Деление с остатком + тренажер на деление с остатком #

Деление с остатком проходят в третьем классе начальной школы. Тема довольно сложная для понимания ребенком и требует от него практически идеального знания таблицы умножения. Но все математические знания улучшаются с практикой, и поэтому, решая задания, ребенок с каждым примером будет выполнять его все быстрее и с меньшим количеством ошибок. Наш тренажер предполагает отработку навыка быстрого деления с остатком.

Как делить с остатком

1. Определяем, что деление с остатком (не делится нацело).

34:6 не решается без остатка

2. Подбираем ближайшее меньшее число к первому (делимому), которое делится на второе (делитель).

Ближайшее к 34 меньшее число, которое делится на 6 — это 30

3. Выполняем деление этого числа на делитель.

30:6=5

4. Пишем ответ (частное).

5

5. Чтобы найти остаток, от первого числа (делимого) вычитаем то число, которое подобрали. Записываем остаток. При делении с остатком остаток всегда должен получиться меньше делителя.

34-30=4        (ост. 4 )       4<6                    Ответ: 34:6=5 (ост.4)

Проверяем деление так:

Умножаем ответ на делитель (второе число) и прибавляем к ответу остаток. Если получается делимое (первое число), то деление выполнил верно.

5*6+4=34     Деление выполнено верно.

Большие числа легко и просто делятся столбиком. При этом в уголке под делителем у нас запишется целое число, а в самом низу останется остаток, который меньше делителя.

!!! Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому.

Например:

6 : 10 = 0 (ост. 6)
14 : 112 = 0 (ост. 14)

В следующем видео рассказывается, как делить с остатком большие числа столбиком:

Скачать карточки-тренажеры на деление с остатком

Сохраните лист-карточку себе на компьютер и распечатайте на А4. Одного листа хватит на 5 дней отработки деления с остатком. В нем 5 столбиков с примерами. Вы можете даже разрезать лист на 5 частей. Над каждым столбиком — тучка, смайлик и солнышко, пусть ребенок оценит свою работу, когда закончит столбик.

И карточка с примерами деления меньшего числа на большее:

Деление чисел. Делимое, делитель, частное

Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.

Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число  6  разделить на  2  — значит узнать, сколько раз число  2  содержится в  6:

1) 6 — 2 = 4,

2) 4 — 2 = 2,

3) 2 — 2 = 0.

Повторив вычитание  2  из  6,  мы узнали, что  2  содержится в  6  три раза. Это можно проверить сложив три раза по  2  или умножив  2  на  3:

2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6.

Для записи деления используется знак  :  (двоеточие),  который ставится между числами. Например:

6 : 2.

Эта запись означает, что  6  надо разделить на  2.  Справа от записи деления ставится знак  =  (равно),  после которого записывается полученный результат:

6 : 2 = 3.

Задача. В магазин привезли  9  морковок. Продавщица связала их в пучки по  3  морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по  3  содержится в числе  9.  Для этого разделим  9  на  3.  Получим  3.

Решение можно записать так:

9 : 3 = 3.

Ответ:  3  пучка.

Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.

Решение:

1) 4 : 2 = 2;

2) 12 : 4 = 3,      12: 3 = 4.

Делимое, делитель и частное

Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:

12 : 3,

12  — это делимое,  3  — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.

Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:

12 : 3 = 4,

4  — это частное. При этом сама запись  12 : 3  тоже называется частным.

Эта запись читается так:  частное двенадцати и трёх равняется четырём  или  двенадцать разделить на три равно четырём.

Проверка деления

Рассмотрим выражение:

28 : 4 = 7,

где  28  — это делимое,  4  — это делитель, а  7  — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:

1. Умножить частное на делитель:

   7 · 4 = 28,

   
   или умножить делитель на частное:

   4 · 7 = 28,

   
   если получится делимое, то деление было выполнено верно.

2. Разделить делимое на частное, если получиться делитель, то деление было выполнено верно:

   28 : 4 = 7.

Деление натуральных чисел в столбик: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные) можно делить столбиком – с остатком и без него.

Правила деления в столбик

Без остатка

Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.

Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:

1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.

2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.

Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.

3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель (3 ⋅ 8). Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица. Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления.

Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.

4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.

Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.

5. В числе 16 содержится ровно два раза по восемь (2 ⋅ 8), следовательно, пишем 2 в частном, затем выполняем вычитание (16 – 16) и получаем остаток, равный нулю.

На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.

С остатком

В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.

Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть 112 : 5 = 22 (2).

Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.

Примеры деления в столбик

Пример 1

Разделим трехзначное число на двузначное, например 378 на 21.

Ответ: 378 : 21 = 18.

Пример 2

Найдем частное от деления чисел 1537 и 35.

Пояснение: в данном случае в делимом нужно сразу отсчитать слева не две, а три цифры, т.к. числа 1 и 15 меньше 35.

Ответ: 1537 : 35 = 43 (32)

Деление натуральных чисел столбиком: правило, примеры

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Запись чисел при делении столбиком

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55, запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений. 

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8÷2=4.

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2·0=0; 2·1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4, на которое мы умножали делитель, записываем на место частного. 

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8-8=0.

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3.

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0, 1, 2, 3.. получаем в результате:

3·0=0<7; 3·1=3<7; 3·2=6<7; 3·3=9>7

Под делимым записываем число , полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6. 

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1.

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4. Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком. 

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : 0, 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·0=0<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.

3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — 0. В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Важно!

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на 0, 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=0.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·0=0<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0, и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0.

3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0. Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9.

Запишем:

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792, а остаток равен 8.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7.

Ответ: 1006005

Деление многозначных натуральных чисел столбиком

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2-4  остаются неизменными. 

Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам  описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206.

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556.
556>206, поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.

Умножаем 206 на 0, 1, 2, 3.. и получаем:

206·0=0<556; 206·1=206<556; 206·2=412<556; 206·3=618>556

618>556, поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144. Справа от результата под чертой записываем число  из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442.

Повторяем с  ним пункты 2-4. Получаем:

206·5=1030<1442; 206·6=1236<1442; 206·7=1442

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442, а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания. 

Ответ: 27

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34.

Ответ: 7002

Деление в столбик — объяснение и примеры…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про деление в столбик — объяснение , тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
деление в столбик — объяснение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

Деление — Арифметическое действие, по к-оторому узнается, сколько раз одно число содержится в другом.

Если вы родитель , то объясните ребенку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление».

Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 3х4=12. результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

В нашем пример разделите получившееся произведение «12» – на любой из множителей – «3» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель, то есть «4» или «3».

Также нужно знать термины, используемые в операции деления – «делимое», «делитель» и «частное».

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление в столбик.

Посмотрим на примере как делить столбиком.

Вычислить:

Для начала запишем делимое и делитель в столбик . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8 .

Начинаем делить 512 на 8 следующим образом:

1. Определяем неполное частное. Для этого слева направосравниваем цифры делимого и делитель.

   Берем 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого.

2. 51 больше 8. Значит это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

   Для того, чтобы избежать ошибок, не забывайте определять количество цифр в частном.

   
   

   Для этого посчитаем сколько цифр осталось в делимом, после неполного частного. У нас после 51 стоит только одно цифра 2 . Значит и добавляем в результат еще одну точку.

3. Приступаем к делению. Вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение.
   
   6 x 8 = 48
   
   Записываем цифру 6 в частное.

   Записываем 48 под 51.

   
   

   При записи под неполном частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения.

   Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

4. В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

   Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

   
   

   Спишем из делимого 512 цифру 2 к 3.

   Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение.
   
   8 x 4 = 32

   В остатке получился ноль. Значит числа разделились нацело (без остатка).

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про деление в столбик — объяснение Надеюсь, что теперь ты понял что такое деление в столбик — объяснение
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Урок 10: Деление на трехзначное число

План урока:

Письменное деление на трехзначное число

Деление на трехзначное число с остатком

Решение задач с единицами площади

На уроке познакомимся с делением на трехзначное число столбиком с остатком и без остатка, будем решать задачи с единицами площади, устроим небольшое соревнование на присуждения звания «Знаток математики».

Начнем урок с разминки. Проверим, как вы знаете табличное деление! Ведь без знаний таблицы умножения и деления невозможно научиться делить столбиком на трехзначное число.

Примеры списывать не нужно. Записывайте только ответы в 4 столбика.

А теперь проверим ваши достижения. Сравните свои ответы с образцом. Ставьте карандашом +, если ответ верный, если же вы ошиблись, поставьте -.

Проверь себя.

Оцените свои достижения.

Письменное деление на трехзначное число

Ребята, как вы думаете, отличается ли алгоритм деления на трехзначное число от знакомого нам алгоритма на двузначное число?

Нет, не отличается! Давайте повторим последовательность наших действий при делении столбиком.

Используя данный алгоритм, решим вместе несколько примеров. Будем делать записи в черновике. Вы знаете, что цифры в частном – пробные, и требуется  проверка.

984 : 123        1 155 : 9        318 : 106        5 850 : 9

Оставшиеся примеры на деление решите самостоятельно. Проверьте себя по образцу.

Проверь себя.

При делении многозначных чисел столбиком ребята часто пропускают нули в частном. Обидная ошибка! Как этого не допустить? Рассмотрим более сложные случаи деления, когда в частном появляются нули.

Есть маленькие секреты безошибочного деления столбиком!

• Обязательно определяйте количество цифр в частном. Даже если вы случайно пропустили нуль, точки подскажут, что цифр в частном недостаточно.
• Делайте проверку: умножьте делитель на частное. Должно получиться делимое.

А теперь решите самостоятельно  пример. Подумайте, нужен ли нуль в частном. Сравните свое решение с образцом.

55 692 : 273

Проверь себя.

Деление на трехзначное число с остатком

Вспомним главное правило при делении с остатком.

Это правило применимо для деления на любое число (одно-, двух-, трехзначное и т.д.).

Ребята, перед вами тетрадь ученика 4 класса. Проверьте, как выполнено деление на трехзначное число с остатком. Решите эти примеры в своем черновике. Сравните. Оцените работу четвероклассника.

Во втором примере остаток 148 больше делителя 125. Как вы думаете, почему так получилось? Пробная цифра 2 не подходит. В частном должна быть цифра 3. Умножим 125 на 3. Получим 375. Остаток 23 меньше делителя 125.

А вот первый пример решен верно. Оставим его без изменений. Во втором примере исправим ошибку.

Решение задач с единицами площади

Ребята, взрослые люди часто испытывают досаду, занимаясь ремонтом дома или квартиры. Почему? Знакома ситуация, когда чуть-чуть не хватило краски или обоев? Нужно срочно бежать в магазин, чтобы купить недостающие материалы. Можно ли этого избежать? Конечно, можно! Главное, правильно выполнить расчеты. Например, правильно измерить площадь пола под покраску или площадь стен под обои.

Задача

В комнате длиной 7 м и шириной 8 м укладывают на пол ламинат квадратами 50х50 см. Сколько штук ламината потребуется для этой комнаты?

Подсказка. Вычислите площадь комнаты и площадь одного квадрата ламината. Одинаковые ли единицы площади вы использовали? Выразите квадратные метры в квадратных сантиметрах.

Решите задачу самостоятельно.

Проверь себя.

S пола = 7 ∙ 8 = 56 (м²)

S лам. = 50 ∙50 = 2 500 (см²)

1 м² = 10 000 см²

10 000 : 2 500 = 4 (шт.) – ламината в 1 м².

56 ∙ 4 = 224 (шт.) – ламината потребуется.

Ответ: 224 штук ламината.

Задача

Для покраски пола комнаты площадью 35 м² купили 3 кг краски. Хватит ли этой краски, если на 1 м² пола расходуется 100 г краски.

Выразим 3 кг в граммах.

1 кг = 1 000 г

3 кг = 3 000 г

35 ∙ 100 = 3 500 (г) – краски потребуется.

3 500 – 3000 = 500 (г) – краски не хватит для покраски пола.

Ответ: 500 г краски не хватит.

Решите аналогичную задачу самостоятельно и проверьте по образцу.

Задача

Стены комнаты решили оклеить обоями. Площадь поверхности составляет 80 м². На одной стене есть окно – 3 м², а на другой – дверь занимает 4 м². Хватит ли 7 рулонов обоев, если в одном рулоне 10 м² обоев.

Проверь себя.

3 + 4 = 7 (м²) – занимают окно и дверь.

80 – 7 = 73 (м²) – нужно оклеить обоями.

7 ∙ 10 = 70 (м²) – в семи рулонах.

73 – 70  = 3 (м²) – обоев не хватит.

Ответ: не хватит 3 м².

Ребята, на уроке мы учились делить на трехзначное число без остатка и с остатком, решали сложные задачи с единицами площади. А теперь настало время подвести итоги! Устроим небольшое соревнование на звание «Знатока математики».

Решите примеры за одну минуту!

(12 543 – 3 890 + 15 498) ∙ 69 ∙ 0 ∙594 =

640 ∙5 ∙0 +640 : 1 – 630 =

? + 150 – 240 – 10 + 26 = 526

Проверь себя.

0, 10, 600.

Кому удалось справиться с заданием за одну минуту, может смело назвать себя большим молодцом!

В первом и втором выражениях самые наблюдательные заметили умножение на нуль (можно не вычислять все выражение, а ∙ 0 = 0).

В третьем выражении первое число можно быстро найти, вычисляя с конца обратным действием: 526 – 26 + 10 + 240 – 150 = 600

Математика. Деление уголком | Сайт Леонида Некина

Главная >
Образование >
Математика >
МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.

Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения

648 / 2.

Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:

648 =

 6  ∙ 100 +  4  ∙ 10 +  8  =

 3  ∙  2  ∙ 100 +  2  ∙  2  ∙ 10 +  4  ∙  2  =

( 3  ∙ 100 +  2  ∙ 10 +  4 )  ∙  2  =

 324  ∙  2 .

После этого становится очевидно, что частное от деления равно

648 / 2 = 324.

Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:

156 / 2 = ?

Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:

156 =

 15  ∙ 10 +  6 .

Поскольку число  15  не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:

 15  =  7 ∙ 2  +  1  =  14  +  1 .

Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:

156 =

 15  ∙ 10 +  6  =

( 14  +  1 ) ∙ 10 +  6  =

 14   ∙ 10 +  1  ∙ 10 +  6  =

 14  ∙ 10 +  16  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  =

 78  ∙  2 .

Отсюда моментально получаем ответ:

156 / 2 = 78.

Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается  7  плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем  семерку  под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

Умножаем на эту  семерку  наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

Теперь настало время вычислить остаток от деления  15-ти  на  2 . Он равен, очевидно,

 15  −  2  ∙  7  =  15  −  14 .

У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

У нас получается  единица , к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого:

В результате такого приписывания у нас получается число  16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем  8 . Эту  восьмерку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:
 

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:

156 : 2 = 78 (ост. 0).

Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:

157 : 2 = 78 (ост. 1).

Таблица для этого примера выглядит так:

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:

157 =

 14  ∙ 10 +  17  =

 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  + 1 =

( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  + 1 =

 7 8  ∙  2  + 1

Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:

135674 : 259 = ?

Приступаем к заполнению таблицы:

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:

 1356  :  259  = ?

Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:

 1356  /  259  ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 =  5 .

Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,

 1356  :  259  =  5  (остаток — пока неважно какой).

Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение  259  ∙  5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа  1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть  пятерку  в строке ответа, на ее место поставить  четверку  — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.

Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,

 1356  :  259  =  5  (ост.  61 ).

Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

Можно выписывать окончательный ответ:

135674 : 259 = 523 (ост. 217).

Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.

Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться

лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).

Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Деление нацело на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число

Деление с остатком на однозначное число с возможным «приписыванием» нулей

Деление нацело на двузначное число

Деление с остатком на двузначное число

Деление нацело на трехзначное число

Деление с остатком на трехзначное число

Отдел

Дивизия разбивается на равные части или группы.

Это результат «честного обмена».

Пример: есть 12 шоколадных конфет, и 3 друга хотят ими поделиться, как они делят шоколадные конфеты?

12 конфет

12 шоколадных конфет, разделенных на 3

Ответ: 12 разделить на 3 равно 4. Каждый получает 4.

Обозначения

÷ /

Мы используем символ ÷ или иногда символ / для обозначения деления:

Давайте использовать здесь оба символа, чтобы мы к ним привыкли.

Другие примеры

Вот еще несколько примеров:

изображения / div-simple.js

Противоположность умножению

Деление — это , противоположное умножению . Когда мы знаем факт умножения, мы можем найти факт деления:

Пример: 3 × 5 = 15, поэтому 15/5 = 3.

Также 15/3 = 5.

Почему? Что ж, подумайте о числах в строках и столбцах, как на этой иллюстрации:

Итак, четыре связанных факта :

• 3 × 5 = 15
• 5 × 3 = 15
• 15/3 = 5
• 15/5 = 3

Знание таблицы умножения может помочь вам с делением!

Пример: что такое 28 ÷ 7?

Обыскивая таблицу умножения, мы обнаруживаем, что 28 равно 4 × 7, поэтому 28, разделенное на 7, должно быть равно 4.

Ответ: 28 ÷ 7 = 4

Имена

Для каждого числа в дивизионе есть специальные названия:

дивиденд ÷ делитель = частное

Пример: в 12 ÷ 3 = 4:

• 12 — это дивиденд
• 3 — делитель
• 4 — частное

Но иногда он не работает идеально!

Иногда мы не можем точно разделить вещи… может быть что-то осталось.

Пример: Есть 7 костей, которые можно разделить с 2 детенышами.

Но 7 нельзя разделить точно на 2 группы,
, так что каждый щенок получит 3 кости,
но останется 1, а не :

Мы называем это остатком .

Подробнее об этом читайте в разделе «Разделение и остатки»

Упражнения

Попробуйте эти листы деления.

1629, 1630, 1631, 1632, 1633, 1634, 3427, 3428, 3429, 3430

Что такое дивизия? — Определение, факты и пример

Что такое дивизион?

Разделение — это метод разделения группы вещей на равные части. Это одна из четырех основных операций арифметики, которая дает хороший результат обмена.

Деление — это операция, обратная умножению. Если 3 группы по 4 дают умножение 12; 12 разделенных на 3 равные группы дают по 4 в каждой группе в дивизионе.

Основная цель разделения — увидеть, сколько равных групп или сколько в каждой группе при справедливом распределении.

Например:

Есть 16 мячей и 4 коробки, как положить 16 мячей в четыре коробки одинакового размера?

Итак, 16 разделить на 4 =?

Следовательно, в каждом ящике должно храниться по 4 мяча.

Математическое обозначение деления

Существуют различные знаки, которые могут использоваться для обозначения деления, например, ÷, /.

Например:

Специальные имена для каждого символа в разделе

Каждая часть, участвующая в уравнении деления, имеет особое имя.

Дивиденд ÷ делитель = частное

Дивиденд : Дивиденд — это число, которое делится в процессе деления.

Делитель : Число, на которое делится дивиденд, называется делителем.

Частное : Частное — это результат, полученный в процессе деления.

18 ÷ 3 = 6

Дивиденд d Коэффициент Ivisor

Итак, в приведенном выше процессе мы разделили 16 шаров на 4 равные группы;

Дивиденд равен 16, делитель равен 4 и, следовательно, частное равно 4.

Введение к остатку

Остаток — это часть дивиденда, оставшаяся после деления. Например, при делении 83 на 2 остается 1.

Значит, 83 ÷ 2 = 41 и r = 1,

Здесь «r» — остаток.

Особенности подразделения

• При делении чего-либо на 1 ответом всегда будет исходное число. Это означает, что если делитель равен 1, частное всегда будет равно деленному, например 10 ÷ 1 = 10.

• Деление на 0 не определено.

• Деление одного и того же дивиденда и делителя всегда равно 1.Например: 4 ÷ 4 = 1.

Что такое длинное деление? [Определение, факты и пример]

Игры с длинным разделением

Разделить на 2-значные числа

Разделить 4-значные числа на 2-значные числа, в которых от деления не остается остатка.Вы начнете с оценки частных.

охватывает общий основной учебный план 5.NBT.6Play NowРазделите на 2-значные числа с остатком

Разделите 4-значные числа на 2-значные числа. Начните с оценки частных, которые пригодятся при делении на 2-значные числа.

охватывает Common Core Curriculum 5.NBT.6Играть сейчасСмотреть все игры с разделением >>

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

Что такое деление в столбик?

В математике деление в столбик — это метод, используемый для деления больших чисел на группы или части.

Деление в столбик помогает разбить проблему деления на последовательность более простых шагов. Как и во всех задачах деления, большое число, являющееся делимым, делится на другое число, которое называется делителем, чтобы получить результат, называемый частным, а иногда и остатком.

Как вы делаете деление в столбик?

Метод деления в столбик включает в себя основные математические операции.

Чтобы разделить два числа этим методом, рисуется таблица.Делитель пишется за пределами правых скобок, а делимое — внутри. Частное пишется над чертой сверху над дивидендом.

Длинное деление включает 5 шагов:

Вот пример деления в столбик с четким отображением каждого шага.

Процесс начинается с деления или определения, сколько раз крайняя левая цифра делимого может делиться на делитель.

Затем результат или ответ из шага 1, который становится первой цифрой частного, умножается на делитель и записывается под первой цифрой делимого.

Вычитание производится по первой цифре делимого и записывается остаток.

Следующая цифра делимого уменьшается, а затем процесс повторяется до тех пор, пока все цифры делимого не будут сброшены и не будет найден остаток.

Как разделить десятичные дроби методом длинного деления?

Деление в столбик может также использоваться для разделения десятичных чисел на равные группы. Он выполняет те же шаги, что и при делении в столбик, а именно: деление, умножение, вычитание, уменьшение и повторение или нахождение остатка.

Вот пример деления в столбик с десятичными знаками.

Давайте споем!

Если нужно разделить большие числа,

нарисуйте таблицу для длинного деления сбоку.

Напишите шаги, которые будут вашим руководством,

D, M, S, B и R — Придерживайтесь долгого разделения!

Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы показывать видеоролики для обучения полному делению или раздавать практические задания ученикам 4-го класса, приведите примеры из реальной жизни, когда они могут использовать метод длинного деления для деления.

Скажем, при приготовлении кексов и печенья для продажи выпечки в школе вы можете попросить ребенка подсчитать количество партий, в которых можно приготовить печенье или кексы (исходя из количества форм на подносе), если общее количество печенья и кексы требуются. Вы также можете попросить их подсчитать общее количество необходимых картонных коробок, если в каждую коробку печенья помещается 15 печенья, а в картонную коробку для кексов — 6 кексов. Попросите их вычислить, используя метод длинного деления.

Сопутствующий математический словарь

Что такое дивизия? Определение, значение, примеры

Деление — это одна из четырех основных математических операций, остальные три — это сложение, вычитание и умножение.Проще говоря, раздел можно определить как разделение большой группы на равные меньшие группы.

Division можно представить, рассматривая предметы из нашей повседневной жизни, такие как кусочки пиццы или плитка шоколада. Например, если мы делим пиццу на 4 части, мы делаем деление. Таким образом, 1 ÷ 4 = 0,25. Это означает, что каждый кусок этой пиццы в 0,25 раза больше, чем весь кусок пиццы. Давайте изучим эту концепцию подробнее.

Что такое деление?

Деление — это основная арифметическая операция, при которой числа объединяются и делятся таким образом, чтобы получилось новое число.Это значит, что мы разделим одно число на другое, и получится целое новое — третье число. Деление — это метод равномерного группирования объектов в группы, например размещение учащихся рядами во время сборки.

Определение отдела

Деление — это процесс повторяющегося вычитания. Он обозначается математическим символом, который состоит из короткой горизонтальной линии с точкой над и под линией.

Обозначение деления

Для выполнения операций, требующих деления, мы используем определенные символы.Есть два основных символа разделения, которые представляют разделение. Это ÷ и /. Например, 4 ÷ 2 = 2 и 4/2 = 2

Особые случаи

Ниже приведены три частных случая деления.

• Любое число, деленное на 1 (частное равно деленному), дает ответ такой же, как и делимое. Например: 10 ÷ 1 = 10
• Число не может быть разделено на 0, поэтому результат не определен. Пример: 60 ÷ 0 = не определено (но 0 ÷ 60 = 0)
• Когда делимое равно делителю, что означает те же числа, но не 0, ответ всегда равен 1.Например: 41 ÷ 41 = 1

Какова общая формула деления?

Общая формула деления требует, чтобы у нас были дивиденд, частное, делитель и остаток. Значение каждого из этих терминов можно понять из изображения, приведенного ниже. Чтобы лучше понять концепцию деления, мы рекомендуем просмотреть страницу метода длинного деления. Общая формула деления: Дивиденд = (Делитель × Частное) + остаток

.

Термины, относящиеся к подклассу

Взгляните на приведенную здесь таблицу, чтобы понять термины, относящиеся к разделению, приведенному в разделе, выполненном здесь ранее через изображение выше.

Проверка результата разделения

Мы можем легко проверить, правильный или неправильный наш ответ.Поскольку деление — это обратное умножению, давайте выясним, как мы можем проверить наш ответ, используя эту информацию. Например, 6 ÷ 2 = 3, остаток = 0. Другими словами, 6 = 2 × 3 + 0. Это может быть выражено как Дивиденд = (Делитель × Частное) + Остаток.

Давайте еще раз рассмотрим рассмотренный выше пример, где

• дивиденд = 105

Делитель

• = 8
• частное = 13

Остаток

• = 1

Подставляя значение в формулу, получаем 105 = (8 × 13) + 1 = 104 + 1 = 105.Следовательно, наш ответ правильный.

Метод длинного деления

Метод длинного деления — наиболее распространенный метод, используемый для решения задач деления. В этом процессе делитель записывается за правыми скобками, а делимое — внутри. Частное пишется над чертой сверху над дивидендом. В математике частное можно определить как результат деления числа на любой делитель. Это количество раз, когда делитель содержится в делимом без отрицательного остатка.

• Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого. Если эта цифра больше или равна делителю.
• Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и напишите ответ сверху.
• Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите ниже.
• Шаг 4: Снова повторите тот же процесс.

Разберемся в процессе деления на примере.Например, мы должны разделить 435 на 4. Значит, нам нужно 435 ÷ 4.

Часто задаваемые вопросы о дивизионе

Какие два типа деления?

Разделение разделено на две части, то есть на частичную и котировочную модели. Partitive используется при делении числа на известное количество слотов. Например, если мы разделим 4 на 2 слота, мы сможем узнать, сколько предметов будет в каждом слоте. Цитирующее деление используется при делении числа на ячейки измеряемой величины.Например, когда мы делим 4 на слоты по 2, мы можем определить, сколько слотов можно создать.

Какие три части деления?

Три основных подмножества или части деления — это дивиденды, частное и делитель.

Как делиться, если делитель больше дивиденда?

В этом случае деления мы можем просто продолжать добавлять нули к дивидендам, пока не станет целесообразным дальнейшее деление. Кроме того, мы можем разделить частное на те же степени 10 для окончательного ответа, как только мы сделаем деление правильно.

Как разделить дроби?

Делить дроби так же просто, как делить любые другие два числа. Числитель становится делителем, а знаменатель становится делимым. Однако в случае дробей мы можем получить остаток чаще, чем часто.

Как разделить десятичные дроби?

Разделить десятичные дроби так же просто, как разделить любые другие два числа. Все, что вам нужно сделать, это умножить десятичную дробь на десятичную, пока не получится целое число.Затем вы можете выполнить обычный процесс разделения. Получив окончательный ответ, не забудьте разделить его с той же степенью десяти, что и раньше.

Что такое метод длинного деления?

Метод длинного деления — наиболее распространенный метод, используемый для решения задач деления. В этом процессе делитель пишется за пределами правой скобки, а делимый — внутри. Частное пишется над чертой сверху над дивидендом.

Каковы этапы метода длинного деления?

Шаги для деления в столбик:

• Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого.Если эта цифра больше или равна делителю.
• Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и напишите ответ сверху.
• Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите ниже.
• Шаг 4: Снова повторите тот же процесс.

Почему деление на ноль не определено?

Деление на ноль не определено, потому что нельзя делить любое число на ноль. Это потому, что когда любое число умножается на ноль, ответ — 0.Теперь подумайте об обратном. 1/0 будет иметь бесконечное значение. Мы не можем количественно определить это значение в математике. Следовательно, деление любого числа на ноль не определено.

Длинный Дивизион — Как сделать Длинный Дивизион? Примеры, решения

Длинное деление — это метод деления больших чисел, который разбивает задачу деления на несколько этапов, следующих за последовательностью. Как и в задачах с регулярным делением, дивиденд делится на делитель, который дает результат, известный как частное, а иногда и остаток.Этот урок даст вам обзор метода деления в столбик.

Что такое длинное деление?

В математике деление в столбик — это метод деления больших чисел на шаги или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. Это наиболее распространенный метод решения задач, основанный на разделении. Обратите внимание на следующее деление, чтобы увидеть делитель, делимое, частное и остаток.

Части длинного дивизиона

Вот термины, относящиеся к делению, которое также считается частями длинного деления.Это те же термины, которые используются в обычном делении.

Взгляните на приведенную ниже таблицу, чтобы понять термины, относящиеся к разделению, со ссылкой на пример, показанный выше.

Как сделать длинное деление?

Деление — это одна из четырех основных математических операций, остальные три — это сложение, вычитание и умножение. В арифметике длинное деление — это стандартный алгоритм деления для деления больших чисел, разбивающий задачу деления на ряд более простых шагов.

Требует построения таблицы. Делитель отделяется от делимого правой круглой скобкой 〈)〉 или вертикальной чертой 〈|〉, а делимое отделяется от частного винкулумом (черта сверху). Теперь давайте выполним шаги, приведенные ниже, чтобы увидеть, как происходит долгое деление.

• Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого. Убедитесь, что эта цифра больше или равна делителю.
• Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и запишите ответ сверху как частное.
• Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите разницу ниже.
• Шаг 4: Введите следующий номер (если есть).
• Шаг 5: Повторите тот же процесс.

Давайте посмотрим на примеры, приведенные ниже, для лучшего понимания концепции.

Случай 1: Когда первая цифра делимого больше или равна делителю

Рассмотрим пример: Разделить 435 ÷ 4

• Здесь первая цифра делимого — 4, и она равна делителю.Итак, 4 ÷ 4 = 1. 1 написано сверху.
• Вычесть: 4-4 = 0,
• Опустите вторую цифру делимого вниз и поместите ее рядом с 0.
• Сейчас, 3 <4. Следовательно, мы записываем 0 как частное, уменьшаем следующую цифру делимого и помещаем ее помимо 3.
• Теперь у нас есть 35 новых дивидендов. 35> 4. 35 не делится на 4, но мы знаем, что 4 × 8 = 32 <35, поэтому мы идем на это.
• Запишите 8 как частное.Вычтем: 35-32 = 3.
• 3 <4. Таким образом, 3 - это остаток, а 108 - частное.

Случай 2: Когда первая цифра делимого меньше делителя.

Рассмотрим другой пример: Divide 735 ÷ 9

• Поскольку первая цифра делимого меньше делителя, поместите ноль в качестве частного и уменьшите следующую цифру делимого. Теперь рассмотрим первые 2 цифры, чтобы продолжить деление.
• 73 не делится на 9, но мы знаем, что 9 × 8 = 72, поэтому мы идем на это.
• Запишите 8 как частное и вычтите 73-72 = 1.
• Принесите 5. Число, которое следует рассмотреть, — 15.
• Поскольку 15 не делится на 9, но мы знаем, что 9 × 1 = 9, мы берем 9.
• Вычтем: 15-9 = 6. Запишите 1 как частное.
• Сейчас, 6 <9. Таким образом, остаток = 6 и частное = 81.

Случай 3: Когда делитель не совпадает с первой цифрой делимого.

Решим еще один пример: Разделим 3640 ÷ 15

• Поскольку первая цифра делимого не делится на делитель, мы рассматриваем первые две цифры (36).
• Итак, 36 не делится на 15, а 15 × 2 = 30, поэтому запишите 2 как частное.
• Напишите 30 под 36 и вычтите 36-30 = 6.
• Поскольку 6 <15, мы уменьшим дивиденд на 4, чтобы получить 64.
• 64 не делится на 15, но 15 × 4 = 60, поэтому запишите 4 как частное.
• Напишите 60 под 64 и вычтите 64-60 = 4.
• Поскольку 4 <15, уменьшите дивиденд на 0, чтобы получить 40.
• Поскольку 40 не делится на 15, а 15 × 2 = 30, запишите 2 как частное.
• Напишите 30 под 40 и вычтите 40-30 = 10.
• Сейчас 10 <15. Таким образом, остаток = 10 и частное = 242.

Важные примечания:

Ниже приведены несколько важных моментов, которые могут помочь вам при работе с делением в столбик:

• Дивиденд всегда больше делителя и частного.
• Остаток всегда меньше делителя.
• Для деления делитель не может быть 0.
• Деление — это повторное вычитание, поэтому мы можем проверить наше частное путем повторного вычитания.
• Мы можем проверить частное и остаток от деления, используя формулу деления: Дивиденд = (Делитель × Частное) + остаток
• Если остаток равен 0, то мы можем проверить наше частное, умножив его на делитель.
• Если произведение равно дивиденду, то частное верно.

Проблемы с делением в столбик также включают проблемы, связанные с полиномами в столбик и делением в столбик с десятичными знаками.

Длинное деление многочленов

Если между числителем и знаменателем нет общих множителей или если вы не можете найти множители, вы можете использовать процесс деления в столбик, чтобы упростить выражение. Для получения дополнительных сведений о полиномах деления в столбик посетите страницу «Полиномы деления».

Длинное деление с десятичными знаками

Деление в столбик с десятичными знаками выполняется так же, как и обычное деление в столбик. Для получения дополнительных сведений о делении в столбик с десятичными знаками посетите страницу «Десятичные дроби».

1. Пример 1: Рон посадил 75 деревьев поровну в 3 ряда. Сколько деревьев он посадил в каждом ряду?

   Раствор:

   Общее количество деревьев, посаженных Роном = 75. Количество рядов = 3.Чтобы найти количество деревьев в каждой строке, мы должны разделить 75 на 3, потому что в каждой из трех строк находится равное количество деревьев.

   Следовательно, количество деревьев в каждом ряду = 25

2. Пример 2: 4000 долларов необходимо распределить между 25 людьми для работы, выполненной ими на строительной площадке. Подсчитайте сумму, выданную каждому мужчине.

   Раствор:

   Общая сумма 4000 долларов.Количество работающих мужчин = 25. Мы должны посчитать сумму, которую получает каждый мужчина. Для этого мы должны разделить 4000 на 25, используя метод длинного деления.

   Каждому мужчине дадут по 160 долларов. Следовательно, предоставленная сумма = 160 долларов США.

перейти к слайду

Разбейте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию класса

Часто задаваемые вопросы о Long Division

Как сделать длинное деление?

Следующие шаги объясняют процесс деления в столбик:

• Запишите дивиденд и делитель на их соответствующих позициях.
• Возьмите первую цифру делимого.
• Если эта цифра больше или равна делителю, то разделите ее на делитель и напишите ответ сверху как частное.
• Напишите произведение под дивидендом и вычтите результат из дивиденда, чтобы получить разницу. Если эта разница меньше делителя, и в делимом не осталось чисел, то это считается остатком, и деление выполняется. Однако, если в дивиденде есть больше чисел, которые нужно перенести вниз, мы продолжаем тот же процесс, пока в делимом не останется больше чисел.

Каковы 5 шагов длинного деления?

Ниже приведены 5 основных шагов деления в столбик.Например, давайте посмотрим, как мы делим 52 на 2.

• Шаг 1: D для разделения. Рассмотрим первую цифру дивиденда. 5> 2. 5 не делится на 2.
• Шаг 2: M для умножения. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, поэтому мы пишем 2 как частное.
• Шаг 3: S для вычитания. 5-4 = 1 и 1 <2. (Записав произведение 4 под дивидендом, мы их вычитаем).
• Шаг 4: B для сбивания. 1 <2, поэтому мы уменьшаем 2 из дивиденда, и теперь мы получаем 12 в качестве дивиденда.
• Шаг 5: Повторяйте процесс до тех пор, пока не получите остаток меньше делителя. 12 делится на 2 как 2 × 6 = 12, поэтому мы пишем 6 как частное. 12-12 = 0 — остаток.

Следовательно, частное равно 26, а остаток равен 0.

Как сделать длинное деление с двумя цифрами?

Рассмотрите обе цифры делителя и проверьте делимость первых двух цифр делимого. Делайте так же, как делите обычные числа.

Что такое длинное деление многочленов?

В алгебре деление полиномов в столбик — это алгоритм деления полинома на другой полином той же или более низкой степени с использованием метода деления в столбик. Например, (4x ² — 5x — 21) — это многочлен, который можно разделить на (x — 3), следуя некоторым определенным правилам, что приведет к получению 4x +7 в качестве частного.

Как сделать длинное деление с десятичными знаками?

Деление в столбик с десятичными знаками выполняется так же, как и обычное деление в столбик.Это следует за шагами, указанными ниже.

• Запишите деление в стандартной форме.
• Начните с деления целой части числа на делитель.
• Поместите десятичную точку в частном над десятичной точкой делимого.
• Введите разряд десятков.
• Разделите и уберите вторую цифру по порядку.
• Делим до тех пор, пока в остатке не получим 0.

Как называется символ длинного деления?

Делимое и делимое разделяются правой круглой скобкой 〈)〉 или вертикальной чертой 〈|〉, тогда как делимое и частное разделяются винкулумом или чертой сверху.Комбинация этих двух символов называется символом длинного деления или скобкой деления.

Как делить, если делитель больше дивиденда?

В этом случае деления мы можем просто продолжать добавлять нули к дивидендам, пока не станет целесообразным дальнейшее деление. Затем мы можем разделить частное на те же степени 10 для окончательного ответа, как только мы сделаем деление правильно.

Long Полиномиальное деление: примеры | Purplemath

Purplemath

В отличие от примеров на предыдущей странице, почти все полиномиальные деления не «получаются четными»; обычно вы получаете остаток.

• Разделить 3

  x ³ — 5 x ² + 10 x — 3 на 3 x + 1

Я начинаю с расстановки длинного деления:

Рассматривая только главные члены, я делю 3 x ³ на 3 x , чтобы получить x ² .Вот что я поставил поверх:

MathHelp.com

Я умножаю это x ² на 3 x + 1, чтобы получить 3 x ³ + 1 x ² , которые я поместил под:

Затем я меняю знаки, складываю и не забываю перенести «+10 x — 3» из исходного дивиденда, получив новую нижнюю строку –6 x ² + 10 x — 3:

Разделив новый ведущий член, –6 x ² , на ведущий член делителя, 3 x , я получу –2 x , поэтому я поместил это сверху:

Затем я умножаю –2 x на 3 x + 1, чтобы получить –6 x ² — 2 x , которые я поместил внизу.Я меняю знаки, складываю и не забываю переносить «–3» из делимого:

Моя новая последняя строка: «12 x — 3. Разделив новый ведущий член 12 x на ведущий член делителя 3 x , я получаю +4, которое кладу сверху. Я умножаю 4 на 3 x + 1, чтобы получить 12 x + 4. Я переключаю знаки и складываю вниз. В итоге получается остаток –7:

Это деление даже не вышло.Что мне делать с остатком?

Вспомните, когда вы делали столбики с простыми числами. Иногда оставался остаток; например, если вы разделите 132 на 5:

… осталось 2. Помните, как вы с этим справились? Вы составили дробь, положив остаток поверх делителя, и написали ответ как «двадцать шесть и две пятых»:

Первая форма без «плюса» посередине — это то, как записываются «смешанные числа», но значение смешанного числа на самом деле является формой с добавлением.

Проделаем то же самое с полиномиальным делением. Поскольку остаток в этом случае равен –7 и поскольку делитель равен 3 x + 1, то я превращу остаток в дробь (остаток, деленный на исходный делитель) и добавлю эту дробь к многочлену по верхняя часть символа деления. Тогда мой ответ такой:

Предупреждение: , а не , записывайте полиномиальное «смешанное число» в том же формате, что и числовые смешанные числа! Если вы просто добавите дробную часть к полиномиальной части, это будет интерпретировано как полиномиальное умножение, которое составляет , а не , как вы имеете в виду!

Примечание: разные книги по-разному форматируют полное деление.При написании выражений в верхней части раздела некоторые книги помещают термины над термином той же степени, а не над термином, над которым работаете. В таком тексте длинное деление выше будет представлено, как показано здесь:

Единственное отличие состоит в том, что термины вверху смещены вправо. В остальном все точно так же; в частности, все вычисления точно такие же. В случае сомнений используйте форматирование, которое использует ваш инструктор.

Вам может быть интересно, как я понял, что нужно остановиться, когда дошел до остатка –7. Это очень похоже на то, как вы знали, когда остановиться при делении в столбик (до того, как узнали о десятичных разрядах). Как только вы дошли до чего-то, на что делитель был слишком велик, чтобы его можно было разделить, вы зашли так далеко, как могли, поэтому остановились; все, что осталось, было вашим остатком. То же самое и с полиномиальным делением в столбик. –7 — это просто постоянный член; 3 x «слишком велико», чтобы войти в него, точно так же, как 5 было «слишком большим», чтобы войти в 2 в приведенном выше примере с числовым делением в столбик.Как только вы дойдете до остатка, который «меньше» (в полиномиальной степени), чем делитель, все готово.

• Разделить 2

  x ³ — 9 x ² + 15 на 2 x — 5

Прежде всего, я отмечаю, что существует разрыв в степенях членов делимого: полином 2 x ³ -9 x ² + 15 не имеет члена x .Моя работа может усложниться внутри символа разделения, поэтому важно, чтобы я на всякий случай оставил место для столбца размером x . (Это похоже на ноль, скажем, в разряде сотен делимого, в котором столбец открыт для вычитаний под символом деления.) Я могу создать это пространство, превратив делимое в 2 x ³ — 9 х ² + 0 х + 15.

(Это законный математический шаг.Я добавил только ноль, поэтому я фактически ничего не изменил.)

Теперь, когда у меня есть вся «комната», которая может мне понадобиться для работы, я займусь делением. Я начинаю, как обычно, с настройки длинного деления:

Разделив 2 x ³ на 2 x , я получу x ² , поэтому я положил это сверху. Затем я умножаю x ² на 2 x -5, чтобы получить 2 x ³ -5 x ² , которые я поместил под.Затем я меняю знаки, складываю и убираю 0 x + 15 из исходного делимого. Это дает мне –4 x ² + 0 x + 15 в качестве моей новой чистой прибыли:

Разделив –4 x ² на 2 x , я получу –2 x , которые я положил поверх. Умножив это –2 x на 2 x — 5, я получу –4 x ² + 10 x , которые я поместил ниже.Затем я меняю знаки, складываю и убираю +15 от предыдущего дивиденда. Это дает мне –10 x + 15 в качестве моей новой чистой прибыли:

Разделив –10 x на 2 x , я получу –5, которое кладу поверх. Умножая –5 на 2 x — 5, я получаю 10 x + 25, которые кладу ниже. Затем я меняю знаки и складываю, в результате остается -10:

Мне нужно запомнить, чтобы прибавил остаток к полиномиальной части ответа:

• Разделить 4

  x ⁴ + 1 + 3 x ³ + 2 x на x ² + x + 2

Сначала я переставлю дивиденды, чтобы члены записывались в обычном порядке:

Я заметил, что в дивиденде нет члена x ² , поэтому я создам его, добавив член 0 x ² к дивиденду (внутри символа деления), чтобы освободить место для моей работы.

Тогда я сделаю деление обычным способом. Разделив 4 x ⁴ на x ² , я получу 4 x ² , которые я положил сверху. Затем я перемножаю и так далее, получая новую нижнюю строку:

Деление — x ³ на x ² , получаю — x , которое кладу поверх. Затем я умножаю и т. Д. И т. Д .:

Разделив –7 x ² на x ² , я получу –7, которое я положил сверху.Затем я умножаю и т. Д. И т. Д .:

И затем я закончил деление, потому что остаток линейный (11 x + 15), а делитель квадратичный. Квадратичный не может делиться на линейный многочлен, поэтому я зашел так далеко, как мог.

Тогда мой ответ:

Чтобы добиться успеха с полиномиальным делением в столбик, вам нужно писать аккуратно, не забывать менять знаки при вычитании и работать аккуратно, правильно выстраивая столбцы.Если вы это сделаете, то эти упражнения не должны быть очень тяжелыми; раздражает, может быть, но не сложно.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске, выполняя длинное полиномиальное деление. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Разделить с помощью длинного полиномиального деления», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/polydiv3.htm

10 примеров десятичного деления, которые учителя должны использовать

В этом посте мы поговорим о десятичном делении, показывая различные примеры для облегчения понимания. Давайте сначала узнаем немного о теме.

Как следует из названия, в этом разделе рассматривается операция деления чисел на десятичные дроби.Когда используются десятичные дроби, детей немного запутывают. Не волнуйтесь, из этого поста вы узнаете несколько хороших методов работы с десятичными знаками.

Мы также говорили о простом подходе к решению таких операций с соответствующими примерами. Не только школьные экзамены, если хорошо практиковаться в повседневной жизни, они будут полезны на конкурсных экзаменах, где время решает все.

Дивиденд — целое число, делитель — десятичный.

Пример № 1

375 деление на 1.5

Типичный способ выполнения таких примеров — умножение делимого и делителя на степень 10 в качестве десятичных знаков. Если после десятичной точки стоит одно число, мы умножим делитель на 10. Таким образом, мы получим целое число в качестве делителя для деления делимого.

Далее получаем:

375 x 10 = 3750, 1,5 x 10 = 15

Далее мы разделим его обычным способом.

Пример № 2

484 делить на 0,22

Здесь после десятичной точки в делителе стоят два числа, поэтому мы возьмем степень 2 из 10 i.е. 100. Таким образом мы умножим делитель и делимое на 100. Получаем:

484 x 100 = 48400, 0,22 x 100 = 22

Далее мы разделим обычным способом.

Дивиденд находится в десятичном формате, делитель — это целое число

Пример № 3

В примерах, где делимое выражено в десятичном формате, а делитель — нет, мы будем использовать наиболее распространенный метод деления в столбик. Подход здесь состоит в том, чтобы решить операцию, игнорируя десятичную дробь и просто помещая десятичную точку в ответ непосредственно над десятичной точкой в ​​делимом.

Давайте возьмем для примера, 134,4 делить на 4

Игнорируя десятичную дробь, сначала мы разделим 1344 на 4

Затем мы поместим десятичную точку в частном прямо над делимым 134,4. Ответ: 33,6

Пример # 4

Давайте воспользуемся примером 564,775, деленного на 5

Опять же, мы проигнорируем десятичную точку и решим методом длинного деления

После получения частного мы поместим десятичная точка, как было сказано ранее.

И делимое, и делитель в десятичном формате

Пример # 5

Когда и делимое, и делитель в десятичном формате, мы сосредоточимся на десятичном значении делителя. Сделаем делитель на целое число.

Либо мы могли бы умножить и делитель, и делимое на мощность кратных, аналогичную числу после десятичных знаков делителя, либо удалить десятичную дробь из делителя и переместить десятичную точку делимого вправо на столько цифр, сколько имеет делитель. после десятичной точки.

После этого шага мы будем использовать тот же метод, который мы использовали для примера 3 и примера 4.

Давайте решим 37,5, деленное на 2,5

Сначала удалим десятичную точку делителя и переместим десятичную дробь делимого. шаг вправо.

Получаем 375 деление на 25.

Далее решаем методом деления в столбик.

Пример № 6

Давайте решим 449,5, деленное на 1,45

Сначала удалим десятичную точку делителя и переместим десятичную дробь делимого на два шага вправо.Поскольку после десятичного числа идет только одно число, в конце мы поставим 0.

Получаем 44950 делим на 145

Далее решаем методом длинного деления.

Пример № 7

Давайте разделим 56,55 на 2,5 ,

Сначала мы удалим десятичные дроби делимого и переместим десятичные дроби делимого аналогично рассмотренному выше.

Здесь мы по-прежнему остались с десятичной дробью. Используйте длинное деление, как мы использовали в примерах 3 и 4.

Десятичное деление на дробное

При работе с десятичными числами всегда рекомендуется делать вопрос как можно более простым.Упростите его так, как вам удобно. В следующем разделе мы поговорили о возможных способах сделать это.

Обратите внимание, что не существует фиксированного метода для этого. Он разный для разных типов задач десятичных операций. Основная идея — следовать подходу, который вам удобен. Давайте посмотрим на некоторые из них.

Example # 8

Это, вероятно, наиболее распространенный подход, используемый для более быстрого деления десятичных дробей. Мы записываем операцию деления в форме дроби и отменяем десятичную дробь в соответствии с ее положением.Продолжайте упрощать форму, разделив числитель и знаменатель на общее кратное.

Решить 94,5, разделить на 1,5

Запишите операцию в дробной форме. Это будет выглядеть как 94,5 / 1,5.

Затем мы отменяем десятичную дробь -> 945/15

Далее мы упростим согласно диаграмме.

Example # 9

Иногда мы умножаем числитель и знаменатель, отличные от 10, чтобы упростить задачу. Подход здесь состоит в том, чтобы преобразовать его в удобную для нас форму, поскольку мы уже делали это несколько раз.

Возьмем этот пример: 6,3 разделить на 1,4

Игнорируя десятичную дробь на этом шаге, мы получим 63/14

Между числителем и знаменателем есть одна общая черта: оба они кратны 7.

Далее мы будем разделите 14 на 2, чтобы получилось 7. Точно так же мы разделим 63 на 2, чтобы сбалансировать. Все это можно записать в дробной форме, как показано на рисунке. Далее упрощаем операцию и получаем ответ.

Example # 10

Давайте воспользуемся тем же подходом, что и выше, для решения случая «Дивиденд — это целое число, а делитель — в десятичном формате».

Решите 387 разделить на 4,5

Вместо того, чтобы отменять десятичную дробь здесь, умножая ее на 10, лучше сделать делитель целого числа, умножив его на 2, что дает 9. Чтобы сбалансировать его, мы умножаем делимое на 2 также.

Причина, по которой мы выбираем умножение на 2, потому что делитель становится 9, а поскольку мы знаем, что 387 делится на 9, вычисления стали намного проще. Если мы выберем умножение на 10 маршрутов, дробь станет 3870/45, что требует небольшого расчета.

Поделитесь словом

Если вы найдете этот пост полезным, пожалуйста, помогите нам распространить информацию. Поделитесь публикацией с друзьями, семьей и коллегами. Не забывайте подписываться на наши обновления. Любые предложения и рекомендации настоятельно рекомендуются.