. Это означает, что вы действительно должны разделить 8 на 2, прежде чем умножить на 4.
Вместо этого может быть полезно взглянуть на проблему таким образом, поскольку люди склонны запутаться в круглых скобках (помните, что все, что находится рядом с круглыми скобками, умножается на на то, что указано в скобках):
8 ÷ 2 × 4
Теперь решим уравнение слева направо:
8 ÷ 2 × 4
4 × 4
= 16
Правильный ответ — 16. Любой, кто утверждает, что это 1, определенно неправ — и явно неправильно использует PEMDAS!
Если бы только эти примеры проблем PEMDAS были такими простыми…
# 3 Ответ Объяснение
7 × 4 — 10 (5 — 3) ÷ 2²
Теперь все становится немного сложнее.
В этой математической задаче есть скобки, показатель степени, умножение, деление, вычитание и . Но не расстраивайтесь — давайте поработаем над уравнением, шаг за шагом.
Во-первых, согласно правилу PEMDAS, мы должны упростить то, что в скобках :
7 × 4 — 10 (2) ÷ 2²
Легко и просто, правда? Затем давайте упростим показатель степени :
7 × 4 — 10 (2) ÷ 4
Все, что осталось, — это умножение, деление и вычитание.Помните, что с умножением и делением мы просто работаем слева направо:
7 × 4-10 (2) ÷ 4
28-10 (2) ÷ 4
28-20 ÷ 4
28-5
После того, как вы умножили и разделили, вам просто нужно сделать вычитание , чтобы решить:
28–5
= 23
Это дает нам правильный ответ 23 .
# 4 Ответ Объяснение
√25 (4 + 2) ² — 18 ÷ 3 (3 — 1) + 2³
Эта проблема может показаться пугающей, но я обещаю, что это не так! Если вы подходите к ней по одному шагу за раз, используя правило PEMDAS , вы сможете решить ее в кратчайшие сроки.
Сразу видно, что эта задача содержит всех компонентов PEMDAS : круглые скобки (два набора), показатели степени (два и квадратный корень), умножение, деление, сложение и вычитание. Но на самом деле это не отличается от любой другой математической задачи, которую мы решали.
Во-первых, мы должны упростить то, что заключено в два набора круглых скобок:
√25 (6) ² — 18 ÷ 3 (2) + 2³
Затем мы должны упростить все показатели степени — , включая квадратные корни :
5 (36) — 18 ÷ 3 (2) + 8
Теперь мы должны выполнить умножение и деление слева направо:
5 (36) — 18 ÷ 3 (2) + 8
180 — 18 ÷ 3 (2) + 8
180 — 6 (2) + 8
180 — 12 + 8
Наконец, решаем оставшееся сложение и вычитание слева направо:
180 — 12 + 8
168 + 8
= 176
Это приводит нас к и правильному ответу 176 .
Что дальше?
Еще одно математическое сокращение, которое вам следует знать, — SOHCAHTOA. В нашем экспертном руководстве рассказывается, что означает аббревиатура SOHCAHTOAH и как вы можете использовать ее для решения задач, связанных с треугольниками.
Готовитесь к разделу SAT или ACT Math? Тогда вы обязательно захотите ознакомиться с нашим полным руководством по SAT Math / ACT Math, которое дает вам множество советов и стратегий для этого сложного раздела.
Заинтересованы в действительно больших цифрах? Узнайте, что такое гугол и гуголплекс, а также почему невозможно выписать одно из этих чисел.
Порядок операций — Бесплатная математическая справка
Введение
Порядок операций — очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики. В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь. Возьмем, к примеру, это уравнение:
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$
Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным.Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55. К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.
Правильный порядок операций
Порядок действий позволит вам решить эту проблему правильно. Порядок следующий: Круглая скобка , Показатели , Умножение и деление и, наконец, Сложение и Вычитание . Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями.После этого выполните все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.
Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, например « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally». Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка действий.
Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.
$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$
Шаг 1) Круглые скобки. Нет ни одного. Двигаться дальше.
Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжайте …
Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления по мере того, как вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.
Шаг 4) Сложение и вычитание. Слева направо 4 + 33 = 37.2 \ div 5 $$
$$ 5 + 144 \ div 5 $$
$$ 5 + 28,8 $$
$ 33,8 $
К настоящему времени вы должны иметь базовое представление о порядке операций. Чтобы продолжить изучение этой темы, вы можете продолжать просматривать наш сайт или попробовать поискать в Интернете на Yahoo или Google. MathGoodies.com также предлагает отличный урок о порядке операций.
Упрощение выражений с помощью порядка операций
Результаты обучения
- Используйте порядок операций для упрощения математических выражений
- Упростите математические выражения, включающие сложение, вычитание, умножение, деление и показатели
Упростите выражения, используя порядок операций
Мы ввели большинство символов и обозначений, используемых в алгебре, но теперь нам нужно уточнить порядок операций.В противном случае выражения могут иметь разное значение и давать разные значения.
Например, рассмотрим выражение:
[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
[latex] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 49.} \ Hfill & & & & \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 25.} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Поскольку} 4 + 3 \ text {дает 7.} \ hfill & & \ hfill 7 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {And} 7 \ cdot 7 \ text {равно 49.} \ hfill & & \ hfill 49 \ hfill \ end {array} & & & \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Since} 3 \ cdot 7 \ text {равно 21.} \ hfill & & \ hfill 4 + 21 \ hfill \\ \ text {And} 21 + 4 \ text {составляет 25.} \ hfill & & \ hfill 25 \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Представьте себе путаницу, которая могла бы возникнуть, если бы для каждой проблемы было несколько разных правильных ответов. Одно и то же выражение должно дать такой же результат. Таким образом, математики установили некоторые правила, называемые порядком операций, которые определяют порядок, в котором части выражения должны быть упрощены.
Порядок операций
При упрощении математических выражений выполняйте операции в следующем порядке:
1. P аренсы и другие символы группировки
- Упростите все выражения внутри скобок или других символов группировки, работая в первую очередь с самыми внутренними скобками.
2. E xponents
- Упростите все выражения показателями.
3. M ultiplication и D ivision
- Все операции умножения и деления выполняются слева направо.Эти операции имеют равный приоритет.
4. A ddition и S ubtraction
- Все операции сложения и вычитания выполняются слева направо. Эти операции имеют равный приоритет.
Студенты часто спрашивают: «Как мне запомнить заказ?» Вот способ помочь вам запомнить: возьмите первую букву каждого ключевого слова и замените глупую фразу. P аренда E xcuse M y D ухо A Unt S союзник.
| Порядок работы | |
|---|---|
| P аренда | P аренцев |
| E xcuse | E xponents |
| M y D ухо | M ultiplication и D ivision |
| A Unt S союзник | A ddition и S ubtraction |
Хорошо, что « M y D ear» идут вместе, поскольку это напоминает нам, что m ultiplication и d ivision имеют равный приоритет.Мы не всегда выполняем умножение перед делением или всегда делаем деление перед умножением. Делаем их слева направо.
Точно так же « A Unt S союзник» идет вместе и напоминает нам, что a ddition и s ubtraction также имеют равный приоритет, и мы выполняем их в порядке слева направо.
пример
Упростите выражения:
- [латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
- [латекс] \ влево (4 + 3 \ вправо) \ cdot 7 [/ латекс]
Решение:
| 1. | |
| [латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс] | |
| Есть ли какие-нибудь арентезы p ? № | |
| Есть ли хпоненты e ? № | |
| Есть ли ультипликация m или d ivision? Да. | |
| Сначала умножить. | [латекс] 4+ \ color {красный} {3 \ cdot 7} [/ латекс] |
| Доп. | [латекс] 4 + 21 [/ латекс] |
| [латекс] 25 [/ латекс] |
| 2. | |
| [латекс] (4 + 3) \ cdot 7 [/ латекс] | |
| Есть ли какие-нибудь арентезы p ? Да. | [латекс] \ color {красный} {(4 + 3)} \ cdot 7 [/ латекс] |
| Упростите в скобках. | [латекс] (7) 7 [/ латекс] |
| Есть ли хпоненты e ? № | |
| Есть ли ультипликация m или d ivision? Да. | |
| Умножить. | [латекс] 49 [/ латекс] |
пример
Упростить:
- [латекс] \ text {18} \ div \ text {9} \ cdot \ text {2} [/ latex]
- [латекс] \ text {18} \ cdot \ text {9} \ div \ text {2} [/ latex]
Показать решение
Решение:
| 1. | |
| [латекс] 18 \ div 9 \ cdot 2 [/ латекс] | |
| Есть ли какие-нибудь арентезы p ? Нет. | |
| Есть ли хпоненты e ? № | |
| Есть ли ультипликация m или d ivision? Да. | |
| Умножайте и делите слева направо. Делить. | [латекс] \ color {красный} {2} \ cdot 2 [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] 4 [/ латекс] |
| 2. | |
| [латекс] 18 \ cdot 9 \ div 2 [/ латекс] | |
| Есть ли какие-нибудь арентезы p ? Нет. | |
| Есть ли хпоненты e ? № | |
| Есть ли ультипликация m или d ivision? Да. | |
| Умножайте и делите слева направо. | |
| Умножить. | [латекс] \ color {красный} {162} \ div 2 [/ латекс] |
| Разделить. | [латекс] 81 [/ латекс] |
пример
Упростить: [латекс] 18 \ div 6 + 4 \ left (5-2 \ right) [/ latex].
Показать решение
Решение:
| [латекс] 18 \ div 6 + 4 (5-2) [/ латекс] | |
| Скобки? Да, сначала вычтите. | [латекс] 18 \ div 6 + 4 (\ color {red} {3}) [/ латекс] |
| Показатели? № | |
| Умножение или деление? Да. | |
| Сначала разделите, потому что мы умножаем и делим слева направо. | [латекс] \ color {красный} {3} +4 (3) [/ латекс] |
| Любое другое умножение или деление? Да. | |
| Умножить. | [латекс] 3+ \ color {красный} {12} [/ латекс] |
| Любое другое умножение или деление? № | |
| Любое сложение или вычитание? Да. | [латекс] 15 [/ латекс] |
В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения математического выражения.
Когда имеется несколько символов группировки, мы сначала упрощаем самые внутренние круглые скобки и работаем наружу.{3}} + 3 [0] [/ латекс]
В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего экспоненты и символы группировки.{2}} [/ латекс]
Термины для уравнений сложения, вычитания, умножения и деления — математика для 3-го класса
Выучите термины для уравнений сложения, вычитания, умножения и деления
Итак, вы научились решать уравнения сложения, вычитания, умножения и деления.000
Давайте рассмотрим терминов для каждого из них.
Совет: Термины — это имен различных частей уравнения.
Условия дополнения
Слагаемые — это числа, которые складываются вместе.
Сумма — это ответ, который вы получите, сложив числа.
Мы пишем плюс ( +) между двумя слагаемыми и знак равенства перед суммой.
Совет: Знак равенства (=) означает, что элементы слева и справа от него равны.
Условия вычитания
Minuend — это число, из которого вычитается. Это большее число.
Subtrahend — это число, которое убирается из убываемого. Это меньшее число.
Вычитаемое всегда предшествует вычитаемому .
Совет для запоминания:
Разница — это ответ, который мы получаем в уравнении вычитания.
Мы используем знак минус (-) между минусом и вычитаемым.
Запишем знак равенства перед разностью.
Условия умножения
Умножаемое — это число, которое нужно умножить.
Умножитель — это число, указывающее, сколько раз следует умножить множимое.
Множаемое и множитель также называются коэффициентами .
Множитель часто записывается первым, но положение этих чисел не имеет особого значения.Это называется коммутативным свойством умножения.
Ответ в уравнении умножения называется произведением .
Знак умножения ( ×) записывается между двумя множителями. Его также называют знаком раз.
Условия для Дивизиона
Дивиденды — это делимое число.
Делитель — это число, указывающее, сколько раз следует разделить дивиденд.Он отвечает на вопрос «На сколько равных групп делится число?».
Ответ, который мы получаем в уравнении деления, называется частным .
Знак деления (÷) помещается между делимым и делителем. Это короткая горизонтальная линия с точками над и под ней.
Совет: Вы также можете увидеть / в качестве знака деления. То же, что и ÷.
Смотри и учись
Отличная работа по изучению этих терминов.000
А теперь попробуйте практику, чтобы убедиться, что вы помните, что они означают.
PEMDAS Значение, объясненное примерами — Mashup Math
PEMDAS Значение: Почему это важно
Правильное применение порядка операций и использование PEMDAS стало очень популярным в последние годы из-за вирусных математических проблем, которые появляются в социальных сетях. Такие сообщения популярны, потому что люди предполагают, что правильный способ применения порядка операций — выполнять каждую операцию слева направо.Поскольку большинство людей неправильно понимают эти, казалось бы, простые математические задачи, их поощряют комментировать и делиться, что быстро приводит к вирусному распространению сообщения.
Однако, если бы люди могли помнить (A) порядок операций с использованием мнемоники, такой как PEMDAS (или даже более полезной, известной как GEMS), и (B) нюансы для правильного применения порядка операций (а именно отношения между умножением / делением и сложением / вычитанием), тогда подобные вирусные проблемы можно было бы легко решить без особых споров.
PEMDAS Значение: Заключение
PEMDAS — распространенная, но в некоторой степени полезная мнемоника для запоминания порядка операций в математике. PEMDAS относится к следующему порядку операций: круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. Хотя многие люди помнят PEMDAS, используя знаменитую фразу «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли», они часто забывают важный нюанс, что умножение не выполняется автоматически перед делением, а сложение не выполняется автоматически перед вычитанием (выполняется умножение / деление и сложение / вычитание.