Тест: НОД и НОК — Математика 6 класс

Тест: НОД и НОК — Математика 6 класс

НОД и НОК

Выбери ответ

Математика 6 класс | ID: 346 | Дата: 15.11.2013

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5»). innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(6)==»1″) {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;};
if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;};
}
}

Получение сертификата
о прохождении теста

Калькулятор онлайн — Нахождение (вычисление) НОД и НОК (с подробным решением)

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.

Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.

В школьной программе обозначается так: НОД(m, n)

Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел.
Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить
числитель и знаменатель данной дроби.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)

Пример: НОК(16, 20) = 80

Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.

Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.

Вводить можно только целые положительные числа.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:

48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).

Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a и b.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.

Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).

Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э.
Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше,
в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.

Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.

Тест по математике Наибольший общий делитель 6 класс

Тест по математике Наибольший общий делитель Наименьшее общее кратное для учащихся 6 класса с ответами. Тест состоит из 2 вариантов, в каждом варианте 11 заданий.

1 вариант

1. Какие числа являются общими делителями чисел 24 и 16?

1) 4, 8
2) 6, 2, 4
3) 2, 4, 8
4) 8, 6

2. Является ли число 9 наибольшим общим делителем чисел 27 и 36?

1) да
2) нет

3. Даны числа 128, 64 и 32. Какое из них является наибольшим общим делителем всех трёх чисел?

1) 128
2) 64
3) 32

4. Имеют ли числа 40, 35, 10, 8 наибольший общий делитель?

1)да
2) нет

5. Являются ли числа 7 и 18 взаимно простыми?

1) да
2) нет

6. Какие числа являются взаимно простыми?

1) 5 и 25
2) 64 и 2
3) 12 и 10
4) 100 и 9

7. Укажите дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

8. Какое число является общим кратным чисел 8, 12, 6?

1) 16
2) 120
3) 96
4) 2

9. Какое число является наименьшим общим кратным чисел 6, 9, 12?

1) 18
2) 36
3) 24
4) 180

10. Число а кратно числу b. Чему равен их наибольший об­щий делитель?

1) a
2) b
3) a + b
4) ab

11. Даны числа 400, 100, 25, 80. Какое из них является наименьшим общим кратным всех четырёх чисел?

1) 25
2) 400
3) 100
4) 80

2 вариант

1. Какие числа являются общими делителями чисел 18 и 12?

1) 9, 6, 3
2) 2, 3, 4, 6
3) 3, 2
4) 2, 3, 6

2. Является ли число 4 наибольшим общим делителем чисел 16 и 32?

1) да
2) нет

3. Даны числа 300, 150 и 600. Какое из них является наибольшим общим делителем всех трёх чисел?

1) 600
2) 150
3) 300

4. Имеют ли числа 20, 16, 14, 28 наибольший общий делитель?

1) да
2) нет

5. Являются ли взаимно простыми числа 33 и 44?

1) да
2) нет

6. Какие числа являются взаимно простыми?

1) 9 и 18
2) 105 и 65
3) 44 и 45
4) 6 и 16

7. Укажите дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

8. Какое число является общим кратным чисел 5, 10, 15?

1) 5
2) 100
3) 15
4) 300

9. Какое число является наименьшим общим кратным чи­сел 4, 8, 10?

1) 40
2) 16
3) 80
4) 32

10. Числа х и у — взаимно простые. Чему равно их наи­меньшее общее кратное?

1) x
2) у
3) ху
4) х + у

11. Даны числа 5, 130, 65, 260. Какое из них является наименьшим общим кратным всех трёх чисел?

1) 130
2) 65
3) 260
4) 5

Ответы на тест по математике Наибольший общий делитель Наименьшее общее кратное
1 вариант
1-3
2-1
3-3
4-2
5-1
6-4
7-4
8-3
9-2
10-2
11-2
2 вариант
1-4
2-2
3-2
4-1
5-2
6-3
7-4
8-4
9-1
10-3
11-3

Наименьшее общее кратное / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Задача:

Петя строит железную дорогу из частей, длина которых 4 см, а Сережа, из частей длина которых 6 см. Какую наименьшую протяженность дорожного полотна построят мальчики равной длины?

Решение:

Длина дороги, построенной мальчиками, должна делиться нацело на 4 и 6, так как части, из которых строят дорогу Петя и Сережа равны 4 см и 6 см соответственно, то есть длина построенной железной дороги должна быть кратной и 4, и 6.

Числа кратные 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60…

Числа кратные 6:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…

То есть общими кратными чисел 4 и 6 являются числа (выделено синим):

12, 24, 36, 48, 60…

Но наименьшим из них является 12. Это число называется наименьшим общим кратным.

То есть наименьшая протяженность дорожного полотна равной длины у Пети и Сережи 12 см.

Наименьшее общее кратное чисел и обозначают так: НОК(; ), то есть мы можем записать НОК(4; 6) = 12.

Нахождение наименьшего общего кратного:

1 способ:

Найдем НОК(12; 15).

Выбираем наибольшее из двух чисел, в нашем случае это число 15, и записываем числа кратные ему, до тех пор, пока не получим число, которое будет кратно второму числу, в нашем случае числу 12.

Получаем: 15, 30, 45, 60.

Число 60 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть НОК(12; 15) = 60.

2 способ:

Разложим данные числа на простые множители:

12 = 223          15 = 35.

Далее для выписываем простые множители, которые входят в разложение первого числа, и добавляем множители из разложения второго числа, которых нет в разложении первого, то есть в нашем случае, это множитель 5.

Итак, мы получим 4 множителя 2235, произведение данных множителей равно числу 60, которое является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть мы снова получили НОК(12; 15) = 60.

Таким же образом можно найти НОК трех и более чисел.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

3 способ:

Найдем НОК(2520; 4620). Для это разложим данные числа на простые множители и запишем разложение в виде произведения степеней:

2 520 = 2³3²5¹7¹                            4 620 = 2²3¹5¹7¹11¹.

Далее используем правило:

В нашем случае:

1. Встречается только в одном разложении: 11¹.
2. Степени с бóльшими показателями: 2³, 3², 5¹, 7¹.
3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наименьшее общее кратное:  НОК(2520; 4620) = 2³3²5¹7¹11 = 27 720.

Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Определение 1

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Пример 1

Согласно данному выше определению для числа 12 общими кратными числами будут 3 и 2. Также число 12 будет общим кратным для чисел 2, 3 и 4. Числа 12 и -12 являются общими кратными числами для чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

В то же время общим кратным числом для чисел 2 и 3 будут числа 12, 6, −24, 72, 468, −100 010 004 и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел 2 и 3 числа 16, −27, 5 009, 27 001 не будут общими кратными.

0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число k будет общим кратным данных чисел точно также, как и число –k. Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Пример 2

Предположим, что нам даны k целых чисел a1, a2, …, ak. Число, которое мы получим в ходе умножения чисел a1·a2·…·ak согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел a1, a2, …, ak является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Пример 3

Предположим, что у нас есть некоторое число k. Тогда произведение чисел k·z, где z – это целое число, будет являться общим кратным чисел k и z. С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Определение 2

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел  a1, a2, …, ak будет иметь вид НОК(a1, a2, …, ak).

Пример 4

Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 – это 42. Т.е. НОК (6,7)=42. Наименьшее общее кратное четырех чисел -2, 12, 15 и 3 будет равно 60. Краткая запись будет иметь вид НОК (-2, 12, 15, 3)=60.

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Теорема 1

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Доказательство 1

Предположим, что мы имеем некоторое число M, которое кратно числам a и b. Если число M делится на a, также существует некоторое целое число z, при котором справедливо равенство M=a·k. Согласно определению делимости, если M делится и на b, то тогда a·k делится на b.

Если мы введем новое обозначение для НОД(a, b) как d, то сможем использовать равенства a=a1·d и b=b1·d. При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что a·k делится на b. Теперь это условие можно записать следующим образом:
a1·d·k делится на b1·d, что эквивалентно условию a1·k делится на b1 согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если a1 и b1 – взаимно простые числа, a1 не делится на b1 при том, что a1·k делится на b1, то b1 должно делиться k.

В этом случае уместно будет предположить, что существует число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t.

Теперь вместо k подставим в равенство M=a·k  выражение вида b:d·t. Это позволяет нам прийти к равенству M=a·b:d·t. При t=1 мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел a и b, равное a·b:d, при условии, что числа a и b положительные.

Так мы доказали, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Определение 3

 Теорема имеет два важных следствия:

• кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
• наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Теорема 2

Предположим, что a1, a2, …, ak – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК m_k этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk-1, ak).

Доказательство 2

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

• общие кратные чисел a1 и a2 совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа m2;
• общие кратные чисел a1, a2 и a3 совпадают с общими кратными чисел m2 и a3, следовательно, совпадают с кратными числа m3;
• общие кратные чисел a1, a2, …, ak совпадают с общими кратными чисел mk-1 и ak, следовательно, совпадают с кратными числа mk;
• в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа mk является само число mk, то наименьшим общим кратным чисел a1, a2, …, ak является mk.

Так мы доказали теорему.

Наименьшее общее кратное 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим задачу. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

Решение: число сантиметров пути должно делиться без остатка и на 75, и на 60, т.е. оно должно быть кратным и 75 и 60.

Выпишем числа, кратные 75.

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525…

Затем выпишем числа, кратные 60.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, …

Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600, …

Наименьшее из них 300. Это число называется наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Значит, наименьшим расстоянием, на котором Володя и Катя сделают целое число шагов, будет 300 см. При этом Володя сделает 300:75 = 4 шага, а Катя сделает 300:60 = 5 шагов.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно а и b.

Наименьшее общее кратное можно находить, не выписывая подряд кратные этих чисел 75 и 60. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 * 5 * 5

60 = 2 * 2 * 3 * 5

Выпишем множители, которые входят в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа.

Получаем 2*2*3*5*5 = 300. Это число и является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Сформулируем правило для нахождения наименьшего общего кратного.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1. Разложить их на простые множители.
2. Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел.
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4. Найти произведение получившихся множителей.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 является число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пример 1. Найдем наименьшее общее кратное чисел:

a = 3*5; b = 7*5.

НОК (a; b) = 3*5*7 = 105.

Пример 2. Найдем наименьшее общее кратное чисел:

а = 3*3*7*7; с = 2*3*3*3*5.

НОК (а; с) = 3*3*3*7*7*2*5 = 13230.

Тест по теме «Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное» (математика, 6 класс) | Методическая разработка (алгебра, 6 класс) по теме:

Тест по теме «Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное»

Вариант I

1. Наибольший общий делитель чисел a и b – это:

а) натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b;

б) натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b;

в) наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b;

г) наибольшее натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b.

2. Какие числа являются общими делителями чисел 24 и 16?

а) 4, 8;                  б) 6, 2, 4;                 в) 2, 4, 8;                          г) 8, 6.

3. Какое число является общим кратным чисел 8, 12 и 6?

а) 16;                    б) 140;                     в) 96;                                г) 2.

4. Разложите на простые множители число 280.

а) 280 = 2·2·2·5·7;      б) 280 = 1·2·2·2·5·7;     в) 280 = 8·5·7;         г)  свой ответ.

5. Наибольшим общим делителем чисел 45 и 60 является число:

а) 5;                      б) 180;                     в) 3;                                  г) 15.

6. Наименьшим общим кратным чисел 28 и 49 является число:

а) 196;                  б) 14;                       в) 7;                                  г) 98.

7. Какие числа являются взаимно простыми:

а) 5 и 25;                б) 64 и 2;                   в) 12 и 10;                          г) 100 и 9.

8. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 4:

1)  24 и 20;           2)  24 и 30;           3)  24 и 32;        4)  18 и 32;            5)  4 и 16.

а)   2, 3, 5;          б)  1, 5;          в)  1, 3, 5;          г)  у всех.

9. Числа x и y – взаимно простые. Чему равно их наименьшее общее кратное?

а) х;                       б) y;                         в) xy;                               г) x + y.

10. Для спортивной команды купили 45 маек и 27 футболок. Какое наибольшее число спортсменов может быть в команде, если каждый получит одинаковый набор одежды и будут использованы все вещи?

Вариант II

1. Наименьшее общее кратное чисел a и b – это:

а) натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b;

б) натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b;

в) наименьшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b;

г) наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на числа a и b.

2. Какие числа являются общими делителями чисел 18 и 12?

а) 9, 6, 3;                    б) 2, 3, 4, 6;                       в) 3, 2;                       г) 2, 3, 6.

3. Какое число является общим кратным чисел 5, 10 и 15?

а) 5;                            б) 100;                               в) 15;                         г) 300.

4. Разложите на простые множители число 420.

а) 420 = 2·2·3·5·7;     б) 420 = 1·2·2·3·5·7;     в) 420 = 4·3·5·7;    г)  свой ответ.

5. Наибольшим общим делителем чисел 90 и 54 является число:

а) 2;                            б) 9;                                   в) 18;                          г) 270.

6. Наименьшим общим кратным чисел 80 и 96 является число:

а) 480;                        б) 8;                                   в) 16;                          г) 240.                              

7. Какие числа являются взаимно простыми:

а) 9 и 18;                    б) 105 и 65;                       в) 44 и 45;                  г) 6 и 16.

8. У каких из предложенных пар чисел НОД равен 6:

1)  24 и 20;             2)  24 и 30;            3)  24 и 32;       4)  18 и 30;        5)  6 и 200.

а)   2, 4;                      б)  1, 3;                         в)  1, 2, 4, 5;                     г)  у всех.

9. Число a кратно числу b. Чему равен их наибольший общий делитель?

а) a;                            б) b;                                в) a + b;                     г) ab.

10. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из 72 ручек и 54 фломастеров, если они все должны быть использованы?

Ключи

Нахождение наименьшего общего кратного с использованием метода списка

Наименьшее общее кратное , также известное как НОК, двух чисел — это наименьшее число, которое делится на два заданных числа. Здесь предполагается, что задействованные числа являются положительными целыми числами или положительными целыми числами

.

Но сначала мы должны спросить себя. Что такое число, кратное числу?

Предположим, у нас есть два целых положительных числа n и m. Число m кратно числу n, если n может делить m без остатка.Это означает, что когда m делится на n, остаток результата равен нулю.

Например, 20 делится на 10, так как 20, разделенное на 10, равно 2 и, что более важно, у него НЕТ остатка.

Другой взгляд на это состоит в том, что кратное числа является произведением данного числа и натурального или счетного числа.

Например, число 54 кратно 6, потому что 54 = 6 \ раз 9. Обратите внимание, что число 6 умножается на число, равное 9.

Следующая концепция может показаться тривиальной, но она очень важна. Число само по себе является кратным . Очевидно, что 5 делится на 5, потому что 5, деленное на 5, равно 1 и без остатка.

Или, 5 является кратным самому себе, поскольку 5 = 5 \ умножить на 1, где число 5 умножается на счетное число 1.

Теперь пришло время научиться составлять список кратных данного числа. Имейте в виду, что для любого данного положительного целого числа оно имеет бесконечное число, кратное .

Давайте посмотрим на число, кратное 7.

Вот трюк! Чтобы найти число, кратное 7, начните с написания самого числа, а затем пропустите счет на 7.

Следовательно, кратные 7 равны 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , …

Символ «… », также известный как эллипсы, означает, что последовательность продолжается без конца, но по определенному шаблону.

Другой способ получить кратное числа — использовать набор натуральных чисел. Помните, что набор натуральных чисел (также известный как набор счетных чисел) содержит элементы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…

Мы также можем выразить счетные числа в виде множества.

Мы будем использовать набор счетных чисел в качестве множителей данного числа, чтобы сгенерировать его кратные. Поскольку число имеет бесконечные кратные, нам нужно будет указать , чтобы указать , сколько кратных чисел мы хотим перечислить.Ради этого урока давайте договоримся написать или перечислить первых восьми (8) кратных числа.

Ниже приведен список первых восьми чисел , кратных 6. Обратите внимание: чтобы найти их, мы умножим 6 на первые восемь элементов набора счетных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Продукты становятся первыми восемью кратными 6.

Давайте еще раз рассмотрим примеры нахождения кратных чисел. Чем больше примеров вы увидите, тем более комфортно вам станет понятна концепция.

◉ Первые пять чисел, кратных 3 ☞ 3, 6, 9, 12, 15

◉ Первые семь кратных 10 ☞ 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70

◉ Первые восемь чисел, кратных 9 000 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72

◉ Первые десять чисел, кратных 13 ☞ 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

1) Найдите наименьшее общее кратное 3 и 7.

Здесь нам пригодятся навыки, которые мы научились находить кратные числа. Единственная разница в том, что мы найдем числа, кратные двум числам, и перечислим их рядом.

Это зависит от нас, сколько кратных мы решим написать. Иногда нам необходимо расширить его, потому что мы еще не можем найти первое общее кратное . Первое число, которое появляется в списке, которое является общим для обоих, становится наименьшим общим кратным или НОК данных двух чисел.

Итак, давайте запишем первые десять чисел, кратных 3 и 7, и посмотрим, сможем ли мы найти первое совпадение. Если мы сделали это правильно, LCM для 3 и 7 будет 21 .

Помните, что ключ здесь предназначен для поиска общего кратного, имеющего наименьшее значение.

Очень возможно иметь более одного общего кратного. Но когда дело доходит до поиска наименьшего общего кратного, мы определенно заинтересованы в поиске наименьшего общего кратного. Пожалуйста, проверьте диаграмму ниже. Надеюсь, в этом есть смысл!

2) Найдите наименьшее общее кратное 8 и 12.

Надеюсь, вы уже разбираетесь в этом. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

• Перечислите первые десять чисел, кратных 8 и 12 .

• Определите кратные, общие для обоих списков. Как вы можете видеть на рисунке ниже, общие кратные 8 и 12 равны 24, 48 и 72.Чтобы уточнить, это общие кратные 8 и 12 для их первых десяти кратных.

• Общее кратное, имеющее наименьшее значение, является наименьшим общим кратным (НОК) данных двух чисел, которые равны 8 и 12. В этом случае НОК 8 и 12 равно 24.

3) Что такое НОК 14 и 20?

Как видите, задачи нахождения НОК двух чисел могут усложняться по мере увеличения числа. Поскольку вы уже знакомы с этой процедурой, вы должны управлять всем процессом.

Распространенная ошибка, которую совершают мои ученики, — это когда они небрежно записывают несколько первых кратных чисел. Так что не попадайтесь в ловушку самоуспокоенности. Применяйте то, что вы узнали, и выполняйте это целенаправленно.

Я предлагаю вам сначала проработать это на бумаге, прежде чем нажимать кнопку, чтобы показать решение для каждого шага. Удачи!

• Шаг 1. Запишите первые двенадцать кратных 14 и 20 .

Щелкните здесь, чтобы перейти к шагу № 1

• Шаг 2: Отметьте общие кратные 14 и 20 .

Щелкните здесь, чтобы перейти к шагу № 2

• Шаг 3. Определите наименьшее общее кратное (НОК) 14 и 20 .

Щелкните здесь, чтобы перейти к шагу № 3

4) Что такое НОК 11 и 23?

Это не вопрос с подвохом. Я бы сказал, что это совершенно справедливый вопрос для теста.Мы, учителя математики, всегда хотели бы добавить к этому типу задач, связанных с LCM, чтобы проверить понимание учащимися темы.

Так что же делать? Как всегда, при решении каждой математической задачи постарайтесь сделать шаг назад, чтобы взглянуть на проблему в более широком смысле. Просто не приобретайте привычки немедленно решать проблему, не имея хорошего плана. Некоторые проблемы могут сначала показаться пугающими, что может вызвать математическое беспокойство, хотя на самом деле это очень просто, если вы знаете, с чем имеете дело.

Во-первых, что вы можете сказать о двух числах 11 и 23? Они какие-то особенные?

Ответ — да! Числа 11 и 23 являются простыми числами. Это означает, что 11 делится только на 1 и себя. То же самое и с 23, что оно делится только на 1 и себя.

Правило гласит, что если a и b — два различных простых числа, их наименьшее общее кратное (НОК) — это просто их произведение, то есть a \ times b.

Поскольку мы уже установили, что 11 и 23 — простые числа, их НОК — это просто их произведение, которое умножает на 11 \ 23 = 253.Мы также можем записать наш окончательный ответ в виде LCM (11, 23) = 253.

Теперь предположим, что вы не знаете этого правила. У вас нет другого выбора, кроме как перечислить достаточное количество кратных для каждого числа, чтобы вы попали в первое совпадение. Ваше обычное решение может выглядеть примерно так, как показано ниже. Представьте себе возможность неправильно записать кратные 11 и 23 и, следовательно, не получить правильную НОК. Да, это может быть действительно грязно!

Возможно, вас заинтересует:

Используйте простую факторизацию, чтобы найти LCM

Поиск GCF с использованием метода списка

Используйте простую факторизацию, чтобы найти GCF

Калькулятор наименьшего общего множественного числа

Укажите числа, разделенные запятой «,» и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти НОК.

Калькулятор RelatedGCF | Калькулятор коэффициентов

Что такое наименьшее общее кратное (НОК)?

В математике наименьшее общее кратное, также известное как наименьшее общее кратное двух (или более) целых чисел a и b , является наименьшим положительным целым числом, которое делится на оба. Обычно его обозначают как НОК (a, b).

Метод грубой силы

Есть несколько способов найти наименьшее общее кратное. Самый простой — просто использовать метод «грубой силы», который перечисляет кратные каждому целому числу.

Как видно, этот метод может быть довольно утомительным и далек от идеала.

Метод простой факторизации

Более систематический способ найти НОК некоторых заданных целых чисел — использовать разложение на простые множители. Факторизация на простые множители включает разбиение каждого сравниваемого числа на произведение простых чисел.Затем определяется НОК путем умножения наивысшей степени каждого простого числа. Обратите внимание, что вычисление LCM таким способом, хотя и более эффективно, чем использование метода «грубой силы», все же ограничено меньшими числами. См. Пример ниже, чтобы пояснить, как использовать разложение на простые множители для определения НОК:

Метод наибольшего общего делителя

Третий жизнеспособный метод нахождения НОК некоторых заданных целых чисел — использование наибольшего общего делителя.Это также часто называют наибольшим общим фактором (GCF) среди других названий. См. Ссылку для получения подробной информации о том, как определить наибольший общий делитель. Для данного НОК (a, b) процедура поиска НОК с использованием GCF состоит в том, чтобы разделить произведение чисел a и b на их GCF, то есть (a × b) / GCF (a, b). При попытке определить НОК более двух чисел, например НОК (a, b, c), найдите НОК a и b , где результатом будет q .Затем найдите НОК c и q . Результатом будет НОК всех трех чисел. Используя предыдущий пример:

Обратите внимание, что неважно, какой НОК вычисляется первым, если используются все числа и метод используется точно. В зависимости от конкретной ситуации каждый метод имеет свои достоинства, и пользователь может решить, какой метод использовать по своему усмотрению.

Калькулятор НОК

— наименьшее общее кратное

Поиск инструмента

LCM (наименьшее общее кратное)

Инструмент для расчета НОК. Наименьшее общее кратное двух целых чисел a и b является наименьшим целым числом, кратным этим двум числам.

Результаты

LCM (наименьшее общее кратное) — dCode

Тэги: Арифметика

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать НОК? (Алгоритм)

Метод 1: перечислить все кратные и найти наименьшее общее кратное .

Пример: LCM для 10 и 12
10 имеет для кратных 0,10,20,30,40,50,60,70 и т. Д.
12 имеет кратные 0,12,24,36,48,60,72 и т. Д.
Наименьшее общее кратное равно 60.

Метод 2: используйте разложение на простые множители . LCM — это умножение общих множителей на необщие множители.

Пример: $ 10 = 2 \ times 5 $ и $ 12 = 2 \ times 2 \ times 3 $
Общие множители: 2 и необщие множители: 2,3,5
LCM (10, 12) = $ 2 \ раз 2 \ раз 3 \ раз 5 = 60 $

Метод 3: используйте значение НОД и примените формулу НОК (a, b) = a * b / GCD (a, b)

Пример: GCD (10, 12) = 2
LCM (10, 12) = (10 * 12) / 2 = 60

Как рассчитать НОК с несколькими числами? (НОК из 2-х и более номеров)

Метод 1: перечислить все кратные и найти наименьшее общее кратное .

Пример: LCM для 10, 12 и 15
10 имеет для кратных 0,10,20,30,40,50,60,70 и т. Д.
12 имеет для кратных 0,12,24,36, 48,60,72 и т. Д.
15 имеет кратные 0,15,30,45,60,75 и т. Д.
Наименьшее общее кратное равно 60.

Метод 2: примените LCM к 2 и используйте формулу LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Пример: LCM (10, 12) = 60
LCM (10, 12, 15) = LCM (LCM (10, 12), 15) = LCM (60,15) = 60

Как рассчитать наименьший общий знаменатель дробей?

Чтобы вычислить дроби и / или установить дроби с одинаковым знаменателем, вычислите наименьшее общее кратное знаменателей (дробь под линией дроби).

Пример: Дроби 7/8 и 15/36, их наименьший общий знаменатель — НОК (8,36) = 72. Таким образом,
7/8 можно записать как 63/72, а 15/36 можно записать как 30/72.

Как рассчитать НОК с помощью калькулятора (TI или Casio)?

Калькуляторы

обычно имеют функцию для LCM , в противном случае с функцией GCD примените формулу:

$$ \ text {L C M} (a, b) = \ frac {a \ times b} {\ text {G C D} (a, b)} $$

Как рассчитать НОК с нулем 0?

0 не имеет кратного числа, так как никакое число не может быть разделено на ноль

Как вычислить НОК с нецелыми числами?

LCM , как он определен математически, не имеет смысла с нецелыми числами. Однако можно использовать эту формулу: CM (a * c, b * c) = CM (a, b) * c, где CM — общее кратное (не наименьшее) других рациональных чисел.

Пример: CM (1,2,2,4) = CM (12,24) / 10 = 2

Что такое НОК для N первых целых чисел?

Следующие числа имеют свойство иметь много делителей, некоторые из них являются очень составными числами.

8975

897395

413815

04245996706400

LCM (1,2,3) =	6
LCM (1,2,3,4) =	12
LCM (1,2,3,4,5 ) =	60
LCM (1,2,3,4,5,6) =	60
LCM (1,2,3…6,7) =	420
LCM (1,2,3 … 7,8) =	840
LCM (1,2,3 … 8,9) =	2520
LCM (1,2,3 … 9,10) =	2520
LCM (1,2,3 … 10,11) =	27720
LCM (1,2,3 … 11,12) =	27720
LCM (1,2,3 . .. 12,13) ​​=	360360
LCM (1, 2,3 … 13,14) =	360360
LCM (1,2,3…14,15) =	360360
LCM (1,2,3 … 15,16) =	720720
LCM (1,2,3 … 16,17) =	12252240
LCM (1,2,3 … 17,18) =	12252240
LCM (1,2,3 … 18,19) =	232792560
LCM (1,2,3 … 19,20) =	232792560
LCM (1,2,3 … 20,21) =	232792560
LCM (1, 2,3 … 21,22) =	232792560
LCM (1,2,3…22,23) =	5354228880
LCM (1,2,3 … 23,24) =	5354228880
LCM (1,2,3 … 24,25) =	26771144400
LCM (1,2,3 … 25,26) =	26771144400
LCM (1,2,3 … 26,27) =	80313433200
LCM (1,2,3 … 27,28) =	80313433200
LCM (1,2,3 … 28,29) =	232 62800
LCM (1, 2,3…29,30) =	232 62800
LCM (1,2,3 … 30,31) =	72201776446800
LCM (1,2,3 … 31,32) =	144403552893600
LCM (1,2,3 … 32,33) =	144403552893600
LCM (1,2,3 … 33,34) =	144403552893600
LCM (1,2,3 … 34,35) =	144403552893600
LCM (1,2,3 … 35,36) =	144403552893600
LCM (1, 2,3…36,37) =	5342931457063200
LCM (1,2,3 … 37,38) =	5342931457063200
LCM (1,2,3 … 38,39) =	5342931457063200
LCM (1,2,3 … 39,40) =	5342931457063200
LCM (1,2,3 … 40,41) =	21
LCM (1,2,3 . .. 41,42) =	21
LCM (1,2,3 … 42,43) =	9419588158802421600
LCM (1, 2,3…43,44) =	9419588158802421600
LCM (1,2,3 … 44,45) =	9419588158802421600
LCM (1,2,3 … 45,46) =	9419588158802421600
LCM (1,2,3 … 46,47) =	442720643463713815200
LCM (1,2,3 … 47,48) =	4427206434
LCM (1,2,3 … 48,49) =	309

Почему НОК двух последовательных чисел кратно двум?

Для любой пары из 2 последовательных чисел одно четное, а другое нечетное, поэтому только одно кратно 2.Согласно методу вычисления LCM через разложение на простые множители, тогда LCM обязательно кратно 2, что не является общим множителем для 2 чисел.

Почему НОК 3 последовательных чисел кратно 3?

Для любой тройки из 3 последовательных чисел только одно кратно 3. Согласно методу вычисления LCM посредством разложения на простые множители, тогда LCM обязательно кратно 3, что не является общим множителем. для 3 номеров.

В чем разница между LCM и GCD?

LCM — это общее кратное двух чисел, поэтому это большее число, имеющее для делителя два числа.

НОД — это общий делитель двух чисел, поэтому это меньшее число, кратное двум числам.

LCM и CGD связаны формулой: $$ \ text {L C M} (a, b) = \ frac {a \ times b} {\ text {G C D} (a, b)} $$

Зачем нужно рассчитывать НОК?

PPCM — это число, кратное многим, и оно является как можно меньшим.Это дает большое математическое преимущество и упрощает вычисления.

Пример: Окружность имеет 360 °, потому что 360 делится на 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40, 45,60,72,90,120,180,360, что очень практично.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента LCM (Lowest Common Multiple). За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент LCM (наименьшее общее множественное) (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция ‘LCM (Lowest Common Multiple)’ (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) .) и никакая загрузка данных, скрипт, копирование и доступ к API для ‘LCM (Lowest Common Multiple)’ не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / Комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

пкм, gcd, наименьший, наименьший, общий, кратный, делитель, алгоритм, дробь, целое число

Ссылки

Источник: https: // www. dcode.fr/lcm

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Какой наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное?

GCF и LCM

Здравствуйте, и добро пожаловать в это видео, посвященное наименьшему общему множителю и наибольшему общему коэффициенту .

Как вы знаете, бывают случаи, когда нам нужно алгебраически «скорректировать» способ отображения числа или уравнения, чтобы продолжить нашу математическую работу. Для этого мы можем использовать наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное.Наибольшее общее кратное — это наибольшее число, которое является множителем двух или более чисел, а наименьшее общее кратное — наименьшее число, кратное двум или более числам.

Чтобы увидеть, насколько полезны эти концепции, давайте посмотрим на сложение дробей. Прежде чем мы сможем сложить дроби, мы должны убедиться, что знаменатели совпадают, создав эквивалентную дробь:

Пример для экрана: \ (\ frac {2} {3} + \ frac {1} {6} \ rightarrow \ frac {2} {3} \ times \ frac {2} {2} + \ frac {1} {6} \ rightarrow \ frac {4} {6} + \ frac {1} {6} = \ frac {5 } {6} \)

.

В этом примере необходимо определить наименьшее общее кратное 3 и 6. Другими словами: «Какое наименьшее число, которое можно разделить на 3 и 6 равномерно?» Немного подумав, мы понимаем, что 6 — наименьшее общее кратное, потому что 6, разделенное на 3, равно 2, а 6, разделенное на 6, равно 1. Дробь, \ (\ frac {2} {3} \), затем корректируется до эквивалентную дробь, \ (\ frac {4} {6} \), умножив числитель и знаменатель на 2. Теперь две дроби с общими знаменателями могут быть сложены для окончательного значения \ (\ frac {5} { 6} \).

В контексте сложения или вычитания дробей наименьшее общее кратное называется наименьшим общим знаменателем .

В общем, вам нужно определить число, большее или равное двум или более числам, чтобы найти их наименьшее общее кратное.

Важно отметить, что существует несколько способов определения наименьшего общего кратного. Один из способов — просто перечислить все кратные рассматриваемым значениям и выбрать наименьшее общее значение, как показано здесь:

Наименьшее общее кратное 8, 4, 6
\ (8 \ rightarrow 8,16,24,32, 40,48 \)

.

\ (4 \ rightarrow 4,8,12,16,20,24,28,32 \)

.

\ (6 \ rightarrow 6,12,18,24,30,36 \)

.

Это показывает, что наименьшее общее кратное 8, 4 и 6 равно 24, потому что это наименьшее число , на которое 8, 4 и 6 могут делиться равномерно.

Другой распространенный метод включает разложение на простые множители каждого значения. Помните, простое число делится только на 1 и само себя.

После определения простых множителей перечислите общие множители один раз, а затем умножьте их на другие оставшиеся простые множители.Результатом является наименьшее общее кратное:

\ (30 = 2 \ умножить на 2 \ умножить на 3 \ умножить на 3 \)

.

\ (90 = 2 \ умножить на 3 \ умножить на 3 \ умножить на 5 \)

.

\ (НОК = 2 \ умножить на 3 \ умножить на 3 \ умножить на 2 \ умножить на 5 \)

.

Наименьшее общее кратное также можно найти с помощью общего (или повторяющегося) деления . Этот метод иногда считается более быстрым и эффективным, чем перечисление , кратное и поиск простых множителей. Вот пример нахождения наименьшего общего кратного 3, 6 и 9 с помощью этого метода:

Разделите числа на множители любого из трех чисел.6 имеет множитель 2, поэтому давайте возьмем 2. Девять и 3 нельзя разделить на 2, поэтому мы просто перепишем здесь 9 и 3. Повторяйте этот процесс, пока все числа не уменьшатся до 1. Затем умножьте все множители вместе, чтобы получить наименьшее общее кратное.

Теперь, когда были введены методы нахождения наименьших общих кратных, нам нужно изменить свое мышление на нахождение наибольшего общего делителя двух или более чисел. Мы будем определять значение, меньшее или равное рассматриваемым числам.Другими словами, спросите себя: «Какое наибольшее значение делит оба этих числа?» Понимание этой концепции необходимо для деления и разложения многочленов на множители.

Факторизация на простые множители также может использоваться для определения наибольшего общего множителя. Однако вместо того, чтобы умножать все простые множители, как мы делали для наименьшего общего кратного, мы будем умножать только те простые множители, которые разделяют числа. Полученный продукт является самым общим фактором.

Давайте подведем итоги парой проверочных вопросов:

1) Наименьшее общее кратное 45 и 60 равно 15.

Ответ неверный. Наибольшее общее кратное для 45 и 60 равно 15, а наименьшее общее кратное — 180.

2) Наименьшее общее кратное — это число, большее или равное рассматриваемым числам.

Ответ верный. Наименьшее общее кратное больше или равно рассматриваемым числам, в то время как наибольшее общее кратное равно или меньше рассматриваемых чисел.

Спасибо за просмотр, удачной учебы!

Кратные и общие кратные — Уроки Wyzant

Кратное — это произведение числа и целого числа, или, проще говоря, когда вы умножаете
два целых числа вместе.Каждое число имеет бесконечное количество кратных. Для примера
кратные 2 равны 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 и так далее до бесконечности. Вас могут попросить
составить список кратных, пока вы не наберете определенное число (например,
перечислит кратные 2 от 2 до 50), или вас могут попросить перечислить определенное число
кратных (например, перечислить первые 5 крат 4). Важная часть
здесь заключается в том, что вы внимательно читаете инструкции и убедитесь, что
понимаете, что вам задает вопрос, прежде чем отвечать.Вот несколько примеров:

Составьте первые пять кратных следующих чисел: 3, 6, 9, 10, 7, 12, 50

3: 3, 6, 9, 12, 15

6: 6, 12, 18, 24, 30

9: 9, 18, 27, 36, 45

10: 10, 20, 30, 40, 50

7: 7, 14, 21, 28, 35

12: 12, 24, 36, 48, 60

50: 50, 100, 150, 200, 250

Вы также можете распознать кратные числа как «подсчет по» перечисленным выше числам.

Наименьшее общее кратное

Как только вы узнаете, что такое кратное и как его найти, вам часто будет предлагаться
найти «наименьшее общее кратное» между двумя числами. Например, вот как
вы найдете наименьшее общее кратное (НОК) между 4 и 5:

Сначала перечислите числа, кратные каждому числу. Теперь это может продолжаться до бесконечности,
, поэтому мы рекомендуем перечислить только первые 5 кратных каждого числа, а затем продолжить
, если вам нужно.

4: 4, 8, 12, 16, 20

5: 5, 10, 15, 20, 25

Затем подчеркните (или обведите в кружок) все общие факторы. Если у них нет
общих множителей, вам нужно продолжать (проверьте следующие пять множителей). Если у них
есть общие кратные, подчеркните их, например:

4: 4, 8, 12, 16, 20

5: 5, 10, 15, 20 , 25

Теперь вам нужно найти наименьшее общее кратное.В нашем примере у нас есть только одно общее кратное
, так что это наша НОК. Однако, если бы у нас было более одного общего кратного,
, мы бы выбрали наименьшее из них. Следовательно, наша НОК между 4 и 5 равна 20.

Когда бы вы использовали LCM?

Очень редко вас просят просто найти НОК между двумя числами. Однако
этот процесс особенно полезен при поиске общих знаменателей. Например,
, допустим, у нас есть проблема 5/8 + 2/5.Сначала нам нужно найти общий знаменатель.
Вот как мы могли бы использовать LCM, чтобы найти общий знаменатель.

Во-первых, нам нужно перечислить кратные каждому знаменателю в задаче
8 и 5.

8: 8, 16, 24, 32, 40

5: 5, 10, 15, 20, 25

На данный момент мы не видим общих кратных, поэтому перечислим еще 5 на каждую единицу
:

8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Теперь подчеркнем общие кратные, например:

.

8: 8, 16, 24, 32, 40 , 48, 56, 64, 72, 80

5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 , 45, 50

Мы замечаем, что 40 — это наше единственное общее кратное, поэтому для этой задачи это также наш LCM
. Затем вы должны использовать НОК в качестве нового общего знаменателя между двумя дробями
. Вы бы расширили каждую дробь так, чтобы знаменатель у нее был 40,
, вот так:

Затем вы просто сложите две дроби вместе: 25/40 + 16/40 = 41/40. Затем,
, вы должны преобразовать свою дробь в смешанное число (поскольку дробь неправильная)
, и вы получите 1 1/40.

Попробуем еще один пример.На этот раз вы можете попробовать решить ее самостоятельно, а затем,
, введите свой ответ в поле для ответа, чтобы проверить, правы ли вы!

Вычтите: 7/9 — 5/12

Сначала перечислите значения, кратные обоим знаменателям дробей, например:

9: 9, 18, 27, 36, 45

12: 12, 24, 36, 48, 60

Затем подчеркните общие кратные:

.

9: 9, 18, 27, 36 , 45

12: 12, 24, 36 , 48, 60

Мы замечаем, что 36 пока что является нашим единственным общим кратным, так что это также наша НОК. Затем,
, вам нужно будет использовать НОК в качестве общего знаменателя и расширить обе исходные дроби
, чтобы включить знаменатель 36, например:

Теперь вы можете взять расширенные дроби и вычесть их, например: 28/36 — 15/36
= 13/36. Эта дробь не может быть уменьшена, поэтому вы закончили и ваш окончательный ответ:
13/36.

13/36

Mighty Multiples «Бесплатные уроки

Математика, операции (+, -, x, / и т. Д.), Дроби

5-8 классы

Цель

Учащиеся узнают о кратных, общих кратных, наименьших общих кратных и наименьших общих знаменателях.

Проезд

Обсудите со студентами следующие факты и напоминания, когда они начнут это задание.
Кратное
Множитель — это произведение, полученное при умножении двух или более факторов друг на друга.
5 x 4 = 20 — число 20 делится на 4 и 5.
8 x 6 = 48 — Число 48 делится на 8 и 6.
Первые пять чисел, кратных 4, равны 4, 8, 12, 16 и 20.
Первые пять чисел, кратных 3, равны 3, 6, 9, 12 и 15.
Первые пять кратных 8 — это 8, 16, 24, 32 и 40.
Общие кратные
Общее кратное — это кратное, общее для двух или более различных факторов.
Число 8 является общим кратным как 2, так и 4.
Число 6 является общим кратным как 2, так и 3.
Число 12 является общим кратным 2, 3, 4 и 6.
Первые шесть чисел, кратных 6, равны 6, 12, 18, 24, 30 и 36.
Первые восемь чисел, кратных 4, равны 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 и 32.
Числа 12, 24 и 36 являются кратными как 4, так и 6.
Первые шесть чисел, кратных 8, равны 8, 16, 24, 32, 40 и 48.
Первые четыре числа, кратные 12, равны 12, 24, 36 и 48.
Числа 24 и 48 являются кратными как 8, так и 12.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее общее кратное двух или более факторов.
В приведенных выше примерах вы найдете следующее:
Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12.
Наименьшее общее кратное 8 и 12 равно 24.
Есть много больших общих кратных двух факторов.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее общее кратное используется для определения подходящего знаменателя для сложения различающихся дробей.При сложении различающихся дробей важно найти наименьший общий знаменатель дробей. Это в точности то же самое, что найти наименьшее общее кратное знаменателей.

 
 2 6 
 --- = --- 
 4 12 Наименьший общий знаменатель (LCD) 
 + 4 и 6 равен 12. 
 1 2 
 --- = --- 
 6 12 
 - ------------ 
 8 2 
 --- = --- 
 12 3 
 

ресурсов

• Mighty Multiples страниц активности
• карандаши

Как найти кратное | Помощь с математикой

Нахождение кратных

Множители находятся путем умножения числа на любое целое число.

Пример, показывающий кратное 3
Умножьте 3 на 1, затем на 2, затем на 3 и так далее.
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, 3 x 4 = 12, 3 x 5 = 15,
3 x 6 = 18
Первые шесть чисел, кратных 3, равны
3, 6, 9, 12, 15 и 18

Вы также можете найти кратные, пропустив счет. Если вы можете пропустить счет на 3, вы можете найти число, кратное 3

Пример, показывающий кратное 5
Умножьте 5 на 1, затем на 2, затем на 3 и так далее.
5 x 1 = 5, 5 x 2 = 10, 5 x 3 = 15,
5 x 4 = 20, 5 x 5 = 25, 5 x 6 = 30
Первые шесть чисел, кратных 3, равны
5, 10, 15, 20, 25 и 30

Кратные 10 равны 10, 20, 30, 40, 50, 60 и т. Д.

Ищите модели, кратные 5 и 10.Вы также можете заметить, что смотреть на кратные — все равно что смотреть на таблицу умножения (или умножения).

Общее кратное

Общее кратное — это число, кратное двум или более числам.

Чтобы найти общее кратное двух или более чисел, выполните следующие действия:

1. Составьте список, кратный каждому числу
2. Продолжайте список до тех пор, пока не менее двух кратных чисел не станут общими для всех списков
3. Определить общие кратные

Как найти общие кратные

Выполните три следующих шага, чтобы найти общие кратные 6 и 8

Примечание: мы получили бы больше общих кратных, если бы продолжали наши списки для кратных 6 и кратных 8.

В приведенном ниже примере мы найдем общие кратные для трех чисел: 5, 6 и 15

Рабочий лист общих кратных

Диаграммы Венна

Диаграммы Венна используются для отображения наборов чисел.Диаграммы Венна действительно хороши для отображения чисел, принадлежащих более чем одному набору. Они делают это, имея перекрывающиеся круги. В приведенном ниже примере показаны кратные 5, кратные 6 и общие кратные 5 и 6.

Эти кратные 5 и 6 показаны на диаграмме Венна ниже.