правила, примеры, как делить целые числа, деление нуля на число

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b  с частным равным а. Если произведение чисел 5 и -7 равна -35, отсюда имеем, что частное (−35):5 равняется -7, а (−35):(−7) с результатом 5.

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80+24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ: 104:8=13.

Пример 2

Найти частное от деления 308 716:452.

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716:452=683.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Пример 4

Вычислить -512: (-32).

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (−512):(−32)=16.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, -14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 5

Выполнить деление -1625 на 25.

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило 

-1625:25=—1625:25=-1625:25=-65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500+125, применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (−1 625):25=−65.

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Деление чисел. Делимое, делитель, частное

Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.

Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число  6  разделить на  2  — значит узнать, сколько раз число  2  содержится в  6:

1) 6 — 2 = 4,

2) 4 — 2 = 2,

3) 2 — 2 = 0.

Повторив вычитание  2  из  6,  мы узнали, что  2  содержится в  6  три раза. Это можно проверить сложив три раза по  2  или умножив  2  на  3:

2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6.

Для записи деления используется знак  :  (двоеточие),  который ставится между числами. Например:

6 : 2.

Эта запись означает, что  6  надо разделить на  2.  Справа от записи деления ставится знак  =  (равно),  после которого записывается полученный результат:

6 : 2 = 3.

Задача. В магазин привезли  9  морковок. Продавщица связала их в пучки по  3  морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по  3  содержится в числе  9.  Для этого разделим  9  на  3.  Получим  3.

Решение можно записать так:

9 : 3 = 3.

Ответ:  3  пучка.

Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.

Решение:

1) 4 : 2 = 2;

2) 12 : 4 = 3,      12: 3 = 4.

Делимое, делитель и частное

Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:

12 : 3,

12  — это делимое,  3  — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.

Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:

12 : 3 = 4,

4  — это частное. При этом сама запись  12 : 3  тоже называется частным.

Эта запись читается так:  частное двенадцати и трёх равняется четырём  или  двенадцать разделить на три равно четырём.

Проверка деления

Рассмотрим выражение:

28 : 4 = 7,

где  28  — это делимое,  4  — это делитель, а  7  — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:

1. Умножить частное на делитель:

   7 · 4 = 28,

   
   или умножить делитель на частное:

   4 · 7 = 28,

   
   если получится делимое, то деление было выполнено верно.

2. Разделить делимое на частное, если получиться делитель, то деление было выполнено верно:

   28 : 4 = 7.

Урок 46. деление с остатком — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок № 46. Деление с остатком

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Может ли при делении число не разделиться полностью?

2. В каких случаях выполняется деление с остатком?

3. Какое правило поможет научиться делить с остатком?

Глоссарий по теме:

Деление – это обратное действие умножению.

Делимое – компонент деления, число которое делят.

Делитель – компонент деления, число на которое делят.

Частное – результат деления.

Неполное частное – результат деления с остатком.

Обязательная литература и дополнительная литература:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для

общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 26.

2. Математика. 3 класс. Часть 2. / Л. Г. Петерсон – М.: Ювента, 2013 – с. 96.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как узнать, сколько раз по три содержится в семнадцати? Разделим семнадцать на три. В семнадцати пять раз содержится по три и ещё останется два.

Два – это остаток. Число не разделилось полностью, поэтому частное называют неполное.

При делении с остатком можно пользоваться рисунком.

Рисунок может быть не всегда удобным. Записывать деление с остатком можно в столбик или как ещё называют уголком.

Рассмотрим пример. Семнадцать надо разделить на три.

При записи уголком неполное делимое пятнадцать пишем под числом семнадцать, а неполное частное под делителем. Это число пять. Из семнадцати вычитаем пятнадцать останется два. Это остаток.

При делении с остатком результат записывают двумя числами: неполное частное и остаток.

Выполним тренировочные задания.

№ 1. Вставьте пропущенные числа:

59 : 8 = ___ (ост.___)

Ответ: 59 : 8 = 7 (ост.3)

№ 2. Соотнесите деление и результат.

24 : 5 4 (ост. 1)

13 : 3 3 (ост. 2)

17 : 5 4 (ост. 4)

Ответ: 24 : 5 = 4 (ост. 4)

13 : 3 = 4 (ост. 1)

17 : 5 = 3 (ост. 2)

№ 3. Решите задачу:

«Троим детям раздали 7 пирожных. Сколько получилось у каждого и сколько осталось?».

7 : 3 = 2 (ост. 1)

№ 4. Выделите цветом, какой остаток может быть при делении на 4:

Правильный ответ:

№ 5. Заполните таблицу:

Правильный вариант:

Деление | интернет проект BeginnerSchool.ru

Одним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что умножение мы можем представить, как сложение числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.

Деление можно представить, как многократное вычитание. Давайте рассмотрим этот вопрос поподробнее.

Рассмотрим картинку.

На картинке мы видим 12 яблок на блюде. Яблоки разделены на четыре группы по 3 яблока. Записать это можно так:

12 ÷ 4 = 3

Число, которое мы делим, называется делимым, число на которое мы делим, называется делителем, а результат деления называется частным. В нашем примере делимое 12, делитель 4, а частное 3.

Деление можно проверить умножением:

3 × 4 = 12

А также деление можно проверить, многократным вычитанием:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3, то получится ноль. Значит, 12 на 4 делится без остатка.

Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4.

Из рисунка видно, что при делении 13 яблок на 4 получился 3 и остаток – одно яблоко.

13 ÷ 4 = 3 (ост.1)

Проверим вычитанием:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое, 4 – делитель, а 3 – неполное частное, 1 – остаток от деления.

Теперь проверим умножением:

3 × 4 + 1 = 13

Основные правила деления

1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1:

а ÷ а = 1

То есть, если 5 груш надо разделить между пятью мальчиками, то каждому достанется по одной груше.

Пример:

8 ÷ 8 = 1

12 ÷ 12 = 1

3. Если делимое равно нулю , и частное будет равно нулю:

0 ÷ а = 0

То есть, если ничего разделить на что угодно, то и получится ничего.
Пример:

0 ÷ 9 = 0

0 ÷ 34 = 0

4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

а ÷ 1 = а

То есть, если у мальчика есть пять груш и он один, то ему достанутся все пять груш.

Пример:

6 ÷ 1 = 6

81 ÷ 1 = 81

В следующих статьях мы рассмотрим деление больших чисел, а также будет представлено несколько заданий для закрепления материала.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта”. Для этого пройдите, пожалуйста по ссылке.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

1.12. Правила деления. Логика. Учебное пособие

1.12. Правила деления

Существует несколько логических правил деления понятия. Нарушение хотя бы одного из них приводит к тому, что объем понятия не раскрывается, и деление не достигает своей цели, являясь неверным. Рассмотрим эти правила и ошибки, возникающие при их нарушении.

1. Деление должно проводиться по одному основанию, т. е. при делении понятия следует придерживаться только одного выбранного признака. Например, в делении: Люди бывают мужчинами, женщинами и учителями используются два разных основания – пол и профессия, что недопустимо. Ошибка, возникающая при нарушении этого правила, называется подменой основания. В делении с подменой основания может использоваться не только два разных основания, как в приведенном выше примере, но и больше. Например, в делении: Люди бывают мужчинами, женщинами, китайцами и блондинами, как видим, используются три различных основания – пол, национальность и цвет волос, что, конечно же, тоже является ошибкой.

2. Деление должно быть полным, т. е. надо перечислить все возможные результаты деления (суммарный объем всех результатов деления должен быть равен объему исходного делимого понятия). Например, деление: Учебные заведения бывают начальными и средними является неполным, т. к. не указан еще один результат деления – высшие учебные заведения. Но как быть, если надо перечислять не два или три, а десятки или сотни результатов деления. В этом случае можно употреблять понятия: и другие, и прочие, и так далее, и тому подобное, которые будут включать в себя не перечисленные результаты деления. Например: Люди бывают русскими, немцами, китайцами, японцами и представителями других национальностей.

3. Результаты деления не должны пересекаться, т. е. понятиям, представляющим собой результаты деления, следует быть несовместимыми, их объемы не должны иметь общих элементов (на схеме Эйлера круги, обозначающие результаты деления, не должны соприкасаться, располагаясь отдельно друг от друга). Например, в делении: Страны мира делятся на северные, южные, восточные и западные допущена ошибка – пересечение результатов деления. На первый взгляд приведенное в качестве примера деление кажется безошибочным: оно проведено по одному основанию (сторона света) и является полным (все стороны света перечислены). Чтобы увидеть ошибку в данном делении надо рассуждать так. Возьмем какую-нибудь страну, например, Канаду и ответим на вопрос – является ли она северной? Конечно, является, т. к. расположена в северном полушарии Земли. Теперь ответим на вопрос, является ли Канада западной страной? Да, потому что она расположена в западном полушарии Земли. Таким образом, получается, что Канада – одновременно и северная, и западная страна, т. е. она является общим элементом объемов понятий северные страны и западные страны, а значит, эти понятия, а вернее их объемы, пересекаются. То же самое можно сказать и относительно понятий южные страны и восточные страны. На схеме Эйлера результаты деления из нашего примера будут располагаться так:

Вспомним, каждая классификация построена таким образом, что любой элемент, попадающий в одну ее группу (часть, вид), ни в коем случае не попадает в другие. Это и есть следствие непересечения результатов деления или их взаимоисключения при составлении какой угодно классификации.

4. Деление должно быть последовательным, т. е. не допускающим пропусков и скачков. Рассмотрим следующее деление: Леса бывают хвойными, лиственными, смешанными и сосновыми. Явно лишним здесь выглядит понятие сосновые леса, в силу чего допущенная в делении ошибка напоминает подмену основания (см. первое правило). Однако основание в данном случае не менялось: деление было проведено по одному и тому же основанию – тип древесных листьев. Подмена основания присутствует в таком, например, делении: Леса бывают хвойными, лиственными, смешанными, подмосковными и таежными. (Деление проведено по двум разным основаниям – тип древесных листьев и географическое местонахождение леса). Вернемся к нашему первому примеру. Правильно было бы разделить леса на хвойные, лиственные и смешанные, а потом произвести второе деление – разделить хвойные леса на сосновые и еловые. Таким образом, надо было совершить два последовательных деления, а в приведенном примере второе деление пропущено, через него как бы перескочили, в результате чего два деления смешались в одно. Такая ошибка называется скачком в делении. Еще раз отметим, что скачок в делении не следует путать с подменой основания. Например, в делении: Учебные заведения бывают начальными, средними, высшими и университетами присутствует скачок, а в делении: Учебные заведения бывают начальными, средними, высшими и коммерческими допущена подмена основания.

Приведем еще несколько примеров правильного деления, а также – деления, в котором нарушены рассмотренные правила и допущены различные ошибки.

а) Транспорт бывает наземным, подземным, водным, воздушным, общественным и личным (подмена основания).

б) По темпераменту люди делятся на сангвиников, меланхоликов, флегматиков и холериков (пересечение результатов деления).

в) Геометрические фигуры делятся на плоские, объемные, треугольники и квадраты (скачок в делении).

г) Отбор в живой природе бывает искусственным или естественным (правильное деление).

д) Художественные романы бывают приключенческими, детективными, фантастическими, историческими, любовными и другими (пересечение результатов деления).

е) Запоминания бывают произвольными и непроизвольными (правильное деление – дихотомическое).

ж) Математические действия делятся на сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и нахождение логарифма (правильное деление).

з) Животные делятся на хищников, травоядных, всеядных и млекопитающих (подмена основания).

и) Энергия бывает механической и химической (неполное деление).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Правила деления дробей

Если требуется разделить некоторое число на простую дробь, следует умножить это число на обратную дробь.

Деление дроби на дробь

Допустим, надо разделить четыре восьмых на три двенадцатых, для этого следует обратить последнюю дробь в неправильную дробь двенадцать третьих и продолжить последующие арифметические действия.

Деление дроби на целое число

Для того чтобы разделит семь восьмых на два, последнюю нужно представить в виде неправильной дроби, которую в последствие обратить в одну вторую, чтобы продолжить последующую операцию умножения.

Деление смешанных дробей

Когда требуется разделить одну смешанную дробь на другую, сначала их следует преобразовать в неправильные дроби, после чего дробь, которая является делителем, обращают, для последующего умножения.

Деление целого числа на целое

Чтобы разделить два на один, эти цифры можно представить как неправильные дроби, а то число, которое является делителем перевернуть и продолжить последующие действия

.

Деление | Математика

Определить, сколько раз нужно взять слагаемым меньшее число 2, чтобы получить большее число 6, значит определить, сколько раз число 2 содержится в 6, или сколько раз число 6 содержит 2.

Число 2 содержится в 6 три раза, ибо, чтобы получить 6, нужно взять сумму трех равных слагаемых:

6 = 2 + 2 + 2

Найти, сколько раз число 2 содержится в 6, значит разделить 6 на 2.

Определение. Деление есть такое действие, в котором по двум данным числам определяют, сколько раз одно число содержится в другом.

Данные числа в делении называются делимым и делителем, искомое называется частным.

Делимое есть то число, которое содержит другое.

Делитель есть то число, которое содержится в другом.

Частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом.

В данном примере делимое есть 6, делитель 2, частное 3.

Разделить 6 на 2 значит также разбить 6 на 2 равных слагаемых и отыскать их величину. Число 6 представится при помощи двух равных слагаемых в виде:

6 = 3 + 3

Каждое из равных слагаемых называется частью делимого.

Посредством деления целых чисел также узнается, как велико каждое слагаемое, если делимое разобьется на столько равных слагаемых, сколько в делителе единиц.

В этом случае делимое есть то число, которое делится или разбивается на равные части. Делитель показывает, на сколько равных частей делится делимое. Частное показывает, сколько приходится на каждую часть.

Способы деления

Имея два числа 12 и 4, мы можем разделить 12 на 4 различными способами.

1. С помощью сложения мы можем определить, сколько раз нужно взять 4 слагаемым для того, чтобы получить в сумме 12. Так, взяв 4 слагаемым 3 раза, находим в сумме:

   4 + 4 + 4 = 12,

   следовательно, 4 содержится в 12 три раза.

2. С помощью вычитания определяем, сколько раз можно из большего числа 12 вычесть меньшее 4. При этом мы вычитаем делитель до тех пор, пока это возможно. Так, вычитая последовательно из 12 по 4, имеем:

   12 — 4 = 8
   8 — 4 = 4
   4 — 4 = 0

   Отсюда находим, что можно вычесть 4 из 12 ровно три раза.

   Деление есть сокращенное вычитание равных вычитаемых.

3. Наконец, посредством умножения, мы можем определить, на какое число нужно помножить 4, чтобы получить 12. Умножая последовательно 4 на 1, 2, 3, находим, что для того, чтобы получить 12, нужно 4 помножить на 3.

Различные случаи при делении

При делении целых чисел бывают два случая:

1. Разделяя 12 на 4, мы находим в частном 3. Делитель 4 содержится ровно 3 раза в делимом 12. Вычитая последовательно из 12 по 4, мы могли вычесть число 4 ровно три раза и не получили никакого остатка. В этом случае говорят, что деление совершилось нацело или без остатка. Умножив частное 3 на делитель 4, получаем делимое 12.

2. Разделяя 26 на 8, мы при последовательном вычитании получаем:

26 — 8 = 18
18 — 8 = 10
10 — 8 = 2

Далее нельзя продолжать вычитания, потому что из 2 нельзя вычесть делитель 8. Число 2 называют остатком.

Остаток всегда меньше делителя. В этом случае говорят, что деление не совершается нацело или деление совершается с остатком.

Разделяя 26 на 8, мы могли вычесть делитель 8 три раза, и у нас получился остаток 2. Число 3 мы будем называть целым частным. Целое частное есть не полное частное, ибо оно не выражает вполне, сколько раз меньшее число содержится в большем. Число 8 не содержится в 26 ровно 3 раза. В этом случае говорят: число 8 содержится в 26 три раза и еще получается остаток. Умножив делитель 8 на целое частное 3, мы не получим делимого 26, а число 24 — меньшее делимого. Чтобы получить делимое, нужно к этому произведению прибавить еще остаток 2.

Целое частное иногда называют просто частным.

Итак, при делении мы имеем два случая:

1. Деление нацело или без остатка. Когда делитель содержится в делимом ровное число раз, тогда деление совершается нацело или без остатка. Частное выражает, сколько раз делитель содержится в делимом. Делимое равно делителю, умноженному на частное. В этом случае деление есть действие в котором по данному произведению и одному из производителей находится другой производитель.

   Если дается произведение и множимое, отыскивают множитель, то есть число равных слагаемых; если дается произведение и множитель, отыскивают множимое, то есть величину равных слагаемых.

2. Деление с остатком. Когда делитель не содержится в делимом ровное число раз, тогда деление не совершается нацело, или деление совершается с остатком. Остаток всегда меньше делителя и делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.

При делении целых чисел делимое всегда уменьшается во столько раз, сколько в делителе единиц, поэтому деление есть действие, обратное умножению.

Знак деления

1. Действие деления изображается знаком двоеточия ÷, который ставится между делимым и делителем.

   Деление числа 6 на 2 изображают письменно:

   6 ÷ 2 = 3 частное.

2. Действие деления обозначается также начертанием |–, где вертикальная черта отделяет делимое, а горизонтальная делитель от частного.

   В данном примере имеем:

В нашем примере деление изображается письменно:

Знак деления прешел к нам от древних математиков.

Основные приемы при делении

Делить значит последовательно вычитать делитель из делимого, пока это возможно. Этот способ деления можно считать общим. Прием этот, однако, приводит к длинным вычислениям, если делимое очень велико, поэтому существуют различные сокращенные приемы деления.

Чтобы определить частное в том случае, когда оно выражается одной цифрой, прибегают к таблице умножения.

Чтобы разделить 27 на 3 мы пишем

Для частного выбираем такое число, чтобы, умножив делитель на частное, получить делимое. Чтобы найти цифру частного, мы пробуем умножать делитель на разные числа или, как обыкновенно говорят, задаемся разными числами, и сравниваем произвдение делителя на частное с делимым.

Разделяя 27 на 3 и перебирая в уме все произведения 3 на разные числа, содержащиеся в таблице умножения, находим, что произведение 3 × 9 составляет 27 и потому пишем в частном 9. Вычитая произведение делителя на частное из делимого, получаем в остатке нуль.

Само вычисление выражают письменно:

Деление совершилось нацело.

Иногда делитель не содержится в делимом ровное число раз; так, разделяя 27 на 4, мы не находим в таблице целого числа, которое, будучи помножено на 4, дало бы 27; тогда деление не совершается нацело.

Отыскивая целое частно, мы имеем при этом три случая:

1. Или мы задаемся очень малым числом; так, для данного примера, задавшись в частном 5 и умножив 4 на 5, имеем 20. Подписав произведение 20 под делимым и вычитая из 27, имеем:

   в остатке число 7 больше делителя 4. Это показывает, что частное 5 мало и его нужно увеличить.

2. Или, взяв для частного 7 и умножив его на делителя 4, получаем произведение 28 больше делимого, что показывает, что мы задались в частно очень большим числом. В таком случае нужно уменьшить цифру частного 7.

3. Взяв для частного 6, мы ход вычисления выражаем письменно:

   словесно: 4 в 27 содержится 6 раз, 4 * 6 = 24, подписываем 24 под делимым, вычитаем и получаем остаток 3. Остаток 3 меньше делителя, следовательно, цифра частного верна. Отсюда выводим следующее:

Правило определения частного:

1. Если при делении остаток более или равен делителю, цифра частного мала и ее нужно увеличить.

2. Если произведение делителя на частное больше делимого, цифра частно велика и ее нужно уменьшить.

3. Если остаток меньше делителя, цифра частного верна.

Это правило показывает, что при делении нужно для частного выбирать такое число, чтобы остаток был меньше делителя. Задаваться так, значит задаваться наибольшим целым числом.

В данном примере 27 не делится нацело на 4, а получается остаток 3; число 6 есть целое частное и

27 = 4 × 6 + 3 = 24 + 3

Делимое 27 равно произведению делителя 4 на целое частное 6, сложенному с остатком 3.

Деление многозначного числа на однозначное

Частное от деления многозначного числа на однозначное иногда выражается числом, состоящим также из нескольких цифр. В этом случае деление распадается на несколько отдельных действий.

Разделим 702 на 3. Частное содержит три цифры. Оно больше 100 и меньше 1000, ибо делимое больше 300 (3 × 100) и меньше 3000 (3 × 1000). Включая три цифры, частное содержит сотни, десятки и единицы. В данном случае разбиваем деление на три отдельных действия, то есть отыскиваем последовательно сотни, потом десятки и, наконец, единицы частного. Самое действие начинаем с сотен.

1. Отыскиваем сотни частного. Цифра сотен частного может происходить от деления сотен делимого на делитель 3. Десятки и единицы делимого не имеют никакого влияния на сотни частного, поэтому на них пока не обращаем внимания. Наибольшее число сотен в частном есть 2, ибо 3 содержится в 7 сотнях 2 сотни раз; пишем в частном 200. Умножая 200 на 3 и вычитая произведение 600 из делимого, получаем первый остаток 132.

2. Отыскиваем десятки частного. В остатке 132 находится 12 десятков. Единицы делимого не имеют влияния на десятки частного. Разделив 13 на 3, находим, что в частном могут быть только 4 десятка, — пишем 40 в частном. Умножая 40 на 3 и вычитая произведение 120, получаем в остатке 12.

3. Отыскиваем единицы частного. Разделив 12 на 3, находим для единиц частного 4. Умножая 4 на 3 и вычитая произведение 12, получаем в остатке 0.

Если не писать каждый раз лишних нулей и принимать в соображение только те цифры делимого, которые имеют влияние на частное, деление изобразится письменно:

словесно:

1. Отделяем 7 — одну цифру делимого; 3 в 7 содержится 2 раза, — пишем в частном 2; умножая на нее делителя 3 и вычитая произведение 6 из 7, получаем первый остаток 1.

2. Сносим 3 — следующую цифру делимого; 3 в 13 содержится 4 раза, 3-жды 4 составляет 12; вычитая 12 из 13, получаем в остатке 1.

3. Сносим 2 следующую цифру делимого; 3 в 12 содержится 4 раза, пишем в частном 4; 3-жды 4 составляет 12. Вычитая 12, получаем в остатке нуль и в частном 244.

Пример. Разделить 2417 на 3. Ход вычисления выразится письменно:

словесно:

1. Отделив одну цифру 2, мы видим, что 3 в 2 не содержится целое число раз, поэтому нужно отделить две цифры; 3 в 24 содержится 8 раз, — пишем 8 в частном. Умножив 8 на делителя 3 и вычитая произведение 24, получаем в остатке нуль.

2. Сносим следующую цифру 1; 3 в 1 не содержится, — пишем в частном нуль.

3. Сносим следующую цифру 7; 3 в 17 содержится 5 раз, — пишем в частном 5; 3-жды 5 составляет 15; вычитая 15 из 17, получим в остатке 2 и целое частное 805.

Деление многозначного числа на многозначное

При делении многозначного числа на многозначное поступаем точно так же, как поступали при делении многозначного числа на однозначное.

Разделяя число 37207 на 47, мы прежде всего определяем, из скольких цифр состоит частное. Частное меньше 1000 и больше 100, ибо 37207 меньше 47000 (47 × 1000) и больше 4700 (47 × 100), следовательно, частное состоит из сотен, десятков и единиц. Начиная с сотен, мы определяем каждую цифру частного отдельно:

1. Определяем сотни частного:

   Делимое 37207 имеет 372 сотни. Десятки и единицы делимого не имеют влияния на цифру сотен частного. В частном может быть только 7 сотен, ибо 47 содержится в 372 семь раз; пишем в частном 700.

   Умножая делитель на частное и вычитая из делимого, получаем первый остаток 4307.

2. Определяем десятки частного:

   Остаток 4307 содержит 430 десятков. Единицы не имеют влияния на цифру десятков частного. Делитель 47 содержится в 430 девять раз; пишем в частном 90.

   Умножая 90 на частное 47 и вычитая произведение 4330, получаем в остатке 77.

3. Определяем единицы частного:

   47 содержится в 77 один раз. Пишем в частном 1 и, вычитая из 77 произведение единицы на делитель, получаем в остатке 30.

Итак, после деления имеем в целом частном 791 и в остатке 30.

Если не писать каждый раз лишних нулей и принимать в соображение только те цифры делимого, которые имеют влияние на частное, ход вычисления изобразится письменно:

словесно:

1. Отделяем в делимом от левой руки к правой столько цифр, чтобы делитель мог содержаться в отделенной части делимого. В данном случае отделяем 3 цифры, 47 содержится в 372 семь раз; умножаем делитель 47 на 7, цифру частного, и, вычитая произведение 47 × 7 = 329 из 372, получаем в остатке 43.

2. К остатку 43 сносим 0, следующую цифру делимого; 47 содержится в 430 девять раз, пишем в частном 9. Умножая 47 на 9 и вычитая произведение 423 из 430, получаем остаток 7.

3. Сносим к остатку следующую цифру частного 7; 47 содержится в 77 один раз. Пишем единицу в частном.

Умножая ею делитель и вычитая 47 из 77, получаем в остатке 30 и в целом частно 791.

Пример. Разделить 671064 на 335. Деление изобразится письменно:

словесно:

1. Отделяем 671 в делимом; 335 содержится в 671 два раза, пишем в частном 2. Умножая 335 на 2 и вычитая произведение 670, получим в остатке 1.

2. Сносим 0, следующую цифру делимого; 335 не содержится в 10, — пишем для второй цифры частного 0.

3. Сносим 6, следующую цифру делимого; 335 не содержится в 106, — пишем для третьей цифры частного 0.

4. Сносим следующую цифру делимого 4; 335 содержится в 1064 три раза, — пишем в частном 3. Умножая делитель на 3 и вычитая произведение, получим в остатке 59 и в целом частном 2003.

Из предложенных примеров выводим следующее правило:

1. Чтобы разделить многозначное число на однозначное или многозначное, нужно отделить в делимом от левой руки к правой столько цифр, сколько их находится в делителе. Если делитель не содержится, отделяют в делимом одной цифрой больше. Разделив отделенное число на делитель, получают первую цифру частного, умножают ей делитель и полученное произведение вычитают из отделенной части делимого.

2. К остатку сносят следующую цифру делимого и снова задаются.

3. Если при этом получается число меньше делителя, пишут в частном нуль, сносят следующую цифру и снова задаются.

4. Получив новую цифру частного, поступают с нею так же, как и с первой цифрой.

5. Деление продолжают до тех пор, пока не снесут всех цифр делимого и не получат таким образом всех цифр частного.

Всякий раз, когда приходится делить, нужно задаваться в частном такою цифрой, чтобы остаток был меньше делителя. Чтобы легче найти такую цифру частного, при делении многозначного числа на многозначное обращают внимание на одну или две старшие цифры делителя и задаются только ими в соответствующей части делимого. При этом в делимом и в делителе отделяют от правой руки к левой одинаковое число цифр. Так, определяя, сколько раз содержится 6373 в 27302, мы задаемся четырьмя, ибо 6 в 27 содержится 4 раза.

Полученная при этом цифра частного будет или равна или больше действительной. В последнем случае ее нужно уменьшить.

Иногда при делении не подписывают произведение цифры частного на делитель, а, подразумевая его в уме, подписывают один остаток. Сокращая таким образом деление, изображают его письменно:

словесно:

1. 8 в 43 содержится 5 раз; 5-ю 8 — сорок. Вычитая 40 из 43, получаем в остатке 3.

2. Сносим 2; 8 в 32 содержится 4 раза; 4-жды 8 составляет 32. Вычитая 32, получим в остатке нуль.

3. Сносим 8; 8 в 8-ми содержится 1 раз, 1-жды 8 составляет 8. Вычитая 8, получаем в остатке нуль и в частном 541.

Деление на 10, 100, 1000 и т. д.

Разделяя число на 10, мы десятки делимого обращаем в единицы, сотни в десятки, тысячи в сотни, вообще понижаем на единицу все порядки делимого. Этого мы достигаем, отделяя запятою цифру единиц. Число до запятой будет выражать частное, а после запятой — остаток.

Разделяя на 100, мы понижаем все порядки делимого на две единицы, для чего отделяем запятою от правой руки к левой две цифры и т. д. Отсюда правило:

Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с нулями, нужно от правой руки к левой отделить столько цифр, сколько нулей в делителе; тогда число до запятой выражает целое частное, а после запятой — остаток.

Пример. Разделяя 30207 на 100. Отделяя справа 2 цифры, находим 302,07. Целое частное будет 302, а остаток 7.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Разделяя число 27057 на 400 и поступая при этом по общему правилу

мы замечаем, что две последние цифры делимого не оказывают никакого влияния на частное. Они являются в остатке без всякой перемены. Откуда правило:

Если делитель оканчивается нулями, отделяют в делимом запятою от правой руки к левой столько цифр, сколько зачеркнуто нулей в делителе, и делят часть делимого до запятой на значащие цифры делителя. Отделенные цифры делимого приписывают к остатку.

В данном примере деление представится в виде

f

Если делимое и делитель оканчиваются нулями, их зачеркивают поровну в делимом, делителе и производят деление; зачеркнутые нули делимого приписывают к остатку.

Чтобы разделить 27300 на 4100, делим 273 на 41:

Частное будет 6, а остаток 2700.

Число цифр частного. При делении отделяют в делимом от левой руки к правой столько цифр, сколько их находится во делителе, или одною больше. Каждой оставшейся цифре делимого соответствует особая цифра частного, следовательно, число цифр частного будет равно или разности числа цифр делимого и делителя или на единицу больше этой разности.

Зависимость между данными и искомыми деления

При делении целых чисел мы имеем два случая: а) деление нацело, или без остатка, и б) деление с остатком.

Каждому из этих случаев соответствует особая зависимость между данными и искомыми деления.

Деление нацело или без остатка

При делении нацело

1. Частное равно делимому, разделенному на делитель.

   Разделяя 42 на 7, имеем в частном 6; следовательно,

   42 ÷ 7 = 6, или 6 = 42 ÷ 7

2. Делимое равно делителю, умноженному на частное.

   42 = 6 × 7

3. Так как делитель и частное — два множителя, произведение которых равно делимому, то делитель равен делимому, разделенному на частное.

   7 = 42 ÷ 6

Деление с остатком

При делении с остатком

1. Делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.

   При делении 47 на 6, имеем в целом частном 7, в остатке 5.

   Делимое 47 = 6 × 7 + 5.

2. Делимое без остатка делится нацело на делитель и на целое частное.

Разность делимого без остатка равна произведению делителя на целое частное, то есть эта разность при делении на делитель дает целое частное, при делении на целое частное дает делитель.

Исчисление I — Правило произведения и частного

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Правило о продукте и соотношении

В предыдущем разделе мы отметили, что должны быть осторожны при дифференцировании продуктов или коэффициентов. Пришло время взглянуть на продукты и коэффициенты и понять, почему.3} — x} \ right) \ left ({10 — 20x} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

На данный момент действительно не так много причин для использования правила продукта. Как мы отметили в предыдущем разделе, все, что нам нужно сделать для любого из них, — это просто умножить произведение, а затем дифференцировать.

С учетом сказанного мы будем использовать для них правило продукта, чтобы увидеть один или два примера. По мере того, как мы добавляем больше функций в наш репертуар и по мере того, как функции становятся более сложными, правило продукта станет более полезным и во многих случаях необходимым.2}} \ right) \) Показать решение

Обратите внимание, что мы взяли производную от этой функции в предыдущем разделе и не использовали правило продукта на этом этапе. Однако здесь мы должны получить тот же результат, что и тогда.

А теперь давайте займемся проблемой. 2}} \ right) \]

Теперь возьмем производную.2} + 40x — 10 \ end {align *} \]

Поскольку это было легко сделать, мы пошли дальше и немного упростили результаты.

Давайте теперь поработаем пару примеров с правилом частного. В этом случае, в отличие от примеров правил произведения, для пары из этих функций потребуется правило частного, чтобы получить производную. Однако в отношении последних двух мы можем избежать правила частного, если захотим, как мы увидим.

Пример 2 Различайте каждую из следующих функций.6}}} \) Показать решение

Кажется странным иметь этот здесь, а не быть первой частью этого примера, учитывая, что он определенно кажется проще, чем любой из двух предыдущих. На самом деле так проще. Есть смысл сделать это здесь, а не сначала. В этом случае есть два способа вычислить эту производную. Есть простой и трудный путь, и в этом случае трудный путь — это правило частного. В этом суть этого примера.

Давайте воспользуемся правилом частного и посмотрим, что у нас получится.7}}} \]

Так вот, это был «трудный» путь. Итак, что в этом было такого сложного? Что ж, на самом деле это было не так сложно, просто есть более простой способ сделать это, вот и все. Однако при этом распространенной ошибкой здесь является неправильное определение производной числителя (константы). По какой-то причине многие люди в подобных задачах будут указывать производную числителя как 1 вместо 0! Кроме того, есть некоторые упрощения, которые необходимо сделать в такого рода задачах, если вы используете правило частного.5} \]

Наконец, давайте не будем забывать о наших приложениях деривативов.

Пример 3 Предположим, что количество воздуха в воздушном шаре в любой момент времени \ (t \) определяется выражением

\ [V \ left (t \ right) = \ frac {{6 \ sqrt [3] {t}}} {{4t + 1}} \]

Определите, наполняется ли баллон воздухом или из него выходит воздух при \ (t = 8 \). \ prime} h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘\]

Обратите внимание, что мы помещаем скобки в часть \ (f \, g \), чтобы прояснить, что мы думаем об этом термине как об одной функции.\ prime} = \ left [{f ‘\, g + f \, g’} \ right] h + \ left [{f \, g} \ right] h ‘= f’ \, g \, h + f \, g ‘\, h + f \, g \, h’ \]

Любое правило продукта с большим количеством функций может быть получено аналогичным образом.

С помощью этого и предыдущего разделов мы теперь можем различать степени \ (x \), а также суммы, разности, произведения и частные этих видов функций. Однако в мире есть гораздо больше функций, которые не представлены в этой форме. В следующих нескольких разделах описаны многие из этих функций, а также их производные.

Комбинаторика

— Как легко объяснить правило деления в задаче счета?

Я всегда слышал это как:

Чтобы подсчитать количество коров на вашем поле, сначала подсчитайте количество ножек , а затем разделите на четыре.

(Не уверен, кому это приписать.)

Обычный пример — подсчет количества подмножеств размера $ k $ из $ n $ элементов. В качестве первой попытки мы можем посчитать их, выбирая по порядку $ k $ элементов.Сначала мы выбираем любой из $ n $ элементов, затем любой из оставшихся $ n-1 $ элементов и продолжаем, выбирая $$ n \ cdot (n-1) \ cdots (n- k +1) $$. Но мы здесь перерасчитали, так как подмножества неупорядоченных . Каждое подмножество $ S \ substeq \ {1,2, \ ldots, n \} $ размера $ k $ будет подсчитано ровно $ k! $ Раз в приведенном выше выражении. Таким образом, количество подмножеств размера $ k $ равно $$ {n \ choose k} = \ frac {n (n-1) \ cdots (n-k + 1)} {k!}. $$ Каждая «корова» (подмножество $ S \ substeq \ {1,2, \ ldots, \} $ размера $ k $) имеет ровно $ k! $ «ног» (порядок $ S $).

Я знаю, что вы не сказали никаких математических терминов, поэтому можете проигнорировать эту часть, если хотите. Допустим, вы хотите посчитать размер набора $ Y $, но это немного сложно посчитать. Вместо этого вы подсчитываете набор $ X $ и находите сюръективную функцию $ f: X \ rightarrow Y $. Если $ f $ равняется $ m $ однозначно, так что для каждого $ y \ in Y $ существует ровно $ m $ элементов $ x \ in X $, так что $ f (x) = y $. Тогда у нас будет $$ | Y | = | X | / м. $$

Это можно увидеть биективно: я утверждаю, что существует биекция $ \ phi: X \ rightarrow Y \ times \ {1,2, \ ldots, m \} $.Тогда будет $ m | Y | = | X | $. Чтобы получить биекцию $ \ phi $, мы просто используем $ f $, но отслеживаем, каков был наш ввод, чтобы мы могли вернуться назад. Для удобства разместите заказ на $ X $. Тогда пусть $ \ phi (x) = (y, i) $, где $ y = f (x) $ и $ x $ — это $ i $ -й элемент $ X $, который отображается в $ Y $. Упражнение: show $ \ phi $ — это биекция.

В приведенном выше примере мы пусть $ Y $ — это множество всех подмножеств размера $ k $ из множества $ \ {1,2, \ ldots, n \} $, и пусть $ X $ — множество упорядоченных устанавливает $ (x_1, x_2, \ ldots, x_k) $ элементов $ X $ без повторения.Затем определите $ f: X \ rightarrow Y $, чтобы отобразить упорядоченный набор $ (x_1, \ ldots, x_k) $ в неупорядоченный набор $ \ {x_1, \ ldots, x_k \} $. Для каждого набора $ S \ in Y $ существует ровно $ k! $ Порядков $ S $, поэтому отображение $ f: X \ rightarrow Y $ равно $ k! $ — единице. например, $ (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) $ все отображаются в одно и то же множество $ \ {1,2,3 \} $.

Правило продукта, правило частного и правила мощности — подготовка к оценке TSI

Показатели используются для отображения повторного умножения. Например, 4 ³ означает 4 · 4 · 4 = 64.

В этом разделе мы рассмотрим основные правила экспонент.

Правило произведения экспонентов a ^m a ⁿ = a ^{m + n}

При умножении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием складывайте экспоненты.

Пример :

Умножить: 4x ³ · −6x ²

Решение :

Коэффициенты умножения: 4 · −6 = −24

Используйте правило произведения для умножения переменных: x ³ · x ² = x ^{3 + 2} = x ⁵

4x ³ · −6x ² = −24x ⁵

Частное правило экспонент

При делении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием вычитайте экспоненты.

Пример :

Упростить:

Решение :

Коэффициенты деления: 8 ÷ 2 = 4

Используйте правило частного для разделения переменных:

Правило степени экспонент (a ^m ) ⁿ = a ^mn

При возведении экспоненциального выражения в новую степень умножьте экспоненты.

Пример :

Упростить: (7a ⁴ b ⁶ ) ²

Решение :

Каждый множитель в скобках должен быть возведен в степень 2 ^и :

(7a ⁴ b ⁶ ) ² = 7 ² (a ⁴ ) ² (b ⁶ ) ²

Упростите, используя правило степени экспонент:

(7a ⁴ b ⁶ ) ² = 7 ² (a ⁴ ) ² (b ⁶ ) ² = 49a ⁸ b ¹² 9000

Правило частного: формула и примеры — видео и стенограмма урока

Мнемоническое устройство

Формулу правила частного может быть трудно запомнить.Возможно, вам поможет небольшое пение в стиле йодлинг. Представьте себе лягушку, которая йодит: «LO dHI меньше HI dLO над LO LO». В этом мнемоническом устройстве LO относится к функции знаменателя, а HI относится к функции числителя.

Давайте снова переведем йодль лягушки в формулу для правила частного.

LO dHI означает знаменатель, умноженный на производную числителя: g ( x ) умноженный на df ( x ).

минус означает «минус».

HI dLO означает умножение числителя на производную знаменателя: f ( x ) умноженное на dg ( x ).

больше означает «разделить на».

LO LO означает, что умножить на знаменатель: г ( x ) в квадрате.

Примеры

Давайте рассмотрим несколько примеров, в которых мы должны применить правило частного.

В первом примере возьмем производную от следующего частного:

Давайте определим функции для формулы правила частного и мнемонического устройства.2 — 1. dg ( x ) или dLO , это 2 x .

Теперь мы можем расположить эти части в формуле или мнемоническом устройстве, чтобы найти производную, которая, как вы можете видеть, выглядит так:

Затем вы можете умножить члены в числителе и объединить похожие члены, чтобы получить окончательную производную, которая, как вы можете видеть, составляет:

Рассмотрим другой пример.3 в числителе, а затем уменьшите дробь, чтобы получить окончательную производную, которая, как видите, равна:

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы только что узнали в этом уроке:

Правило частного — это формула для получения производной частного от двух функций. Формула:

Легкий способ запомнить формулу — воспользоваться мнемоническим устройством: LO dHI меньше HI dLO над LO LO. {m-n} [/ latex]

Пример 2: Использование правила частного

Запишите каждый из следующих продуктов одной базой.{3}} [/ латекс]

Решение

Правило частного — объяснение и примеры

Существует множество так называемых «сокращенных» правил для поиска производной функции. Правило частного — это правило, используемое для нахождения производной функции, которую можно записать как частное двух функций. Проще говоря, вы можете думать о правиле частного как о применении к функциям, которые записываются как дроби, где числитель и знаменатель сами являются функциями.

реклама

Содержание:

1. Правило
2. Запоминание правила частного
3. Примеры использования правила частного
4. Подсказки: экономия работы за счет упрощения в первую очередь

Формула правила частного

Для функций f и g с использованием простых чисел для производных формула:

Вспоминая правило частного

Вы, конечно, можете просто запомнить правило частного и настроиться на поиск производных, но вам может быть легче запомнить шаблон .Это показано ниже.

Примеры

Естественно, лучший способ понять, как использовать правило частного, — это посмотреть на несколько примеров. Обратите внимание, что в каждом из приведенных ниже примеров этап вычисления выполняется намного быстрее, чем последующий этап алгебры. Это верно для большинства вопросов, где вы применяете правило частного. Чтобы получить окончательный ответ, вам часто придется немного упростить.

Пример

Найти производную функции:
\ (f (x) = \ dfrac {x-1} {x + 2} \)

Решение

Это дробь, включающая две функции, поэтому сначала мы применяем правило частного.3}} \ end {align} \)

В приведенном выше примере помните, что производная константы равна нулю. Вот почему в ответе больше нет \ (\ dfrac {1} {5} \).

Неплохо, правда? Для практики вам следует попробовать применить правило частного и убедиться, что вы получили тот же ответ.

объявление

Продолжить изучение деривативов

Предыдущая: Правило продукта
Следующая: Цепное правило

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Найдите производный инструмент, используя правило частного

Быстро! Мне нужна помощь с:
Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производное вычисление, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех сложных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from pointLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов Многочлены, Факторинг триномов Полиномы, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение продуктов , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

.