Деление в столбик ➗ примеры и правила, как научиться

Как правильно делить в столбик

Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.

Рассмотрим пример деления трёхзначного числа на однозначное 322:7. Для начала определимся с терминами:

• 322 — делимое или то, что необходимо поделить;
• 7 — делитель или то, на что нужно поделить:
• частное — результат действия.

Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем. 

Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза. Проверяем 4*7=28, 28<32 все верно. Пишем 4 под чертой — это первая цифра частного. Между 32 и 28 ставим знак «минус», вычитаем по правилам и результат записываем под чертой.

Важно:

Результат вычитания должен быть меньше делителя. Если это не так, значит есть ошибка в расчете. Нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.

Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся 2 и продолжаем размышлять.

Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в 42? Кажется, шесть раз. Проверяем 7*6=42, 42=42 все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит числа разделились нацело.

Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.

Как выглядит деление в столбик с остатком

Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.

• Например, делим 19 на 5. Наибольшее число, делящееся на 5 до 19 это 15. Проверяем 5*3=15, 19-15=4. Ответ: 3 и остаток 4. Записываем так: 19:5=3(4).
• Еще пример: делим 29 на 6. Также определяем максимальное число, делящееся на 6 до 29. Подходит 24. Ответом будет: 4 и остаток 5. А записываем: 29:6=4(5).

Примеры на деление в столбик

Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!

Ответы: 

• легкий уровень: 9; 12; 7; 8; 19;
• средний уровень: 18; 36; 63; 91; 95;
• сложный уровень: 159; 24; 54; 82; 73.

Деление в столбик — объяснение и примеры кратко Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про деление в столбик — объяснение , тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
деление в столбик — объяснение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

Деление — Арифметическое действие, по к-оторому узнается, сколько раз одно число содержится в другом.

Если вы родитель , то объясните ребенку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление».

Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 3х4=12. результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

В нашем пример разделите получившееся произведение «12» – на любой из множителей – «3» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель, то есть «4» или «3».

Также нужно знать термины, используемые в операции деления – «делимое», «делитель» и «частное».

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление в столбик.

Посмотрим на примере как делить столбиком.

Вычислить:

Для начала запишем делимое и делитель в столбик . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8 .

Начинаем делить 512 на 8 следующим образом:

1. Определяем неполное частное. Для этого слева направосравниваем цифры делимого и делитель.

   Берем 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого.

2. 51 больше 8. Значит это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

   Для того, чтобы избежать ошибок, не забывайте определять количество цифр в частном.

   
   

   Для этого посчитаем сколько цифр осталось в делимом, после неполного частного. У нас после 51 стоит только одно цифра 2 . Значит и добавляем в результат еще одну точку.

3. Приступаем к делению. Вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение.
   
   6 x 8 = 48
   
   Записываем цифру 6 в частное.

   Записываем 48 под 51.

   
   

   При записи под неполном частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения.

   Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

4. В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

   Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

   
   

   Спишем из делимого 512 цифру 2 к 3.

   Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение.
   
   8 x 4 = 32

   В остатке получился ноль. Значит числа разделились нацело (без остатка).

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про деление в столбик — объяснение Надеюсь, что теперь ты понял что такое деление в столбик — объяснение
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Деление столбиком на двузначное число. Видео #

Деление столбиком или, правильнее сказать, письменный прием деления уголком, школьники проходят уже в третьем классе начальной школы, но зачастую этой теме уделяется так мало внимания, что к 9-11 классу не все ученики могут им свободно пользоваться.

Деление столбиком на двузначное число проходят в 4 классе, как и деление на трехзначное число, а далее этот прием используется только как вспомогательный при решении каких-либо уравнений или нахождении значения выражения.

Очевидно, что уделив делению столбиком больше внимания, чем заложено в школьной программе, ребенок облегчит себе выполнение заданий по математике вплоть до 11 класса. А для этого нужно немногое — понять тему и позаниматься, порешать, держа алгоритм в голове, довести навык вычисления до автоматизма.

Для начала повторим кратко, как делить столбиком на однозначное число:

А что если деление с остатком? Смотрим в следующем видео:

Алгоритм деления столбиком на двузначное число

Как и при делении на однозначное число, будем последовательно переходить от деления более крупных счетных единиц к делению более мелких единиц.

1. Находим первое неполное делимое. Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. Это значит, что первое неполное делимое всегда больше делителя. При делении на двузначное число в первом неполном делимом минимум 2 знака. 

           Примеры        768:24. Первое неполное делимое 76
                                265:53  26 меньше 53, значит не подходит. Нужно добавить следующую цифру (5). Первое неполное делимое 265.

2. Определяем количество цифр в частном. Для определения числа цифр в частном следует помнить, что неполному делимому соответствует одна цифра частного, а всем остальным цифрам делимого — еще по одной цифре частного.

           Примеры       768:24. Первое неполное делимое 76. Ему соответствует 1 цифра частного. После первого неполного делителя есть еще одна цифра. Значит в частном будет всего 2 цифры.
                                265:53. Первое неполное делимое 265. Оно даст 1 цифру частного. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет всего 1 цифра.
                               15344:56. Первое неполное делимое 153, а после него еще 2 цифры. Значит в частном будет всего 3 цифры.

3. Находим цифры в каждом разряде частного. Сначала найдем первую цифру частного. Подбираем такое целое число, чтобы при умножении его на наш делитель получилось число, максимально приближенное к первому неполному делимому. Цифру частного записываем под уголок, а значение произведения вычитаем столбиком из неполного делителя. Записываем остаток. Проверяем, что он меньше делителя.

Затем находим вторую цифру частного. Переписываем в строку с остатком цифру, следующую за первым неполным делителем в делимом. Полученное неполное делимое снова делим на делитель и так находим каждое последующее число частного, пока не закончатся цифры делителя.

4. Находим остаток (если есть).

Если цифры частного закончились и получился остаток 0, то деление выполнено без остатка. В ином случае значение частного записывается с остатком.

Так же выполняется деление на любое многозначное число (трехзначное, четырехзначное и т. д.)

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

— Найдем значение частного чисел 265 и 53.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

— Найдем значение частного чисел 184 и 23.

В частном будет однозначное число. 

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

— Найдем значение частного чисел 768 и 24.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

 Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

— Найдем значение частного чисел 15344 и 56.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое  414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Пример на деление с остатком

Чтобы провести аналогию, возьмем пример, похожий на пример выше, и отличающийся лишь последней цифрой

— Найдем значение частного чисел 15345:56

Делим сначала точно так же, как в примере 15344:56, пока не дойдем до последнего неполного делимого 225. Разделим 225 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 225 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 5). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 225-224=1, деление выполнено с остатком.

Значение частного чисел 15345 и 56 равно 274 (остаток 1).

Деление с нулем в частном

Иногда в частном одним из чисел получается 0, и дети зачастую пропускают его, отсюда неправильное решение. Разберем, откуда может взяться 0 и как его не забыть.

— Найдем значение частного чисел 2870:14

Первое неполное делимое — 28 сотен. Значит в частном будет 3 цифры. Ставим под уголок три точки. Это важный момент. Если ребенок потеряет ноль, останется лишняя точка, которая заставит задуматься, что где-то упущена цифра.

Определим первую цифру частного. Разделим 28 на 14. Подбором получается 2. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 14*2=28. Цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном. 28-28=0.

Получился нулевой остаток. Мы обозначили его розовым для наглядности, но записывать его не нужно. Переписываем в строку с остатком цифру 7 из делимого. Но 7 не делится на 14 с получением целого числа, поэтому записываем на месте десятков в частном 0.

Теперь переписываем в ту же строку последнюю цифру делимого (количество единиц).

70:14=5 Записываем вместо последней точки в частном цифру 5. 70-70=0. Остатка нет.

Значение частного чисел 2870 и 14 равно 205.

Деление нужно непременно проверить умножением.

Примеры на деление для самопроверки

Найдите первое неполное делимое и определите количество цифр в частном.

3432:66          2450:98         15145:65      18354:42     17323:17

Усвоили тему, а теперь потренируйтесь решить несколько примеров столбиком самостоятельно.

1428 : 42           30296 : 56           254415 : 35        16514 : 718

2924 : 68          136576 : 64          710278 : 91        15830 : 293

Математика. Деление уголком | Сайт Леонида Некина

Главная >
Образование >
Математика >
МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

648 / 2.

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

648 =

 6  ∙ 100 +  4  ∙ 10 +  8  =

 3  ∙  2  ∙ 100 +  2  ∙  2  ∙ 10 +  4  ∙  2  =

( 3  ∙ 100 +  2  ∙ 10 +  4 )  ∙  2  =

 324  ∙  2 .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

648 / 2 = 324.

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

156 / 2 = ?

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

156 =

 15  ∙ 10 +  6 .

Поскольку число  15  не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

 15  =  7 ∙ 2  +  1  =  14  +  1 .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

156 =

 15  ∙ 10 +  6  =

( 14  +  1 ) ∙ 10 +  6  =

 14   ∙ 10 +  1  ∙ 10 +  6  =

 14  ∙ 10 +  16  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  =

 78  ∙  2 .

Отсюда моментально получаем ответ:

156 / 2 = 78.

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается  7  плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем  семерку  под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту  семерку  наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления  15-ти  на  2 . Он равен, очевидно,

 15  −  2  ∙  7  =  15  −  14 .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается  единица , к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число  16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем  8 . Эту  восьмерку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:
 

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

156 : 2 = 78 (ост. 0).

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

157 : 2 = 78 (ост. 1).

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

157 =

 14  ∙ 10 +  17  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  + 1 =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  + 1 =

 7 8  ∙  2  + 1

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

135674 : 259 = ?

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

 1356  :  259  = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

 1356  /  259  ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 =  5 .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

 1356  :  259  =  5  (остаток — пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение  259  ∙  5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа  1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть  пятерку  в строке ответа, на ее место поставить  четверку  — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

 1356  :  259  =  5  (ост.  61 ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

135674 : 259 = 523 (ост. 217).

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Деление нацело на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число с возможным «приписыванием» нулей

Деление нацело на двузначное число

Деление с остатком на двузначное число

Деление нацело на трехзначное число

Деление с остатком на трехзначное число

Деление натуральных чисел столбиком: правило, примеры

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Запись чисел при делении столбиком

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55, запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений. 

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8÷2=4.

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2·0=0; 2·1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4, на которое мы умножали делитель, записываем на место частного. 

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8-8=0.

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3.

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0, 1, 2, 3.. получаем в результате:

3·0=0<7; 3·1=3<7; 3·2=6<7; 3·3=9>7

Под делимым записываем число , полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6. 

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1.

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4. Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком. 

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : 0, 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·0=0<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.

3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — 0. В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Важно!

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на 0, 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=0.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·0=0<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0, и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0.

3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0. Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9.

Запишем:

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792, а остаток равен 8.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7.

Ответ: 1006005

Деление многозначных натуральных чисел столбиком

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2-4  остаются неизменными. 

Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам  описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206.

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556.
556>206, поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.

Умножаем 206 на 0, 1, 2, 3.. и получаем:

206·0=0<556; 206·1=206<556; 206·2=412<556; 206·3=618>556

618>556, поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144. Справа от результата под чертой записываем число  из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442.

Повторяем с  ним пункты 2-4. Получаем:

206·5=1030<1442; 206·6=1236<1442; 206·7=1442

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442, а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания. 

Ответ: 27

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34.

Ответ: 7002

Правила деления в столбик. Деление с нулем в частном

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

• До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
• Записать делимое. Справа от него — делитель.
• Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
• Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
• Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
• Записать результат от умножения этого числа на делитель.
• Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
• Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
• Снова подобрать число для ответа.
• Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

• Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
• После вычитания получается остаток 345.
• К нему нужно снести цифру 2.
• В числе 3452 четыре раза умещается 863.
• Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
• Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

• Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
• Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
• Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
• Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
• Снести к остатку 0.
• Снова взять по 8.
• Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
• Теперь брать нужно 7.
• Результат умножения — 224, остаток — 16.
• Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

• Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
• Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
• Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком
:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

• Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
• Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
• Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
• Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
• Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
• Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
• Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

• Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
• Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

• Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
• Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
• Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
• Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

• Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
• Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
• Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
• Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
• Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
• Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

• Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
• Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

• В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
• Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
• Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
• К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
• Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

• Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
• Найти первое неполное делимое
• Определить число цифр в частном
• Найти цифры в каждом разряде частного
• Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

• «Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55 , запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений.

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8 ÷ 2 = 4 .

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 · 4 = 8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4 , на которое мы умножали делитель, записываем на место частного.

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8 — 8 = 0 .

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3 .

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем в результате:

3 · 0 = 0 7

Под делимым записываем число, полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6 .

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1 .

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4 . Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком.

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14 , так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4 .

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x = 14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ , включая нуль: 0 , 1 , 2 , 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x . Когда в результате умножения получается число 14 , записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делітелем. Если в результате умножения получается число, большее чем x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4 · 0 = 0 14 .

Под выделенным числом записываем число 12 , полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3 .

3. Столбиком вычитаем из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.

4. Число 2 меньше числа 4 , поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следубщую цифру делимого — 0 . В итоге отмечаем новое рабочее число — 20 .

Важно!

Пункты 2 — 4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20 . Умножая 4 на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем:

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение.

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20 — 20 = 0 .

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2 .

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . и сравниваем результат с отмеченным числом.

4 · 0 = 0 2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0 , и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0 .

3. Выполняем операцию вычитания и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8 , так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28 . Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8 . В последний раз повторяем пункты алгоритма 2 — 4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0 . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072 . Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9 .

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792 , а остаток равен 8 .

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7 .

Ответ: 1006005

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2 — 4 остаются неизменными.
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206 .

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556 .
556 > 206 , поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.
Умножаем 206 на 0 , 1 , 2 , 3 . . и получаем:

206 · 0 = 0 556

618 > 556 , поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144 . Справа от результата под чертой записываем число из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442 .

Повторяем с ним пункты 2 — 4 . Получаем:

206 · 5 = 1030

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442 , а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания.

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34 .

Ответ: 7002

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как в столбик делить — один из основных навыков, необходимых для работы с двух- и трёхзначными числами. Зная последовательность всех этапов деления, можно разделить любое число. Не возникнет проблем при работе не только с целым числом, но и с числом, представленным в виде десятичной дроби.

Этот полезный математический навык необходим не только для успешного освоения школьной программы по математике и ряду других предметов. Умение делить наверняка поможет каждому в повседневной жизни.

Часть первая. Деление

Итак, делимое, то есть число, которое нужно разделить, надо записать слева. Число, на которое делят, называют делителем и записывают справа.

Под делителем проводится черта, под которой пишут частное (решение).

Под делимым необходимо оставить место, требующееся для вычислений.

Сама задача выглядит следующим образом: пакет, где лежат шесть грибов, весит 250 грамм. Нужно узнать, сколько весит один гриб. Для этого 250 делят на 6. Первое из этих двух чисел записывают слева, а второе — справа.

Сейчас предстоит вычислить, сколько целых раз делится первая цифра (отсчёт ведётся с левого конца) делимого на делитель.

Для решения нашей задачи нужно узнать, сколько раз цифра 2 делится на 6. Так как это невозможно, то в ответе — 0, который записывается под делителем. В этом случае нуль является первым числом частного, однако допускается отказ от такой записи.

Теперь предстоит узнать, сколько целых раз делятся две первые цифры делимого на делитель.

Если в предшествующем действии в ответе был получен 0, надо рассмотреть две первые цифры делимого. В рассматриваемой задаче надо вычислить, сколько раз 25 делится на 6.

Если делитель является двух- и более значным числом, надо разделить на него первые три (четыре, пять и т. д.) цифры делимого. Наша цель: получить целое число.

Далее начинается работа с целыми числами. Если с помощью микрокалькулятора произвести деление 25 на 6, то в ответе будет дано число 4.167. Этот ответ не годится для деления в столбик. В этом случае нужно просто взять 4.

Результат, полученный в третьем этапе, записывается прямо под соответствующей цифрой делителя — под чертой. Данный итог будет первой цифрой искомого частного, то есть ответа.

Результат обязательно нужно писать под соответствующей цифрой делителя. Если пренебречь этим требованием, будет допущена ошибка, которая скажется и на конечном результате: он будет неверным.

В рассматриваемом случае 4 записывается под 5, так как на 6 делится число 25, а не 2.

Часть вторая. Умножение

Этот этап представляет собой переход к новой части работы «как считать в столбик». Деление в данном случае сменятся… умножением.

Делитель умножается на число, которое было под ним записано. Это означает, что речь идёт о первой цифре искомого частного.

Результат этого произведения размещается под делимым.

В рассматриваемом примере 6 х 4 = 24. Число, стоящее в ответе, то есть 24, записывается под 25. Важно: 2 должна стоять под 2, а 4 — под 5.

Результат произведения подчёркивается. В нашем случае речь идёт о подчёркивании числа 24.

Часть третья. Вычитание и опускание цифр

Здесь происходит переход к вычитанию и опусканию цифр.

Результат записывается под чертой, которая в свою очередь проводится под числом, поставленным под делимым.

Нам предстоит произвести вычитание 24 из 25. Получаемый при этом результат: 1.

Опускается третья цифра делимого, то есть она записывается рядом с результатом вычитания.

В нашем случае 1 не может делиться на 6. В силу этого спускают третью цифру делимого (третьей цифрой числа 250 является 0). Она размещается рядом с 1. Мы получаем число 10, которое может быть разделено на 6.

Теперь требуется повторить процесс с новым числом.

Для этого полученное число делится на наш делитель, а получаемый при этом результат размещается под делителем, в качестве которого будет выступать вторая цифра частного, то есть нашего ответа.

В решаемом примере 10 делим на 6, что даёт в итоге 1. Единичка записывается в частное — рядом с 4. После этого 6 умножается на 1 и из 10 вычитают результат. У нас должно получиться 4 (остаток).

Если делимое представляет собой двух-, трёх-, четырёх- и более значное число, изложенный процесс повторяется до тех пор, пока не будут опущены все цифры делимого. Пример для иллюстрации: если известно, что вес грибов равен 2 506 г, надо опустить цифру 6, то есть записать её рядом с 4.

Часть четвёртая. Запись частного с остатком или в виде десятичной дроби

Теперь переходим к записи частного с остатком или в виде десятичной дроби.

Наш остаток был равен 4, что связано с тем, что это число — 4 — не делится на 6 и у нас не осталось цифр, которые можно спустить.

Ответ при этом будет выглядеть следующим образом: 41 (ост. 4).

Вычисления на данном этапе могут быть завершены, если в задаче сформулировано требование найти что-то, выражаемое исключительно в целых числах. Речь может идти о количестве автомобилей, требующихся для транспортировки определённого числа людей.

Если есть необходимость в ответе в виде десятичной дроби, можно перейти к следующим действиям алгоритма «как разделить в столбик».

Если нет желания записывать ответ с остатком, можно найти ответ в виде десятичной дроби. При получении остатка, не поддающегося делению на делитель, надо добавить десятичный знак (к частному).

В нашем случае число 250 может быть записано в виде десятичной дроби: 250.000.

Теперь, когда в наличии цифры (только нули), которые могут быть опущены, можно продолжить вычисления. Опускаем нуль и подсчитываем, сколько целых раз можно поделить полученное число на делитель.

В нашем примере после частного 41 (которое размещаем прямо под делителем) пишем десятичную запятую и приписываем 0 к остатку (4). Затем делим полученное число, то есть 40, на делитель (в роли которого выступает 6). Получаем опять 6, которую пишем в частное после десятичного знака. Это выглядит как 41.6. После этого 6 умножается на 6, затем результат умножения вычитается из 40. У нас должно получиться снова 4.

В ряде ситуаций при поиске ответа в виде десятичной дроби приходится столкнуться с повторяющимися числами. Для этого надо прервать вычисления и округлить уже полученный ответ — вниз или вверх.

В частности, в рассматриваемом примере надо отказаться от бесконечного получения цифры 4. Нужно просто прервать вычисления и округлить частное. В силу того, что 6 больше 5, округление производится вверх, в результате чего получается ответ в виде дробного числа 41.67.

Деление столбиком
(также можно встретить название деление
уголком) — стандартная процедура в
арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания
деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое
делимым
, делится на другое, называемое
делителем
, производя результат, называемый
частным
.

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел
с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при
делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком
удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой — так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными
числами изображается символ вида
.

Например
, если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в
столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного,
остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное
при делении с остатком) будет
записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже
делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться
правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше
потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число,

алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере.
Вычислить
:

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого.
Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать
с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую
слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми
цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит.
это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая
таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48
→ записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание!
При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над
самой правой цифрой
произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус).
Вычтем по
правилам вычитания в столбик 48 и под чертой
запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в
этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления
столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание!
Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение
более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не
стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в
записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего
вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в
скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое
«промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например
, 1976 разделим на 26.

• Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов — 19.
• Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов — 197.
• Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
• Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
• 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном
записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить
поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например
, 64 разделим на 5.

• 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
• Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
• 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
• 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
• 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число
получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего,
меньшего разряда и продолжать деление.

Как делить в столбик | BeginPC.ru

В настоящее время современные технологии развиваются стремительными темпами, и все больше работы за нас выполняют компьютеры и различные другие электронные устройства. Тем не менее, умение выполнять арифметические операции без помощи калькулятора остаются все еще востребованными.

Ранее мы уже рассматривали, как складывать, вычитать и умножать в столбик на листе бумаги. Поэтому сегодня давайте освежим в памяти, а возможно кто-то узнает впервые алгоритм деления столбиком без калькулятора. В этом нет ничего сложного, главное внимательность и аккуратность.

Для начала запомним, что число которое делится называется делимое. Число на которое делят называют делителем, а результат деления частным. Чтобы было проще, давайте рассмотрим деление в столбик на конкретном примере и разделим 834 на 6. Первое что нам необходимо сделать, это записать их соответствующим образом.

Пишем делимое, затем правее него делитель и отделяем их друг от друга так называемым уголком. Все подготовительные операции выполнены и переходим непосредственно к делению в столбик.

Для этого необходимо в делимом двигаясь слева на право найти наименьшее число большее или равное делителю. Делитель у нас равен 6, а первая цифра в делителе равна 8 и она больше 6. Теперь необходимо найти сколько целых раз делитель помещается в неполном делимом, в данном случае всего один раз. Поэтому под делителем пишем 1, а под 8 записываем 6 проводим горизонтальную черту и находим их разность по правилам вычитания столбиком, то есть 2. Поскольку 2 меньше нашего делителя (6), то все сделано правильно, в противном случае, где то допущена ошибка.

Теперь сносим вниз следующую цифру исходного делимого (3) и проверяем чтобы получившееся число (23) было больше делителя (6). В данном случае это так. Снова находим сколько раз делитель помещается в неполном делимом, получается 3 раза. Поэтому под делителем записываем 3, а под делимым находим разность 23 и 18 (6*3), которая равна 5.

Дальше делаем все точно также, сносим вниз следующее число из делимого (4), получается число 54 и находим сколько раз в нем умещается делитель (6). Он умещается 9 раз, значит под делителем записываем 9, а под неполным делимым 54 (6*9). Поскольку 54 отнять 54 равно нулю и в делимом не осталось больше чисел, то деление закончено и частное равно 139. Можете проверить на калькуляторе или выполнив умножение в столбик 6 на 139.

Чтобы закрепить навык деления столбиком давайте рассмотрим еще один пример и разделим 1587 на 23. Согласно уже известному нам алгоритму находим в делимом наименьшее число большее или равное делителю, таким числом является 158. Делитель 23 умещается в неполном делимом 6 раз. Соответственно под делителем пишем 6, а под делимым 138 (23*6) и находим разность 158 и 138.

Поскольку 20 меньше делителя все сделано правильно, теперь сносим вниз следующее число (7) и находим сколько раз умещается делитель в получившемся числе 207. Он умещается 9 раз, а поскольку 207-207=0 и в делимом больше нет чисел, то деление в столбик законченно и ответ равен 69.

Как видите, ничего особо сложного нет, главное внимательность. Хотя внимательный читатель наверняка уже обратил внимание, что в обоих приведенных примерах делитель помещается в делимом целое число раз. Однако так бывает далеко не всегда, поэтому рассмотрим пример деления столбиком с остатком, для этого разделим 46 на 8.

Поскольку 4 меньше 8, то наименьшим неполным делимым является 46. В числе 46 делитель содержится 5 раз, следовательно под делителем пишем 5, а под делимым 40 (5*8).

Разность 46 и 40 равна 6. Число 6 меньше делителя, значит мы все сделали верно, но в делимом больше не осталось чисел, а разность не равна 0. Это значит, что разделить эти два числа без остатка нельзя. Чтобы найти остаток поступаем следующим образом. В разности ставим запятую, а к остатку приписываем 0. В остатке имеем число 60. Делитель умещается в нем 7 раз, значит пишем в разность 7 и вычитаем из 60 число 56 (8*7).

В остатке имеем 4, снова приписываем 0. Получается 40 и делитель умещается в нем 5 раз. В частное записываем 5 и вычитаем из остатка 40, получается 0.

Таким образом, мы разделили 46 на 8 столбиком и получили ответ 5,75. Теперь вы знаете, как делить в столбик без калькулятора. Кстати в Windows есть встроенный калькулятор «Пуск» ⇒ «Стандартные» ⇒ «Калькулятор», в котором всегда можно быстро выполнить необходимые вычисления.

Что такое длинное деление? [Определение, факты и пример]

Игры с длинным разделением

Разделить на 2-значные числа

Разделить 4-значные числа на 2-значные числа, при этом от деления не остается остатка. Вы начнете с оценки частных.

охватывает общий базовый учебный план 5.NBT.6Play NowРазделите на 2-значные числа с остатком

Разделите 4-значные числа на 2-значные числа. Начните с оценки частных, которые пригодятся при делении на 2-значные числа.

охватывает общий основной учебный план 5.NBT.6Играть сейчасПосмотреть все игры с разделением >>

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

Что такое деление в столбик?

В математике деление в столбик — это метод, используемый для деления больших чисел на группы или части.

Деление в столбик помогает разбить проблему деления на последовательность более простых шагов. Как и во всех задачах деления, большое число, которое является делимым, делится на другое число, которое называется делителем, чтобы получить результат, называемый частным, а иногда и остатком.

Как вы делаете деление в столбик?

Метод деления в столбик включает в себя основные математические операции.

Для деления двух чисел этим методом рисуется таблица. Делитель пишется за пределами правых скобок, а делимое — внутри. Частное пишется над чертой сверху над дивидендом.

Деление в столбик состоит из 5 шагов:

Вот пример деления в столбик с четким отображением каждого шага.

Процесс начинается с деления или определения, сколько раз крайняя левая цифра делимого может делиться на делитель.

Затем результат или ответ из шага 1, который становится первой цифрой частного, умножается на делитель и записывается под первой цифрой делимого.

Вычитание производится по первой цифре делимого и записывается остаток.

Следующая цифра делимого уменьшается, а затем процесс повторяется до тех пор, пока все цифры делимого не будут сброшены и не будет найден остаток.

Как разделить десятичные дроби методом длинного деления?

Деление в столбик можно также использовать для разделения десятичных чисел на равные группы. Он выполняет те же шаги, что и при делении в столбик, а именно: деление, умножение, вычитание, уменьшение и повторение или нахождение остатка.

Вот пример деления в столбик с десятичными знаками.

Давайте споем!

Если нужно разделить большие числа,

нарисуйте таблицу для длинного деления сбоку.

Напишите шаги, которые будут вашим руководством,

D, M, S, B и R — Придерживайтесь долгого разделения!

Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы показывать видеоролики для обучения полному делению или раздавать практические задания ученикам 4-го класса, приведите примеры из реальной жизни, когда они могут использовать метод длинного деления для деления.

Скажем, при приготовлении кексов и печенья для продажи выпечки в школе вы можете попросить ребенка подсчитать количество партий, в которых можно приготовить печенье или кексы (исходя из количества форм на подносе), если общее количество печенья и кексы требуются. Вы также можете попросить их подсчитать общее количество необходимых картонных коробок, если в каждую коробку печенья помещается 15 печенья, а в картонную коробку для кексов 6 кексов. Попросите их вычислить, используя метод длинного деления.

Связанный математический словарь

Длинный дивизион | Как сделать длинное деление | Примеры

Длинное деление — это метод деления больших чисел, который разбивает задачу деления на несколько шагов, следующих за последовательностью.Как и в задачах с регулярным делением, дивиденд делится на делитель, который дает результат, известный как частное, а иногда и остаток. Этот урок даст вам обзор метода деления в столбик.

Что такое длинное деление?

В математике деление в столбик — это метод деления больших чисел на шаги или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. Это наиболее распространенный метод решения задач, основанный на разделении.Обратите внимание на следующее деление, чтобы увидеть делитель, делимое, частное и остаток.

Части длинной дивизии

Вот термины, относящиеся к делению, которые также считаются частями длинного деления. Это те же термины, которые используются в обычном делении.

• Дивиденды
• Делитель
• Частное
• остаток

Взгляните на приведенную ниже таблицу, чтобы понять термины, относящиеся к разделению, со ссылкой на пример, показанный выше.

Деление — это одна из четырех основных математических операций, остальные три — это сложение, вычитание и умножение.В арифметике деление в столбик — это стандартный алгоритм деления для деления больших чисел, разбивающий задачу деления на ряд более простых шагов.

Требует построения таблицы. Делитель отделяется от делимого правой круглой скобкой 〈)〉 или вертикальной чертой 〈|〉, а делимое отделяется от частного винкулумом (чертой сверху). Теперь давайте выполним шаги, указанные ниже, чтобы увидеть, как происходит долгое деление.

• Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого.Убедитесь, что эта цифра больше или равна делителю.
• Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и запишите ответ сверху как частное.
• Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите разницу ниже.
• Шаг 4: Введите следующий номер (если есть).
• Шаг 5: Повторите тот же процесс.

Давайте посмотрим на примеры, приведенные ниже, для лучшего понимания концепции.

Случай 1: Когда первая цифра делимого больше или равна делителю

Рассмотрим пример: Делим 435 ÷ 4

• Здесь первая цифра делимого — 4, и она равна делителю. Итак, 4 ÷ 4 = 1. 1 написано сверху.
• Вычесть: 4-4 = 0,
• Переместите вторую цифру делимого вниз и поместите ее рядом с 0.
• Теперь, 3 <4. Следовательно, мы записываем 0 как частное, уменьшаем следующую цифру делимого и помещаем ее рядом с 3.
• Теперь у нас есть 35 новых дивидендов. 35> 4. 35 не делится на 4, но мы знаем, что 4 × 8 = 32, поэтому мы идем на это.
• Запишите 8 как частное. Вычтем: 35-32 = 3.
• 3 <4. Таким образом, 3 - это остаток, а 108 - частное.

Случай 2: Когда первая цифра делимого меньше делителя.

Рассмотрим другой пример: Divide 735 ÷ 9

• Поскольку первая цифра делимого меньше делителя, поместите ноль в качестве частного и уменьшите следующую цифру делимого.Теперь рассмотрим первые 2 цифры, чтобы продолжить деление.
• 73 не делится на 9, но мы знаем, что 9 × 8 = 72, поэтому мы идем на это.
• Запишите 8 как частное и вычтите: 73-72 = 1.
• Вниз 5. Теперь нужно рассмотреть 15.
• Поскольку 15 не делится на 9, но мы знаем, что 9 × 1 = 9, мы берем 9.
• Вычтем: 15-9 = 6. Запишите 1 как частное.
• Сейчас, 6 <9. Таким образом, остаток = 6 и частное = 81.

Случай 3: Когда делитель не совпадает с первой цифрой делимого.

Решим еще один пример: Разделим 3640 ÷ 15

• Поскольку первая цифра делимого не делится на делитель, мы рассматриваем первые две цифры (36).
• Итак, 36 не делится на 15, а 15 × 2 = 30, поэтому запишите 2 как частное.
• Напишите 30 под 36 и вычтите: 36-30 = 6.
• Поскольку 6 <15, мы уменьшим дивиденд на 4, чтобы получить 64.
• 64 не делится на 15, но 15 × 4 = 60, поэтому запишите 4 как частное.
• Напишите 60 под 64 и вычтите: 64-60 = 4.
• Поскольку 4 <15, уменьшите 0 из дивиденда, чтобы получить 40.
• Поскольку 40 не делится на 15, а 15 × 2 = 30, запишите 2 как частное.
• Напишите 30 под 40 и вычтите: 40-30 = 10.
• Сейчас 10 <15. Таким образом, остаток = 10 и частное = 242.

Важные примечания:

Ниже приведены несколько важных моментов, которые могут помочь вам при работе с делением в столбик:

• Дивиденд всегда больше делителя и частного.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Для деления делитель не может быть 0.
• Деление — это повторное вычитание, поэтому мы можем проверить наше частное путем повторного вычитания.
• Мы можем проверить частное и остаток от деления, используя следующую формулу: Дивиденд = (Делитель × Частное) + остаток
• Если остаток равен 0, то мы можем проверить наше частное, умножив его на делитель.
• Если произведение равно дивиденду, то частное верно.

Задачи деления в столбик также включают в себя проблемы, связанные с полиномами в столбик и делением в столбик с десятичными знаками.

Длинное деление многочленов

Если между числителем и знаменателем нет общих множителей или если вы не можете найти множители, вы можете использовать процесс деления в столбик, чтобы упростить выражение. Для получения дополнительных сведений о полиномах деления в столбик посетите страницу «Полиномы деления».

Длинное деление с десятичными знаками

Деление в столбик с десятичными знаками выполняется так же, как и обычное деление в столбик.Для получения дополнительных сведений о делении в столбик с десятичными знаками посетите страницу «Десятичные дроби».

1. Пример 1: Рон посадил 75 деревьев поровну в 3 ряда. Сколько деревьев он посадил в каждом ряду?

   Решение:

   Общее количество деревьев, посаженных Роном, = 75. Количество рядов = 3. Чтобы найти количество деревьев в каждом ряду, мы должны разделить 75 на 3, потому что в каждом из трех рядов находится равное количество деревьев.

   Следовательно, количество деревьев в каждом ряду = 25

2. Пример 2: 4000 долларов необходимо распределить между 25 людьми для работы, выполненной ими на строительной площадке. Подсчитайте сумму, выданную каждому мужчине.

   Решение:

   Общая сумма 4000 долларов. Количество работающих мужчин = 25. Мы должны посчитать сумму, которую получает каждый мужчина. Для этого мы должны разделить 4000 на 25, используя метод длинного деления.

   Каждому мужчине дадут по 160 долларов. Следовательно, предоставленная сумма = 160 долларов США.

перейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы о Long Division

Как сделать длинное деление?

Следующие шаги объясняют процесс деления в столбик:

• Запишите делимое и делитель на их соответствующих позициях.
• Возьмите первую цифру делимого.
• Если эта цифра больше или равна делителю, то разделите ее на делитель и напишите ответ сверху как частное.
• Напишите произведение под дивидендом и вычтите результат из дивиденда, чтобы получить разницу. Если эта разница меньше делителя и в делимом не осталось чисел, то это считается остатком, и деление выполняется. Однако, если в дивиденде есть больше чисел, которые нужно перенести вниз, мы продолжаем тот же процесс, пока в делимом не останется больше чисел.

Какие 5 шагов в длинном делении?

Ниже приведены 5 основных шагов деления в столбик. Например, давайте посмотрим, как мы разделим 52 на 2.

• Шаг 1: D для разделения. Рассмотрим первую цифру дивиденда. 5> 2. 5 не делится на 2.
• Шаг 2: M для умножения. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, поэтому мы пишем 2 как частное.
• Шаг 3: S для вычитания. 5-4 = 1 и 1 <2. (Записав произведение 4 под дивидендом, мы их вычитаем).
• Шаг 4: B для сбивания. 1 <2, поэтому мы уменьшаем 2 из дивиденда и теперь получаем 12 в качестве дивиденда.
• Шаг 5: Повторяйте процесс до тех пор, пока не получите остаток меньше делителя. 12 делится на 2 как 2 × 6 = 12, поэтому мы пишем 6 как частное. 12-12 = 0.

Следовательно, частное равно 26, а остаток равен 0.

Как сделать длинное деление с двумя цифрами?

Рассмотрите обе цифры делителя и проверьте делимость первых двух цифр делимого.Делайте так же, как делите обычные числа.

Что такое длинное деление многочленов?

В алгебре деление полиномов в столбик — это алгоритм деления полинома на другой полином той же или более низкой степени с использованием метода деления в столбик. Например, (4x ² — 5x — 21) — это многочлен, который можно разделить на (x — 3), следуя некоторым определенным правилам, что приведет к 4x +7 в качестве частного.

Как сделать длинное деление с десятичными знаками?

Деление в столбик с десятичными знаками выполняется так же, как и обычное деление в столбик.Это следует за шагами, указанными ниже.

• Запишите деление в стандартной форме.
• Начните с деления целой части числа на делитель.
• Поместите десятичную точку в частном над десятичной точкой делимого.
• Опустите десятую цифру.
• Разделите и уберите вторую цифру по порядку.
• Делим, пока не получим 0 в остатке.

Как называется символ длинного деления?

Делимое и делимое разделяются правой круглой скобкой 〈)〉 или вертикальной чертой 〈|〉, тогда как делимое и частное разделяются винкулумом или чертой сверху.Комбинация этих двух символов называется символом длинного деления или скобкой деления.

Как делить, когда делитель больше дивиденда?

В этом случае деления мы можем просто продолжать добавлять нули к дивиденду, пока не станет целесообразным дальнейшее деление. Затем мы можем разделить частное на те же степени 10 для окончательного ответа, как только мы сделаем деление правильно.

Пошаговое руководство по продольному делению

Что такое длинное деление?

Деление в столбик — это способ решения задач деления с большими числами.По сути, это задачи разделения, которые вы не можете решить в своей голове.

Начало работы

Одна из проблем, с которой учащиеся сталкиваются с задачами деления в столбик, — это запоминание всех шагов. Вот трюк, чтобы научиться делить в столбик. Используйте аббревиатуру DMSB, что означает:

.

D = разделить
M = умножить
S = вычесть
B = сбить

Эту последовательность букв сложно запомнить, поэтому подумайте об аббревиатуре в контексте семьи:

Папа, мама, сестра, брат.

Напишите D M S B в углу листа, чтобы запомнить последовательность, которую вы собираетесь использовать.

Как записать

Во-первых, вы должны записать проблему в формате длинного деления. Типичная задача деления выглядит так:

Дивиденд ÷ Делитель = Частное

Чтобы записать это в формате длинного деления, это выглядит так:

Давайте попробуем довольно простой пример:

65 ÷ 5 =?

Теперь давайте запишем эту проблему в формате длинного деления:

Мы готовы использовать аббревиатуру: D M S B

Шаг 1: D для разделения

Сколько раз 5 перейдет в 65? Это слишком сложно, чтобы обдумать это, поэтому давайте разберемся на более мелкие шаги.

Первая проблема, которую вы решите в этом уравнении, — сколько раз вы можете разделить 5 на 6. Ответ: 1. Итак, вы помещаете 1 в линию частного.

Шаг 2: M для умножения

Вы умножаете свой ответ из шага 1 на ваш делитель: 1 x 5 = 5. Вы пишете 5 под 6.

Шаг 3: S для вычитания

Далее вы вычитаете. В этом случае это будет 6 — 5 = 1.

Шаг 4: B для обрушения

Последним шагом в последовательности является уменьшение следующего числа из делимого, которое в данном случае равно 5.Вы пишете 5 рядом с 1, в результате получается число 15.

Теперь вы начинаете все сначала:

Шаг 1: D для разделения

Сколько раз можно разделить 5 на 15. Ответ: 3. Итак, вы помещаете 3 в строку частного.

Шаг 2: M для умножения

Вы умножаете свой ответ из шага 1 на ваш делитель: 3 x 5 = 15. Запишите это под числом 15.

Шаг 3: S для вычитания

Теперь вычтем 15 из 15.15 — 15 = 0.

Нет необходимости в шаге 4. Мы решили проблему.

Получив ответ, решите задачу в обратном порядке, используя умножение (5 x 13 = 65), чтобы убедиться, что ваш ответ правильный.

В

K5 Learning есть несколько бесплатных рабочих листов с полными делениями для 4-го, 5-го и 6-го классов. Ознакомьтесь с ними в нашем центре рабочих листов по математике.

Как научить деление в столбик: пошаговый метод

В этой статье я объясню, как обучить делению в столбик в несколько шагов.Вместо того, чтобы показывать студентам сразу весь алгоритм, мы
искренне воспринимайте это «шаг за шагом».

До ребенок готов учить деление в столбик, он должен знать:

• таблицы умножения (по крайней мере, неплохо)
• базовая концепция деления, основанная на таблицах умножения
  (например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
• базовое деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

Одна из причин, по которой деление в столбик затруднено

Длинное деление — это алгоритм, который повторяет основные шаги
1)
Делить; 2) Умножить; 3) Вычесть; 4) Отбросьте следующую цифру.

Из этих шагов №2 и №3 могут стать трудными и запутать учащихся, потому что
они, по-видимому, не имеют отношения к разделению — они имеют отношение к нахождению остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в один «умножить и вычесть»
шаг.

Чтобы избежать путаницы, я рекомендую обучать полному делению в таком
мода на то, что дети сначала НЕ подвергаются всем этим шагам.
Вместо этого вы можете научить этому в
несколько «ступенек»:

• Шаг 1: Все цифры четные.Здесь студенты отрабатывают только разделительную часть.
• Шаг 2: Остаток в единицах. Сейчас,
  студенты практикуют
  часть «умножить и вычесть»
  и связать это с поиском
  остаток.
• Шаг 3: Остаток в десятках. Студенты
  теперь используйте весь
  алгоритм, в том числе «отбрасывание следующей цифры», с использованием 2-значного
  дивиденды.
• Шаг 4: Остаток в любом месте
  значения. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

Шаг 1: все цифры четные

Мы делим числа, в которых каждая цифра сотен, десятков и единиц делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ на этом первом легком шаге
чтобы студенты привыкли к двум вещам:

1. Чтобы привыкнуть к большому делению «угол», чтобы частное писалось сверху.
2. Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель переходит в различные цифры делимого.

Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Студенты должны проверить каждый
деление на умножение.

На этом этапе студенты также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не входит в первую цифру:

Далее следуют другие примеры проблем.
Делить. Проверьте свой ответ
умножение частного на делитель.

Шаг 2: Остаток в единицах

Теперь есть остаток в единицах (единицах). Тысячи, сотни,
а также
десятки цифр по-прежнему делятся на делитель без остатка. Во-первых, студенты могут
остальное решить мысленно
и просто напишите остаток сразу после
частное:

Далее студенты учатся
на номер найдите
остаток с использованием процесса «умножить и вычесть» . Это
очень важный шаг! Часть «умножить и вычесть» часто очень
запутывает студентов, поэтому здесь мы практикуем это в максимально простых
место: в самом конце деления, в колонке единиц (вместо
в столбце десятки или сотни).Конечно, это предполагает, что студенты
уже научились находить остаток в задачах простого деления
основанные на таблицах умножения (например, 45 ÷ 7 или 18 ÷ 5).

В проблемах
раньше вы просто записывали оставшиеся.
Обычно мы записываем вычитание, которое фактически находит
остаток. Смотрите внимательно:

Вот несколько примеров проблем. Теперь
студенты проверяют ответ, умножая делитель на
частное, а затем добавляем остаток.

Шаг 3: остаток в десятках

На этом этапе студенты впервые практикуют все основные этапы.
алгоритма деления в столбик: делить, умножать и вычитать, раскрывать
следующая цифра.Для простоты мы используем двузначные числа. Умножить
& вычитание связано с нахождением остатка, а после нахождения
остаток, мы объединяем это со следующим блоком, к которому мы готовимся
разделить (опустив цифру).

Пример:

Шаг 4: остаток в любом из значений разряда

Освоив предыдущий шаг, студенты долго практикуются.
деление с трех- и четырехзначными числами, куда им придется идти
выполните основные шаги несколько раз.

Эти идеи также объясняются в видео на YouTube ниже:

Почему работает длинное деление

Я чувствую, что алгоритм длинного деления И почему он работает, представляет собой довольно сложную вещь для изучения студентами, поэтому в этом случае я не вижу проблемы с учениками, которые сначала изучают алгоритмические шаги («как»), а затем углубляются в «почему».Попытка сделать и то, и другое одновременно может оказаться для некоторых излишним.

Однако, как только ученик овладевает базовыми навыками , как выполнять долгое деление, пора также изучить, на чем оно основано. Чтобы узнать больше об этом, посетите:

Длинное деление как повторное вычитание

Почему работает длинное деление (на основе повторного вычитания)

Рабочие листы

Листы с длинным делением
Создавайте неограниченное количество листов для деления в столбик (4-6 классы), в том числе с 2-значными и 3-значными делителями.Рабочие листы могут быть выполнены в формате html или PDF — и то, и другое легко распечатать. Вы также можете настроить их с помощью генератора.

Калькулятор длинного деления

— с шагами для решения

Введите делитель и делимое ниже, чтобы вычислить частное и остаток с использованием длинного деления. Результаты и шаги по ее решению показаны ниже.

Результат:

Решение:

Как сделать длинное деление с остатками

Изучение деления в столбик — важнейшая веха в освоении основных математических навыков и обряд перехода к окончанию начальной школы.Это внушает страх как ученикам начальной школы, так и их родителям.

Недавнее исследование показало, что понимание деления в столбик и дробей в начальной школе напрямую связано со способностью ученика изучать и понимать алгебру позже в школе. ^[1]

Не бойся!

Выучить деление в столбик может быть легко, и всего за несколько простых шагов вы сможете решить любую задачу деления в столбик. Продолжайте, пока мы разбираем это, но сначала нам нужно охватить анатомию проблемы деления на столбик.

Части задачи о длинном делении

Как показано на изображении выше, проблема длинного деления состоит из нескольких частей.

Делимое — это число справа и под линией деления, и это число, которое делится.

Делитель — это число слева от линии деления и число, на которое делится.

Частное является решением и отображается над делимым над линией деления.Часто при длинном делении частное — это целая числовая часть решения.

Остаток — это оставшаяся часть решения, или то, что осталось, что не входит равномерно в частное.

Шаги для решения задачи длинного деления

Есть несколько основных шагов к решению проблемы длинного деления: деление, умножение, вычитание, уменьшение числа и повторение процесса.

Шаг первый: настройте уравнение

Первым шагом в решении задачи деления в столбик является составление уравнения, которое необходимо решить.Если проблема уже связана с длинным разделением, переходите к шагу два.

Если это не так, вот как нарисовать задачу о делении в столбик.

Начните с рисования вертикальной черты для разделения делимого и делимого и верхней черты для разделения делимого и частного.

Разместите дивиденд справа от вертикальной полосы под полосой сверху. Разместите делитель слева от вертикальной черты.

Например, , чтобы разделить 75 на 4, задача длинного деления должна выглядеть так:

Шаг второй: разделите

Решив задачу деления в столбик, начните с деления первой цифры делимого на делитель.

Вы также можете думать об этом как о подсчете того, сколько раз делитель уместится в цифру в делимом.

Отбросьте остаток или десятичную часть результата и запишите целую числовую часть результата в частном над верхней чертой непосредственно над цифрой в делимом.

Например, , делитель «4» переходит в первую цифру делимого «7» два раза, поэтому к частному можно прибавить «1».

Шаг третий: умножить

Следующим шагом будет умножение делителя на цифру, добавленную к частному.Напишите результат под цифрой делимого.

Этот шаг формирует следующую часть уравнения для следующего шага.

Умножение делителя «4» на «1», которое мы нашли на предыдущем шаге, дает «4». Итак, добавьте «4» под первой цифрой делимого.

Шаг четвертый: вычесть

Теперь добавьте знак минус «-» перед числом, добавленным на предыдущем шаге, и проведите линию под ним, чтобы сформировать уравнение вычитания.

Продолжая приведенный выше пример, добавьте «-» перед «4» и линию вычитания под ним.

Теперь, когда у вас есть задача на вычитание, пора ее решить.

Чтобы решить, вычтите «7» минус «4», что равно «3», поэтому запишите «3» в уравнение.

Если в задаче с делением в столбик делимое состоит из одной цифры, то ура, готово! Оставшееся число, которое является результатом задачи вычитания, является остатком, а число над делимым является решенным частным.

Если в дивиденде осталось больше цифр, переходите к следующему шагу.

Шаг пятый: выберите следующий номер

На этом этапе процесса пора работать со следующим числом в дивиденде. Для этого потяните вниз следующую цифру в делимом и поместите ее прямо справа от результата задачи вычитания, описанной выше.

Следующая цифра делимого — «5». Итак, потяните «5» вниз и запишите его рядом с «3», найденным на предыдущем шаге.

Шаг шестой: повторите

На этом этапе вам может быть интересно, куда идти дальше.Повторяйте шаги со второго по пятый, пока все цифры делимого не будут убраны, разделены, умножены и вычтены.

При делении используйте результат задачи на вычитание в сочетании с опущенной цифрой в качестве делимого и разделите на него делитель.

Продолжая приведенные выше примеры, разделите результат задачи на вычитание и уменьшенную цифру на делитель. Таким образом, следующий шаг — разделить 35 на 4. Результатом будет «8», поэтому прибавьте «8» к частному.

Затем умножьте цифру частного «8» на делитель «4», который равен 32. Добавьте «32» к задаче деления в столбик.

Затем повторите процесс вычитания, вычтя 32 из 35, что равно 3. Добавьте «3» под линией вычитания. Поскольку в дивиденде больше нет оставшихся цифр, это оставшаяся часть решения.

По мере того, как вы практикуете эти шаги, используйте калькулятор выше, чтобы подтвердить свой ответ и проверить свои шаги при решении задач с длинным делением.

Как получить частное и остаток в виде десятичной дроби

Если вы зашли так далеко, то у вас должно быть хорошее представление о том, как вычислить задачу деления в столбик, но вы можете застрять, если вам нужно получить частное в виде десятичной дроби, а не целое число с остатком.

Чтобы вычислить частное в десятичной форме, выполните указанные выше действия, чтобы получить целое число и остаток.

Затем разделите делитель на остаток, чтобы получить остаток в виде десятичной дроби.Наконец, добавьте десятичное число к частному, чтобы получить его в десятичной форме.

Например, , 75 ÷ 4 равно 18 с остатком 3.

Разделите 3 на 4, чтобы получить 0,75 десятичной дроби.
3 ÷ 4 = 0,75

Затем прибавьте 0,75 к 18, чтобы получить частное в виде десятичной дроби.
0,75 + 18 = 18,75

Таким образом, десятичная форма 75 ÷ 4 равна 18,75.

Long Полиномиальное деление | Purplemath

Purplemath

Если вы делите многочлен на что-то более сложное, чем просто одночлен (то есть на что-то более сложное, чем одночленный многочлен), то вам нужно использовать другой метод для упрощения.Этот метод называется «долгим полиномиальным делением», и он работает так же, как долгое (числовое) деление, которое вы делали в начальной школе, за исключением того, что теперь вы делите с помощью переменных.

• Разделить

  x ² — 9 x — 10 на x + 1

Вспомните, когда вы делали в столбик старые простые числа.Вам будет дано одно число (называемое делителем), которое вы должны разделить на другое число (называемое делимым). Вы установили символ длинного деления, вставили два числа, которым они принадлежали, а затем начали гадать, что должно быть поверх символа.

MathHelp.com

И вы не сразу угадали весь ответ; вместо этого вы начали работать над «лицевой» частью (то есть с большей размеченной частью) числа, которое вы делили.Например, если вы делили 1137 на 82, вы бы посмотрели на «8» и «10» и предположили бы, что, вероятно, «1» должна быть сверху, над «11», потому что 8 входит один раз в 11.

Деление в столбик многочленов работает примерно так же:

Сначала я настрою деление, поместив делимое (вещь, на которую делится) внутри, а делитель (вещь, делающую) снаружи и влево:

На данный момент я проигнорирую все, кроме ведущих терминов.Как и в случае с числовым делением в столбик, я буду рассматривать только ведущие x делителя и ведущие x ² делимого.

Если я разделю ведущие x ² внутри на ведущие x впереди, что я получу? Я бы взял x . Поэтому я помещаю x поверх символа деления, прямо над x ² внутри:

Теперь возьму x сверху и умножу на делитель x + 1.Сначала я умножу x (сверху) на x (на «стороне») и перенесу получившееся x ² под ним, поместив его непосредственно под x ² от дивиденда:

Затем я умножу x (вверху) на 1 (на «стороне») и перенесу 1 x внизу, поместив его прямо под –9 x в делимом:

Затем я нарисую горизонтальную полосу «равно» под тем, что я только что поместил под делимым, чтобы я мог произвести вычитание.

Чтобы вычесть многочлены, я сначала меняю все знаки во второй строке …

… а потом складываю. Первый член ( x ² ) будет сокращен (по дизайну), а –9 x — 1 x станет –10 x :

Мне нужно не забыть перенести последний член (то есть член «вычесть десять») из дивиденда:

На этом этапе я начинаю игнорировать дивиденды и вместо этого работаю над нижней строкой моего длинного деления.

Я смотрю на x от делителя и новый ведущий член, –10 x , в нижней строке деления. Если я разделю –10 x на x , я получу –10, поэтому я поставлю это сверху, прямо над –9 x :

.

Теперь я умножу –10 (сверху) на ведущие x (на «стороне») и перенесу –10 x вниз, прямо под –10 x предыдущей строки:

…и я умножу –10 (сверху) на 1 (на «стороне») и перенесу –10 вниз, прямо под –10:

в предыдущей строке.

Я нарисую еще одну горизонтальную полосу «равно» и поменяю знаки на всех терминах в нижнем ряду:

Затем складываю:

По дизайну 10 x отменены.По стечению обстоятельств и десятки тоже отменили. Тогда мой ответ сверху символа деления:

.

Так как остаток от деления выше был равен нулю (то есть, поскольку ничего не осталось), деление «получилось четным». Когда вы делаете обычное деление с числами, и деление «получается четным», это означает, что число, на которое вы делите, является множителем числа, которое вы делите.

Например, если вы разделите 50 на 10, ответом будет аккуратная цифра «5» с нулевым остатком, потому что 10 — это коэффициент 50.

В случае вышеупомянутого полиномиального деления нулевой остаток говорит нам, что x + 1 является множителем x ² -9 x -10, что вы можете подтвердить факторизацией исходного квадратичного делимого, x ² — 9 x — 10. Каждый раз, когда вы получаете нулевой остаток, делитель является множителем делимого.

Между прочим, обратите внимание на то, как я выяснил, что поставить поверх символа длинного деления в приведенном выше упражнении: я разделил главный член того, на что я делил, на главный член того, на что я делил.Независимо от того, будет ли у конкретного деления остаток ненулевого значения, этот метод всегда будет давать правильное значение для того, что вам нужно наверху. Таким образом, полиномиальное деление в столбик проще, чем числовое деление в столбик, когда вам приходилось угадывать-н-проверять, чтобы выяснить, что было наверху.

Давайте сделаем еще один пример с делением, которое выходит «четным», чтобы мы могли проверить наш результат, выполнив факторизацию и отмену.

• Упростить

Это дробное сокращение может быть выполнено любым из двух способов: я могу разложить квадратичный множитель на множители, а затем отменить общий множитель, например:

Но что, если я не знаю, как разложить на множители (или если мне нужно «показать свою работу» для длинного полиномиального деления на тесте)? Как и раньше, я начну длинное деление с работы с ведущими членами делителя и дивиденда.

Старший член делимого — x ² , а старший член делителя — x . Разделив x ² на x , я получу x , так что это то, что я поставил поверх x ² в дивиденде:

Затем я умножаю x сверху на делитель x + 7 и помещаю полученное x ² + 7 под делимое:

Затем я рисую горизонтальную полосу «равно», меняю знаки, складываю вниз и перемещаю +14 вниз, получая 2 x + 14 под полосой «равно»:

Деление первых 2 x на ведущие x делителя дает мне 2, так что это то, что я помещаю поверх символа деления, прямо над 9 x в делимом:

Затем я умножаю это 2 сверху на x + 7 и помещаю результат 2 x + 14 под:

Затем я меняю знаки и складываю, получая нулевой остаток:

Ответом на деление является частное, являющееся полиномом в верхней части символа деления в столбик:

URL: https: // www.purplemath.com/modules/polydiv2.htm

Как сделать длинное деление с двумя цифрами + пример

В сегодняшнем посте мы собираемся объяснить

, как решить двузначное деление.

Прежде чем приступить к изучению решения двузначного деления, важно, чтобы вы познакомились с этими терминами, потому что мы будем использовать их позже.

Дивиденды: делимое число.

Делитель: число, на которое делится дивиденд.

Частное: результат деления.

Остаток: сумма, оставшаяся после разделения.

Как только вы это увидите, вы знаете, где разместить каждое число в делении. Теперь нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Возьмите первые цифры делимого, то же количество цифр, что и у делителя. Если число, взятое из делимого, меньше делителя, вам нужно взять следующую цифру делимого.
2. Разделите первое число делимого (или два первых числа, если на предыдущем шаге была принята другая цифра) на первую цифру делителя. Запишите результат этого деления в поле частного.
3. Умножьте цифру частного на делитель, запишите результат под делимым и вычтите его. Если вы не можете, потому что дивиденд меньше, вам придется выбрать меньшее число в частном, пока оно не будет вычитаться.
4. После вычитания отбрасывает следующую цифру делимого и повторяет, начиная с шага 2, до тех пор, пока в делимом не останется больше чисел.

В этом суть концепции, но мы рассмотрим ее на примере.

Мы собираемся решить следующее двузначное деление:

1. Возьмите первые цифры делимого: в данном случае 57. Но поскольку 57 меньше 73, вам нужно взять еще одну цифру: 573.

2. Чтобы разделить 573 на 73, мы берем первые две цифры делимого: 57 и делим их на первую цифру делителя:

57 ÷ 7 = 8

3. Запишите 8 в частном и умножьте его на делитель:

8 x 73 = 584

Но 584 больше 573; следовательно, 8 «не подходит».Вам нужно выбрать предыдущее число и снова умножить:

7 х 73 = 511

511 меньше дивиденда; поэтому 7 «подходит». Мы пишем 511 под цифрами делимого, а затем делим и вычитаем:

4. Отбросьте следующую цифру делимого, которая равна 8. Теперь вам нужно разделить 628 на 73. Повторите предыдущие шаги:

Разделите первые две цифры делимого на первую цифру делителя и запишите его вместо частного:

62 ÷ 7 = 8

Умножьте эту цифру на делитель:

8 х 73 = 584

584 меньше 628; следовательно, мы можем вычесть:

628–584 = 44

Результат этого деления — 78, а остатка — 44.

Я надеюсь, что в этом посте вы узнали, как делать двузначное деление.

Не стесняйтесь оставлять свои комментарии!

А если вы хотите узнать больше о математике, войдите в Smartick

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создавать максимально качественные математические материалы.