Умножение и деление целых чисел

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Необходимо также изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволит избежать некоторых досадных ошибок в будущем.

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например, в выражении 3 × 2 = 6, число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:

Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.

Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

3 × 5 = 15

Теперь поменяем местами сомножители:

5 × 3 = 15

В обоих случаях мы получаем ответ 15, поэтому между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

А с помощью  переменных переместительный закон умножения можно записать так:

a × b = b × a

где a и b — сомножители

Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

24 = 24

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

0 × 2 = 0

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.

Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

0 × 2 = 2 × 0

0 = 0

Примеры применения закона умножения на ноль:

5 × 0 = 0

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5  × 0 × 9  × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Теперь рассмотрим самó умножение целых чисел.

Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают короче:  −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

2 × 3 = 6

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно решение записывают покороче:

12 × (−5) = −60

Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Запишем решение покороче:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

4 × (−2)

Заключим его в скобки:

( 4 × (−2) )

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) )

Всё это приравняем к нулю:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

−8 + … = 0

Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

−8 + 8 = 0

Пример 5. Найти значение выражения  −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число  −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

−12 + (−8) = −20

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Запишем решение покороче:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Запишем решение покороче:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4,  8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Далее рассмотрим законы деления.

На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль.

Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10 : 5 = 2

Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6

12 : 6 = 2

Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

5 × 0 = 0

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

0 : 0 = 5

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

0 : 0 = 2

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

… × 2 = 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

8 : 2 = 4

Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:

4 × 2 = 8

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

… × 0 = 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

,  при b ≠ 0

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.

Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

12 : 4 = 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12 : 4) : (4 : 4)

(12 : 4) : (4 : 4) = 3 : 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.

Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.

12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

Обычно записывают покороче:

12 : (−2) = −6

Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.

−24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

Запишем решение покороче:

−24 : 6 = −4

Пример 3. Найти значение выражения −45 : (−5)

Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

−45 : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

Запишем решение покороче:

−45 : (−5) = 9

Пример 4. Найти значение выражения −36 : (−4) : (−3)

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3

Первое действие:

−36 : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

Второе действие:

9 : (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

Запишем решение покороче:

−36 : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Порядок решения примеров с умножением и делением. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий
.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок
:

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени
называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени
.

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками
, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2:3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

cleverstudents.ru

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Post navigation

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 — 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Порядок действий в математике 4 класс

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37
(при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)

17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)

24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

detskoerazvitie.info

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Цель:
1.

2.

3. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 – 6, понятия делителя и

4. Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование
* : + — (),
геометрический материал.

Раз, два – выше голова.

Три, четыре – руки шире.

Пять, шесть – всем присесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

Но сначала придется узнать его название. Для этого нужно выполнить несколько заданий:

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 дм 5 см… 4 дм 5 см

Пока мы вспоминали о порядке действий в выражениях, с замком происходили чудеса. Мы были только что у ворот, а теперь попали в коридор. Смотрите, дверь. А на ней замок. Откроем?

1. Из числа 20 вычесть частное чисел 8 и 2.

2. Разность чисел 20 и 8 разделить на 2.

— Чем отличаются результаты?

— Кто сможет назвать тему нашего урока?

(на массажных ковриках)

По дорожке, по дорожке

Скачем мы на правой ножке,

Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,

Наше предположение было полностью правильно7

Где выполняются действия сначала, если в выражении есть скобки?

Смотрите перед нами «живые примеры». Давайте «оживим» их.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k: b + (a – c) * t

6. Работа в парах.

Для их решения вам понадобиться геометрический материал.

Учащиеся выполняют задания в парах. После выполнения проверка работы пар у доски.

Что нового вы узнали?

8. Домашнее задание.

Тема: Порядок действий в выражениях со скобками.

Цель:
1.
Вывести правило порядка действий в выражениях со скобками, содержащих все

4 арифметических действия,

2.
Формировать способность к практическому применению правила,

4.Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование
: учебник, тетради, карточки со знаками действий * : + — (),
геометрический материал.

1
.Физминутка.

Девять, десять – тихо сесть.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы с вами отправляемся в очередное путешествие по стране Знаний городу математика. Нам предстоит посетить один дворец. Что-то я забыла его название. Но не будем расстраиваться, вы сами сможете мне подсказать его название. Пока я переживала, мы подошли к воротам дворца. Войдем?

1. Сравните выражения:

2. Расшифруй слово.

3. Постановка проблемы. Открытие нового.

Так как же называется дворец?

А когда в математике мы говорим о порядке?

Что вы уже знаете о порядке выполнения действий в выражениях?

— Интересно, нам предлагают записать и решить выражения (учитель читает выражения, учащиеся записывают их и решают).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Молодцы. А что интересного в этих выражениях?

Посмотрите на выражения и их результаты.

— Что общего в записи выражений?

— Как вы думаете, почему получились разные результаты, ведь числа были одинаковые?

Кто рискнет сформулировать правило выполнения действий в выражениях со скобками?

Правильность этого ответа мы сможем проверить в другой комнате. Отправляемся туда.

4. Физминутка.

И по этой же дорожке

До горы мы добежим.

Стоп. Немножко отдохнем

И опять пешком пойдем.

5. Первичное закрепление изученного.

Вот мы и пришли.

Нам нужно решить еще два выражения, чтобы проверить правильность нашего предположения.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Для проверки правильности предположения откроем учебники на стр. 33 и прочитаем правило.

Как нужно выполнять действия после решения в скобках?

На доске написаны буквенные выражения и лежат карточки со знаками действий * : + — ().
Дети выходят к доске по одному, берут карточку с тем действием, которое нужно сделать сначала, потом выходит второй ученик и берет карточку со вторым действием и т. д.

а + (а –в)

а * (в +с) :
d
–
t

m
–
c
* ( a
+
d
) +
x

k
:
b
+ ( a
–
c
) *
t

(a – b)
:
t + d

6. Работа в парах.

Знание порядка действий необходимо не только для решения примеров, но и при решении задач мы тоже сталкиваемся с этим правилом. Сейчас вы в этом убедитесь работая в парах. Вам нужно будет решить задачи из № 3 стр. 33.

7. Итог.

По какому дворцу мы с вами сегодня путешествовали?

Вам понравился урок?

Как нужно выполнять действия в выражениях со скобками?

• Можно ли оформить договор купли-продажи квартиры, купленной за материнский капитал?
  В настоящей момент каждой семье, в которой родился или которая усыновила второго ребенка, государство предоставляет возможность […]
• Особенности бухгалтерского учета субсидий
  Государство стремится поддержать малое и среднее предпринимательство. Такая поддержка наиболее часто выражается в форме предоставления субсидий – безвозмездных выплат из […]
• Работа вахтой в Москве — свежие вакансии прямых работодателей
  логистические компании;
  склады;
  Дополнительный плюс работы вахтовым методом заключается в том, что работник получает от компании проживание (в […]
• Ходатайство об уменьшении размера исковых требований
  Один из видов уточнения иска — ходатайство об уменьшении размера исковых требований. Когда истец неправильно определил цену иска. Или ответчик частично исполнил […]
• Как правильно париться в бане
  Банная процедура с парением — это целая наука. Основные правила парильщика:
  не торопиться, наибольшее удовольствие от бани — когда можно не спеша несколько раз зайти в парилку с […]
• Школьная Энциклопедия
  Nav view search
  Login Form
  Законы Кеплера о движении планет
  Подробности Категория: Этапы развития астрономии Опубликовано 20.09.2012 13:44 Просмотров: 25396
  «Он жил в эпоху, когда ещё не […]

Примеры со скобками, урок с тренажерами. — Kid-mama

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий  в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи. 

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем  все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

Перейти на страницу  с тренажером

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

Перейти на страницу  с тренажером

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий  полученные результаты.  Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

 Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

Перейти на страницу  с тренажером

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Перейти на страницу  с тренажером

Письменное умножение и деление

Большие числа удобно перемножать и делить письменно в столбик. Письменное умножение — это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Правило. При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».

Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку. При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый множитель умножаем на каждое из слагаемых).

Пример.
1 014 * 258 = 261 612
1 014 * 258 = 1 014 * (200 + 50 + 8) = 1 014 * 200 + 1 014 * 50 + 1014 * 8 = 202 800 + 50 700 + 8 112 = 261 612

Чтобы перемножить в столбик числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя

.

Например: 1 014 * 258 = 261 612

•      1014   — первый множитель
• Х
•        258   — второй множитель
• ———      поэтапные произведения:
•      8112   — слагаемое (первое произведение)
• + 5070    — слагаемое (второе произведение)
•   2028      — слагаемое  (третье произведение)
• ———
•   261612  — сумма (результат умножения)

Примеры записи умножении чисел, оканчивающихся нулями.

•       450
• Х
•       270
• ———
•    315       (45 * 7 = 315)
• +
•    90         (45 * 2 = 90)
• ———
•  121500

Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.

Правильная запись:

Неправильная запись

Письменное деление многозначных натуральных чисел осуществляется и в строку, и в столбик по этапам.

Правило. При письменном делении двух натуральных чисел слева записывается делимое, а справа от него через вертикальную черту — делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записывается разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно. Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого. Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

Частное по разрядам (от большего к меньшему) записывается под горизонтальной чертой под делителем. В частном должно быть столько же разрядов, сколько этапов деления.

Рассмотрим пример: 12 546 : 82
Производим деление первого этапа. Множитель (1) записываем как высший разряд частного. Вычисляем разность делимого и произведения первого этапа деления (125 — 82 = 43) и дописываем к ней справа один разряд из делимого, который стоит после наименьшего разряда числа, взятого для первого этапа деления. Полученное число (434) служит делимым второго этапа
деления.

Делимое второго этапа делим на делитель (434 : 82), определяем следующий разряд в частном (5) и остаток после второго этапа деления (24). Дописываем к остатку следующий разряд делимого и выполняем третий этап деления (246 : 82). Определяем третье число в частном (3) и остаток (0).

Деление окончено после третьего этапа, следовательно, в частном — трех разрядное число (153).

Проще такое деление производить в столбик также в три этана (деление углом — это тоже поэтапное деление):

Делимое кратно 82, так как разделилось без остатка.

Основное свойство частного

Правило. Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то их частное не изменится.

Например:
12 : 4 = 3

умножим делимое и делитель на 5, получим:
60 : 20 = 3

Например:
625 : 125 = 5
разделим делимое и делитель на 25, получим:
125 : 5 = 5

Таблица умножения (примеры на умножение и деление)

Описание

Таблица умножения (примеры на умножение и деление)  — это одна из важных составляющих в изучении математики, которая является базой для последующего решения различных заданий. Именно поэтому нужна практика, которая поможет развить внимательность и закрепить навыки устного счета примеров на таблицу умножения учеников начальных классов. На данном этапе также важно довести навык выполнения арифметических действий с числами до автоматизма.

Программа представляет собой тренажер для счета. С помощью генератора примеров можно создать и распечатать готовые примеры на умножение и деление вразброс для детей 1-2 класса. Причем, в зависимости от потребности, можно сформировать карточки только на умножение, деление или смешанные примеры.

Программа написана в Excel с помощью макросов. Формируется примеры: 6 столбиков по 40 примеров на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено.

Генератор примеров по математике будет очень удобен как для родителей, так и для учителей. Не нужно заранее покупать задачники и пособия по математике с примерами. Можно скачать файл и сгенерировать карточки в любое время независимо от подключения к интернету и распечатать.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.
Чтобы выучить таблицу умножения, можно скачать карточку с примерами для заучивания и проверки своих знаний.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

 Также есть программы, в которых можно выбрать уровень сложности. В них можно начать с решения легких примеров, а затем перейти к более сложным.

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

3000 примеров по математике для 2 класса. Табличное умножение и деление

Автор Administrator На чтение 2 мин. Опубликовано 12.04.2016

Три тысячи примеров от практикующего педагога Узоровой О. помогут второклассникам выучить математику «на отлично». Всевозможные случаи деления и умножения, дух соревновательности, насыщенность и простота заданий делают сборник привлекательным для маленьких учеников.

Три тысячи примеров от практикующего педагога Узоровой О. помогут второклассникам выучить математику «на отлично». Всевозможные случаи деления и умножения, дух соревновательности, насыщенность  и простота заданий делают сборник привлекательным для маленьких учеников.

“Примеры по математике для 2 класса. Умножение и деление” – тема элементарная и одновременно трудная. Дети сразу усваивают суть умножения, как суммы равнозначных слагаемых, но не в силах запомнить всю таблицу сразу. Можно механически зазубривать ответы вразброс. Но насколько увлекательнее решать примеры по математике 2 класс на умножение и деление в задачниках, в которых можно записывать ответы и даже свой результат! Таким образом, второклассники будут вынуждены вспоминать таблицу в произвольном порядке, тратя на это все меньше времени.

Примеры на умножение и деление по математике во 2 классе разделены на два блока: упражнения и коррекции недочетов. В конце работы второклассник сам оценивает, как быстро он решал примеры по математике 2 класс на умножение, и лучшее время отмечает в отдельной графе. А смайлики в нижней части листа подскажут второкласснику, хорошо ли он поработал.

Авторы пособия рекомендуют решать по 7 столбцов ежедневно. Но если ребенок отказывается решать все примеры, не настаивайте, ведь гораздо важнее, если второклассник считает примеры по математике с охотой. Так Вы сохраните в своем ребенке увлеченное отношение к предмету, а это большой плюс при изучении нового материала.

Скачивайте сборник примеров Узоровой О. в библиотеке нашего сайта, и Ваш второклассник научится умножать запросто!

Издательство: АСТ
Год издания: 2011
Автор: Узорова О.В.
Формат: PDF
Количество страниц: 16
Язык: Русский

Скачать бесплатно primeri_po_matematike_2_klass_umnogenie_i_delenie_uchebnik.pdf

Свойства умножения и деления. Распределительное и переместительное свойство

Свойства умножения

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

Примеры:

• 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
• 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.

Сочетательное свойство умножения

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Пример:

• 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30

или

• 3 * 2 * 5 = (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30.

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:

Свойство нуля при умножении

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

Как решаем:

Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.

Ответ: 2 кг

Пример 2

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 3

Упростить выражение: 27a – 16a.

Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 — 16) = a * 11 = 11a.

Ответ: 11a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Развить математическое мышление помогут интерактивные уроки в Skysmart. Ученики занимаются по индивидуальной программе и в комфортном темпе. А внимательные учителя помогают подготовиться к контрольной и найти ответ на любой — даже самый неловкий — вопрос.

Приходите на бесплатный вводный урок вместе с ребенком: познакомимся, порешаем задачки и вдохновим на учебу!

Умножение и деление | Отношение

Умножение и деление тесно связаны, учитывая, что деление является обратной операцией умножения. При делении мы стремимся разделить на равные группы , а умножение включает объединение равных групп .

В сегодняшнем посте мы научимся использовать умножение как стратегию для решения задач деления , что будет действительно полезно в повседневной жизни!

Начнем с простого умножения.Если у нас есть 4 x 5 = 20 , то его обратные отношения (в виде деления) будут следующими:

20 ÷ 5 = 4

20 ÷ 4 = 5

Таким же образом, если взять деление 30 ÷ 3 = 10 , его обратные отношения (в виде умножения) будут следующими:

3 х 10 = 30

10 х 3 = 30

В обоих примерах мы видим, что мы используем одни и те же три числа. Это потому, что, когда мы умножаем два числа (которые мы называем факторами), мы получаем результат, который мы называем продуктом.Если мы разделим этот продукт на один из факторов, мы получим в результате другой коэффициент.

Пример деления, решенного умножением

Здесь имеем:

• Общее количество объектов: Всего 28 срезов
• Количество комплектов: 7 человек
• Представление: 42 ÷ 7 = ___

Чтобы рассчитать точное количество порций, которые будут даны каждому человеку, мы должны найти число, которое при умножении на 7 дает 28.Что это будет?

7 x 1 = 7 7 x 6 = 42
7 x 2 = 14 7 x 7 = 49
7 x 3 = 21 7 x 8 = 56
7 x 4 = 28 7 x 9 = 63
7 x 5 = 35 7 х 10 = 70

Отлично! 4 — это число, которое дает нам 28, когда мы умножаем его на 7.Поскольку умножение — это операция, обратная делению, деление 28 на 7 равно 4.

Следовательно, ответ на наше упражнение:

Помните, что если вы хотите улучшить умножение и деление, лучше всего просмотреть таблицу умножения и потренироваться с нашими упражнениями. В любом случае, просмотрите наш пост о подразделениях и потренируйтесь с нашими упражнениями по разделению.

Если вы хотите и дальше изучать математику, войдите в Smartick и попробуйте бесплатно.

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создавать максимально качественный математический контент.

Умножение и деление целых чисел — методы и примеры

В математике арифметические операции с целыми числами включают вычитание, сложение, деление и умножение всех типов действительных чисел. В частности, целые числа — это числа, которые включают положительные, отрицательные и нулевые числа.Умножение и деление целых чисел регулируются аналогичными правилами.

Как умножать целые числа?

Умножение определяется как повторное сложение целых чисел. Умножение целых чисел включает три случая:

• Умножение двух положительных целых чисел
• Умножение двух отрицательных целых чисел
• Умножение положительного и отрицательного целого числа.

Умножение двух целых чисел с одинаковым знаком всегда дает положительный результат.Это означает, что произведение двух положительных или двух отрицательных целых чисел положительно. С другой стороны, целые числа продукта со знаком отличия всегда будут отрицательными.

Многие студенты сталкиваются с проблемой запоминания приведенных выше правил умножения целых чисел. В этой статье есть сценарий, который поможет вам избежать путаницы. В этом сценарии положительный знак (+) использовался для обозначения « GOOD », а отрицательный знак символизирует фразу « BAD ».«Давайте взглянем на эту мнемонику.

• Если хорошие (+) вещи случаются с хорошими (+) людьми, то это хорошо (+)
• Если хорошие (+) вещи случаются с плохими (-) людьми, то это плохо (-)
• Если плохие (-) вещи случаются с хорошими (+) людьми, тогда это плохо (-)
• Если плохие (-) вещи случаются с плохими (-) людьми, то это хорошо (+)

Чтобы умножить целые числа, просто умножьте числовые числа без знака и поставьте знак на продукте, вспомнив приведенные выше правила.

Пример 1

• 7 x 5 = 35
• 7 × (-6) = -42
• (-9) × 5 = -45
• (-4) × (-5) = 20

Если количество отрицательных множимых в предложении умножения нечетное, произведение будет отрицательным числом.

Пример 2

(-2) × (−4) × (−3) = −24; здесь количество множимых = 3 (нечетное число)

Когда число отрицательных множимых в предложении умножения четное, произведение будет положительным.

Пример 3

(−4) × (−3) = 12; Здесь количество множимых равно 2 (четным)

Как разделить целые числа?

Если умножение — это суммирование целых чисел, то деление — это распределение целых чисел. Мы можем просто сказать, что деление — это обратное умножение. Правила деления целых чисел аналогичны правилам умножения. Единственная разница в делении состоит в том, что частное не обязательно должно быть целым числом.

Давайте также посмотрим на правила деления:

• Частное положительного целого числа всегда положительно. Если и делимое, и делитель являются положительными целыми числами, значение частного будет положительным. Например, (+ 9) ÷ (+ 3) = + 3
• Частное двух отрицательных чисел всегда положительно. Это означает, что если дивиденд и делитель отрицательны, то частное всегда положительно. Например;
  (- 9) ÷ (- 3) = + 3
  Следовательно, при делении двух целых чисел с одинаковыми знаками мы делим числа без знака и ставим положительный знак результату.
• Деление положительного и отрицательного целого числа дает отрицательный ответ. Например; (+ 16) ÷ (- 4) = — 4

Таким образом, чтобы разделить целые числа с разными знаками, мы делим числовые значения без знаков и ставим знак минус на результат.

Практические вопросы

1. Всего вы насчитали 120 рук в своем классе. Сколько было учтено студентов?
2. Тест по математике состоит из 20 вопросов. За каждый правильный ответ дается три балла, за неправильный — 1 балл.Студент неправильно ответил на 5 вопросов. Сколько баллов потерял студент?
3. Дайвер спускается со скоростью 40 футов в минуту от уровня моря. Найдите положение дайвера по отношению к уровню моря через 5 минут спуска?
4. Мужчина должен банку 8000 долларов. Если каждый из его 4 друзей готов погасить ссуду, внося равную сумму. Определите, сколько денег вложил каждый из его друзей.
5. 26 мужчин поровну разделили между собой 5 876 ​​долларов. Сколько получил каждый?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое деление? — Определение, факты и пример

Что такое дивизион?

Разделение — это метод разделения группы вещей на равные части.Это одна из четырех основных операций арифметики, которая дает хороший результат обмена.

Деление — это операция, обратная умножению. Если 3 группы по 4 составляют 12 в умножении; 12 разделенных на 3 равные группы дают по 4 в каждой группе в дивизионе.

Основная цель разделения — увидеть, сколько равных групп или сколько в каждой группе при справедливом распределении.

Например:

Есть 16 шаров и 4 коробки, как положить 16 шаров в четыре коробки одинакового размера?

Итак, 16 разделить на 4 =?

Следовательно, в каждом ящике должно храниться по 4 мяча.

Математическое обозначение деления

Существуют различные знаки, которые могут использоваться для обозначения деления, например, ÷, /.

Например:

Специальные имена для каждого символа в Подразделе

Каждая часть, участвующая в уравнении деления, имеет особое имя.

Дивиденд ÷ делитель = частное

Дивиденд : Дивиденд — это число, которое делится в процессе деления.

Делитель : Число, на которое делится дивиденд, называется делителем.

Частное : Частное — это результат, полученный в процессе деления.

18 ÷ 3 = 6

Дивиденды d Коэффициент пропорциональности

Итак, в приведенном выше процессе мы разделили 16 шаров на 4 равные группы;

Дивиденд равен 16, делитель 4 и, следовательно, частное равно 4.

Введение к остатку

Остаток — это часть дивиденда, оставшаяся после деления. Например, при делении 83 на 2 остается 1.

Значит, 83 ÷ 2 = 41 и r = 1,

Здесь «r» — остаток.

Особенности подразделения

• При делении чего-либо на 1 ответом всегда будет исходное число. Это означает, что если делитель равен 1, частное всегда будет равно деленному, например 10 ÷ 1 = 10.

• Деление на 0 не определено.

• Деление одного и того же дивиденда и делителя всегда равно 1. Например: 4 ÷ 4 = 1.

Связь между умножением и делением

Математика — очень логичная наука, построенная на правилах, принципах и отношениях.Математическое мышление основано на последовательном изучении процедур сначала с конкретными объектами, затем с визуальными моделями и только потом с абстрактными символами и понятиями. Такой систематический подход к обучению позволяет учащимся понять смысл математических операций и связь между ними.

Начиная с 3-го класса «Счастливые числа» дают пошаговые объяснения умножения и деления, их связи со сложением и вычитанием, которые учащиеся освоили ранее, и того, как применять эти операции.Кроме того, студенты изучают связь между умножением и делением, поскольку эти операции обратны друг другу. Впоследствии они укрепляют и развивают эти знания при решении различных задач. В этой статье рассматривается, как Happy Numbers помогает учащимся изучить взаимосвязь между умножением и делением, чтобы они могли свободно выполнять эти операции.

1. Связанные факты об умножении и делении

Связь деления на число с умножением на одно и то же число

Самый простой способ установить связь между умножением и делением на интуитивном уровне — использовать модель массива, которая в равной степени подходит для обеих операций.«Счастливые числа» предлагает серию упражнений, которые приводят учащихся к концептуальному пониманию этой взаимосвязи.

В первом упражнении учащиеся сопоставляют факты умножения и деления, соответствующие одной и той же модели массива. Каждая из трех задач начинается с разделения. Например, на скриншоте ниже показан третий массив, а результаты первых двух сохраняются в правом верхнем углу:

Если учащиеся отвечают неправильно, следующая подсказка напоминает им об интерпретации деления, которая позволяет им найти ответ:

Следующий шаг — завершение предложения умножения на основе того же представления массива:

Теперь ученики смотрят на результаты трех заданий и приходят к важному предположению:

Чтобы просмотреть упражнение полностью, перейдите по этой ссылке.

Деление на 3 связано с умножением на 3. Не только это, но и отношение верно для любого числа: Деление на число связано с умножением на то же число .

Это делает утверждение «Деление связано с умножением» более конкретным и может быть дополнительно детализировано, чтобы стать незамедлительно используемым инструментом.

Связанные факты умножения и деления состоят из связанных одинаковыми числами

Чтобы детализировать установленную выше взаимосвязь, Happy Numbers предлагает упражнения, привлекающие внимание студентов к числам, участвующим в двух операциях (делении и умножении), соответствующих одной и той же модели массива:

Учащиеся выделяют три пары чисел, и эта цветовая кодировка помогает составить утверждение:

Это утверждение затем позволяет студентам заполнить факты умножения, связанные с данным фактом деления.Например:

В случае неправильного ответа ученики получают напоминание:

В этих задачах используется один бланк, однако его размещение может быть разным. Он может быть в любом уравнении и в любом положении. Чтобы увидеть полное упражнение, перейдите по этой ссылке.

Таким образом, учащиеся понимают, что оба связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел. Это добавляет важную деталь к ранее установленным отношениям, и вместе они описывают очень практический факт:

Деление на число связано с умножением на такое же число.
Два связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел.
Пример: 14 ÷ 2 = 7, 7 × 2 = 14

Это подробное описание взаимосвязи между умножением и делением позволяет учащимся составить уравнение деления, связанное с данным уравнением умножения, и наоборот.

Чтобы привыкнуть к взаимосвязи, учащиеся работают над простыми задачами в пределах 100 : для данного уравнения деления они находят соответствующее уравнение умножения в таблице умножения.

Это делается в два этапа. Ответ на первую часть задания…

… позволяет учащимся ограничить поиск связанных фактов умножения таблицей умножения для одного числа (2 в этом примере).

В вышеуказанных упражнениях учащиеся не выполняют умножение или деление; вместо этого они развивают математическое мышление, чтобы обнаружить взаимосвязь между этими типами фактов, что поможет им решать проблемы в будущей деятельности.

Деление на 100 на основе связи между умножением и делением

К настоящему времени студенты искали только факт умножения, связанный с с учетом факта деления , и пришло время рассмотреть более практический случай, когда результат деления неизвестен.
Happy Numbers представляет эту задачу так, что она очень похожа на предыдущую с заданным фактом деления. Это помогает студентам понять, что связь между умножением и делением остается применимой и здесь:

… и соответствующий факт умножения можно найти в соответствующей таблице умножения (× 3 в этом примере):

Есть важная подсказка для тех, кому это нужно:

На приведенном выше снимке экрана другие коэффициенты в таблице умножения на 3 скрыты, чтобы подчеркнуть, что соответствующее предложение умножения можно идентифицировать без какой-либо информации об этом коэффициенте.

Итак, родственные предложения:

Здесь результат деления и один из множителей на самом деле являются одним и тем же числом , поэтому знание одного из них означает также знание другого:

Зная основной факт умножения 4 × 3 = 12, сразу следует, что 12 ÷ 3 равно 4.

Чтобы просмотреть упражнение полностью, перейдите по этой ссылке.

Та же самая стратегия работает для поиска фактов деления, связанных с основными фактами умножения (то есть умножения двух однозначных чисел). Рассмотрим, например, умножение и деление на 7. В учебной программе «Счастливые числа» учащиеся сначала работают с фактами умножения × 7, а затем применяют взаимосвязь между делением и умножением для деления.Здесь подсказка напоминает им о взаимосвязи между умножением и делением:

В случае неправильного ответа предоставляется дальнейшая поддержка:

Студенты получают дополнительную поддержку при необходимости: таблицу × 7 можно сделать доступной, нажав кнопку справки.

Здесь достигается двойная цель: усвоение основных фактов и понимание взаимосвязи между умножением и делением.

Две пары связанных фактов умножения и деления

Чтобы лучше понять эту взаимосвязь учащимися, Happy Numbers вводит факт умножения, такой как 3 × 8 = 24, и показывает, как взаимосвязь между умножением и делением приводит к факту деления 24 ÷ 8 = 3.

Стоит упомянуть, что существует еще одна пара связанных фактов, состоящих из тех же трех чисел. Это связано с коммутативным свойством умножения: факты умножения в двух парах просто поменяли местами множители.Например:

3 × 8 = 24

8 × 3 = 24

Каждое из уравнений умножения имеет свой собственный факт деления.

Эти пары фактов представляют собой обратные операции: первая — умножение на 8 и деление на 8, другая — умножение на 3 и деление на 3.Итак, отношения внутри каждой пары очень близкие, а все четыре факта связаны. Студенты узнают, что делитель в факте деления и один из факторов в факте умножения одинаковы. Кроме того, оба уравнения состоят из одних и тех же трех чисел.

2. Деление как проблема неизвестного фактора

Толкование и определение подкласса

В начальной школе деление обычно вводится с учетом двух его интерпретаций: нахождения количества групп и нахождения количества предметов в каждой группе.Оба они используют равное распределение объектов между несколькими группами, в то время как каждая интерпретация затрагивает свой вопрос.

Начнем с интерпретации деления как , находим количество групп , когда задано количество объектов в каждой группе и общее количество. Рассмотрим, например, задание из учебной программы «Счастливые числа»:

.

Количество групп (ящиков) можно найти делением 10 ÷ 2 = ▢. При этом задачу можно представить и решить в виде уравнения для неизвестного количества групп: ▢ × 2 = 10.

Другая интерпретация деления — это нахождение количества объектов в каждой группе , когда указаны общее количество и количество групп. Например:

Как и в предыдущем примере, неизвестное число можно найти любым способом: делением 12 ÷ 4 = ▢ или решением уравнения для неизвестного числа объектов в каждой группе: 4 × ▢ = 12. Из-за коммутативности При умножении коэффициенты можно поменять местами, чтобы неизвестный коэффициент оказался в первой позиции ▢ × 4 = 12, как и в первой интерпретации.

Таким образом, в обеих интерпретациях неизвестное можно найти, решив уравнение в той же форме:

▢ × делитель = делимое

, несмотря на различное значение неизвестного (количество групп или количество объектов в каждой группе). Итак, не имеет значения, какая из двух интерпретаций используется. Например, 120 ÷ 8: оба подразумевают одно и то же уравнение ▢ × 8 = 120 для нахождения частного. Две интерпретации разделения согласованы!

Дело в том, что нахождение неизвестного фактора на самом деле является определением подразделения .Точнее:

— Отдел находит неизвестный множитель из уравнения ▢ × делитель = делимое

или другими словами:

— Результат деления — это число, умноженное на делитель, чтобы получить дивиденд.

Прежде всего, это означает, что любой известный факт умножения дает факт деления. Например, зная, что 25 × 6 = 150, человек знает, что 150 ÷ ​​6 = 25. Этот источник фактов деления очень полезен до тех пор, пока студенты не овладеют стандартным алгоритмом деления.Фактически, мы использовали эту стратегию ранее для установления фактов деления, соответствующих основным фактам умножения в пределах 100.

Наиболее важным в понимании деления как нахождения неизвестного фактора является то, что оно охватывает все случаи деления действительных чисел, включая деление любого целого числа, даже если оно не приводит к частному целому числу.

Дробь как результат деления целых чисел

Не всегда можно разделить целые числа и получить результат целого числа (деление на остаток дает пару целых чисел, а не единственное число ).Итак, набор целых чисел и операция деления расширены, чтобы это стало возможным. В игру вступают дроби, и интерпретация деления на основе равного распределения показывает, что результатом деления может быть дробь. Например, в задании из учебной программы «Счастливые числа» учащиеся делят 3 выпечки поровну на 4 тарелки

.

Они работают в интерактивном режиме со всей необходимой поддержкой, чтобы получить следующий результат:

Выполнение ряда аналогичных заданий приводит учащихся к разумному выводу, что:

Результат деления целого числа делимого на целое число делитель является дробью

Легко прийти к такому выводу, если понимать разделение как обнаружение неизвестного фактора.Давайте проверим, например, что 5, деленное на 9, равно ⁵ ⁄ ₉ . С точки зрения поиска неизвестного фактора это означает: убедитесь, что ⁵ ⁄ ₉ удовлетворяет уравнению

▢ × 9 = 5

, что верно: ⁵ ⁄ ₉ × 9 = 5.

Умножение и деление как обратные операции

Часто говорят, что умножение и деление — обратные операции, но что именно это означает? Фактически, это сводится к полезному утверждению, которое является просто еще одним способом выразить взаимосвязь между умножением и делением, как обсуждалось выше.

Рассмотрим, например, деление числа m на 7. Соотношение между умножением и делением говорит, что умножение результата m ÷ 7 на делитель дает делимое m :

( м ÷ 7) × 7 = м

Итак, , если число делится на 7, умножение частного на 7 отменяет деление на 7 , или для краткости: умножение на 7 является обратной операцией для деления на 7.На самом деле это верно для любого числа n ≠ 0 вместо 7:

Умножение на n отменяет деление на n ( n ≠ 0)

Верно и наоборот:

Деление на n отменяет умножение на n ( n ≠ 0)

Эти утверждения интуитивно понятны и полезны. Например, умножение на 10 (или более, обычно на соответствующую степень 10) с последующим делением упрощает умножение десятичной дроби до умножения целого числа:

Начиная с исходного выражения 3 × 2.3, студенты преобразовали его, умножив десятичный множитель на 10. Это также означает, что произведение умножается на 10 из-за ассоциативного свойства. Теперь ученики делят на 10, чтобы отменить умножение и таким образом получить требуемый исходный продукт.

Эта стратегия также применима к умножению и делению двух десятичных чисел.

Проверочное деление с умножением

Это занятие с двойной целью.Первая цель — это, конечно, проверка расчета, что особенно важно, когда разделение «сложное» или когда вводятся новые приложения. Это довольно «сложно», если, например, деление в столбик выглядит так:

Решение можно проверить, проверив, истинно ли 957 × 3 = 2,871.

Пример нового применения деления — введение деления дроби на целое число.

Проверка результата 2 ÷ ¹ ⁄ ₃ = 6 путем проверки правильности 6 × ¹ ⁄ ₃ = 2 здесь важна для усиления концептуального понимания деления.

Возможный подход к задачам дробного деления

Сила отношения умножения / деления простирается за пределы начальной школы. Учащиеся 6 классов и старше могут использовать уравнение умножения с неизвестным фактором в качестве стратегии для решения задач деления на дроби. Давайте рассмотрим этот подход для двух стандартных типов задач со словами и задач с числовым делением.

Давайте начнем со словарной проблемы, основанной на интерпретации деления как , нахождение неизвестного размера долей , когда указаны количество долей и общая сумма.

Это похоже на проблему с заданными целыми числами. Например, «Джим прополз 6 ярдов, что было 3 из его обычных ежедневных поездок. Как долго длится обычная ежедневная поездка? ​​» Интерпретируется как проблема с заданным общим количеством — 6, заданным количеством акций — 3 и неизвестным размером доли . Исходная проблема часто интерпретируется таким же образом, хотя общая сумма является дробным числом (что неудивительно), а количество долей дробное. Студенты должны привыкнуть к последнему, что возможно на примере использования долей, таких как 2-галлонный резервуар: 1 галлон — это половина его, четверть галлона — это одна восьмая его объема и т. Д.

Задача решается разделением ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢, при этом фактическое решение основано на модели, представляющей ¹ ⁄ ₂ как ² ⁄ ₄ и деление как ² ⁄ ₄ ÷ ³ ⁄ ₄ = 2 ÷ 3 = ² ⁄ ₃ . Упрощение данных дробей до общего знаменателя работает для любой задачи деления на дроби. Однако это дополнительный шаг, от которого студенты могут научиться избавляться позже, когда умножение на обратную дробь заменяет прямое деление.

Давайте теперь рассмотрим альтернативную стратегию решения вышеуказанной проблемы.

Постановка задачи немедленно переводится в «Найдите всю длину поездки ▢, учитывая, что ³ ⁄ ₄ из этого равно ¹ ⁄ ₂ ярда». Поскольку ³ ⁄ ₄ из ▢ равно ³ ⁄ ₄ × ▢, это проблема неизвестного фактора

.

³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂

, относящееся (эквивалент) к задаче деления ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢.

Чтобы найти неизвестный коэффициент, достаточно выделить ▢ в уравнении
³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂ . Этого легко добиться, умножив обе части уравнения на величину, обратную величине ³ ⁄ ₄ , то есть на ⁴ ⁄ ₃ . (Обратной величиной любой дроби является дробь, в которой числитель и знаменатель исходной дроби поменяны местами. Обратное значение дроби, умноженной на эту дробь, всегда равно 1.) Это умножение дает

и ответ на проблему:

▢ = ⁴ ⁄ ₃ × ¹ ⁄ ₂ = ² ⁄ ₃

Рассмотрим теперь другой тип словесной задачи.

Независимо от того, что данная сумма и размер долей являются дробными, это проблема нахождения неизвестного количества долей : 1 ¹ ⁄ ₂ ÷ ² ⁄ ₅ = ▢.Исходная постановка проблемы также переводится в проблему с неизвестным фактором — количество долей, умноженное на размер доли, равняется заданной сумме:

▢ × ² ⁄ ₅ = 1 ¹ ⁄ ₂

В качестве альтернативы можно прийти к проблеме неизвестного фактора, начиная с проблемы деления и используя взаимосвязь между умножением и делением. Проблема неизвестного фактора решается, как указано выше, с использованием обратной дроби ³ ⁄ ₂ .

Как видите, даже задачи деления на дроби можно понять и решить, связав их с умножением.

***

Happy Numbers предлагает учебную программу, в которой студенты последовательно изучают математические процедуры. Они расширяют и углубляют знания с помощью описательных визуальных моделей, дополненных манипулятивной механикой и выразительной анимацией. Мгновенная обратная связь, интегрированная в виде подсказок, позволяет учащимся улучшить свою стратегию решения в данный момент и, таким образом, учиться на собственных ошибках.

Happy Numbers может стать отличным цифровым помощником на уроках математики! Готовы присоединиться? Зарегистрируйтесь в качестве преподавателя на сайте, чтобы начать бесплатный пробный период.

Умножение и деление

Четвертый класс использует то, что было изучено в третьем классе. Третий класс вводит и обучает всем фактам умножения и деления от нуля до двенадцати. Как часто говорят, ученики ИЗУЧАЮТ факты в третьем классе, чтобы они могли ИСПОЛЬЗОВАТЬ факты в четвертом и всю оставшуюся жизнь.

Мы начинаем с нуля и единицы, затем с двоек и троек. В самом начале мы узнаем, что факторы можно переключать, а не изменять продукт. Это называется коммутативным свойством . Затем мы учим пятерки и десятки, а затем четверки и девятки. После этого узнаем остальное по порядку. Причина этого двоякая. От нуля до трех вводится теория умножения. Это идея, что умножение — это «повторное сложение», а деление — это обратное умножению.Факты следуют шаблону как умножения, так и деления. Затем мы переходим к пятеркам и десяткам, потому что эти закономерности сразу распознаются как счет пропусков. Далее идут четверки, потому что они увеличивают диапазон используемых факторов. Следом идут девятки из-за уникального рисунка изделий. Студентов также учат, что, просто комбинируя уже изученные уравнения, они могут найти ответ на любое из тех, которые им еще не известны. Это распределительная собственность . Например, 3×6 плюс 4×6 дает тот же ответ, что и 7×6, без заучивания семерок. Это работает и для деления.

Мы изучаем свойства умножения, многие из которых похожи на свойства сложения. С помощью этих свойств мы можем узнать, «почему» умножение работает, и как применять уравнения для решения многих повседневных событий. Знакомя с алгеброй, например, решая неизвестное число, представленное буквой, например «х», дети узнают, что любое уравнение можно сбалансировать, просто зная две из трех переменных и какой процесс использовать.Уравнение типа 3 x X = 15 просто превращается в задачу деления 15 ÷ 3 = X.

Использование свойств равенства деления и умножения для одношаговых уравнений

Результаты обучения

• Просмотрите и используйте свойства деления и умножения равенства для решения линейных уравнений
• Используйте обратную величину для решения линейного уравнения, содержащего дроби

Давайте рассмотрим свойства равенства деления и умножения, когда мы готовимся использовать их для решения одношаговых уравнений.

Отдел имущества равенства

Для всех действительных чисел [латекс] a, b, c [/ latex] и [latex] c \ ne 0 [/ latex], если [latex] a = b [/ latex], то [latex] \ frac { a} {c} = \ frac {b} {c} [/ latex].

Свойство равенства умножения

Для всех действительных чисел [латекс] a, b, c [/ latex], если [latex] a = b [/ latex], то [latex] ac = bc [/ latex].

Проще говоря, когда вы делите или умножаете обе части уравнения на одинаковую величину, вы все равно получаете равенство.

Давайте рассмотрим, как эти свойства равенства могут быть применены для решения уравнений. Помните, цель состоит в том, чтобы «отменить» операцию с переменной. В приведенном ниже примере переменная умножается на [latex] 4 [/ latex], поэтому мы разделим обе стороны на [latex] 4 [/ latex], чтобы «отменить» умножение.

пример

Решить: [латекс] 4x = -28 [/ латекс].

Решение:

Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство равенства равенства, чтобы разделить обе стороны на [латекс] 4 [/ латекс].

Поскольку это истинное утверждение, [latex] x = -7 [/ latex] является решением для [latex] 4x = -28 [/ latex].

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, которое требует деления и включает отрицательные числа.

В предыдущем примере, чтобы «отменить» умножение, мы разделили. Как вы думаете, мы «отменяем» разделение? Далее мы покажем пример, который требует от нас использовать умножение для отмены деления.

пример

Решить: [латекс] \ frac {a} {- 7} = — 42 [/ латекс].

Показать решение

Решение:
Здесь [latex] a [/ latex] делится на [latex] -7 [/ latex].Мы можем умножить обе стороны на [latex] -7 [/ latex], чтобы выделить [latex] a [/ latex].

Теперь посмотрим, сможете ли вы решить задачу, требующую умножения для отмены деления. Вспомните правила умножения двух отрицательных чисел — два отрицательных числа дают положительный результат при их умножении.

Когда вы начнете решать уравнения, требующие нескольких шагов, вы можете обнаружить, что в конечном итоге получите уравнение, похожее на приведенное в следующем примере, с отрицательной переменной.Обычно при решении уравнений рекомендуется использовать положительные значения переменных. Следующий пример покажет вам, как это сделать.

пример

Решить: [латекс] -r = 2 [/ латекс].

Показать решение

Решение:
Помните, что [latex] -r [/ latex] эквивалентно [latex] -1r [/ latex].

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с отрицательной переменной.

В нашем следующем примере нам дано уравнение, которое содержит переменную, умноженную на дробь. Мы будем использовать обратное, чтобы изолировать переменную.

пример

Решить: [латекс] \ frac {2} {3} x = 18 [/ latex].

Показать решение

Решение:
Поскольку произведение числа на обратное [латекс] 1 [/ латекс], наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выделить [латекс] x [/ латекс] путем умножения на обратную величину [латекс] \ frac {2 } {3} [/ латекс].

Обратите внимание, что мы могли бы разделить обе части уравнения [латекс] \ frac {2} {3} x = 18 [/ latex] на [latex] \ frac {2} {3} [/ latex], чтобы изолировать [латекс ] х [/ латекс].Хотя это сработает, умножение на обратное требует меньше шагов.

Следующее видео включает примеры использования свойств деления и умножения для решения уравнений с переменной, стоящей справа от знака равенства.

предложений умножения и деления — элементарная математика

Назначение

Для распознавания и определения предложений, связанных с умножением и делением

Материалы

Нет

Обзор

Чтобы подготовиться к предстоящей работе с умножением и делением, попросите ваших учеников попрактиковаться в фактах до 10 × 10.Приведите факт умножения, например 5 × 6, и попросите учащегося назвать произведение и его предложение умножения (5 × 6 = 30). Затем попросите другого ученика дать соответствующее разделение (30 ÷ 6 = 5 или 30 ÷ 5 = 6).

Класс также можно разделить на две команды. Первая группа дает предложение умножения и произведение, а вторая команда дает соответствующее предложение деления и частное. Когда учитель говорит: «Переключитесь!» каждая команда работает с противоположной операцией.

О последовательности

Часть 1 просит студентов попрактиковаться в умножении до 5 × 10 и поделиться соответствующими предложениями умножения и деления.Часть 2 включает в себя факты размером до 10 × 10 и факты расширенного теста до 12 × 12, оба с дополнительной практикой по предоставлению связанных предложений умножения и деления.

Часть 1

Давайте продолжим практиковать наши факты умножения. Я поделюсь фактом, и один доброволец (или команда) даст продукт вместе с предложением умножения, которое к нему прилагается. Второй доброволец (или команда) разделяет частное и соответствующее предложение деления. Итак, если я скажу 2 × 6, наш первый доброволец (или команда) скажет 2 × 6 = 12, а второй доброволец (команда) скажет 12 ÷ 6 = 2 или 12 ÷ 2 = 6.Давайте начнем!

Примеры:

• 2 × 4 = 8 (8 ÷ 4 = 2 или 8 ÷ 2 = 4)
• 3 × 5 = 15 (15 ÷ 5 = 3 или 15 ÷ 3 = 5)
• 4 × 4 = 16 (16 ÷ 4 = 4)
• 5 × 4 = 20 (20 ÷ 4 = 5 или 20 ÷ 5 = 4)
• 4 × 3 = 12 (12 ÷ 3 = 4 или 12 ÷ 4 = 3)
• 3 × 3 = 9 (9 ÷ 3 = 3)
• 2 × 10 = 20 (20 ÷ 10 = 2 или 20 ÷ 2 = 10)
• 1 × 12 = 12 (12 ÷ 12 = 1 или 12 ÷ 1 = 12)
• 2 × 7 = 14 (14 ÷ 7 = 2 или 14 ÷ 2 = 7)
• 3 × 6 = 18 (18 ÷ 6 = 3 или 18 ÷ 3 = 6)

Пока дети наслаждаются развитием мастерства, не стесняйтесь повторять.Когда дети хотят большего, попробуйте Часть 2.

Часть 2

Давайте продолжим и еще несколько фактов!

Примеры:

• 10 × 10 = 100 (100 ÷ 10 = 10)
• 9 × 8 = 72 (72 ÷ 8 = 9 или 72 ÷ 9 = 8)
• 7 × 6 = 42 (42 ÷ 6 = 7 или 42 ÷ 7 = 6)
• 8 × 5 = 40 (40 ÷ 5 = 8 или 40 ÷ 8 = 5)
• 6 × 9 = 54 (54 ÷ 9 = 6 или 54 ÷ 6 = 9)
• 7 × 7 = 49 (49 ÷ 7 = 7)
• 9 × 9 = 81 (81 ÷ 9 = 9)
• 6 × 8 = 48 (48 ÷ 8 = 6 или 48 ÷ 6 = 8)
• 9 × 1 = 9 (9 ÷ 1 = 9 или 9 ÷ 9 = 1)

Как всегда, когда детям кажется, что они ждут нового вызова, двигайтесь дальше.