2-4·3·2=1-24=-23\)

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\)

\(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений

Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)

Скачать статью

Урок математики в 5-м классе по теме «Решение уравнений»

~ 1~

Лещёв Александр Сергеевич,учитель математики МБОУ «УстьМильская ООШ», с. УстьМильРС(Я)[email protected]

Урок математики в 5м классе по теме «Решение уравнений»

Аннотация.В статье представлено занятие по математике в 5 классе, которое рассчитано на 2 часа. Занятие содержит организационные моменты дополнительного математического образования учащихся.При проведении рекомендуется использовать презентацию с картинками, анимацией, звуками.Ключевые слова:математика, развитие творческих способностей, творческий подход, игровая ситуация, занимательная математика.

Цели:Обобщить и систематизировать материал по данной темеНаучить обобщать знания, осмысливать материал, делать выводы по материалу обязательного уровня. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических зданий стандартного уровня с переходом на более сложный уровень.Содействовать рациональной организации труда; введением игровой ситуации снять нервнопсихическое напряжение; развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать уних положительный мотив учения[1].Оформление:проектор, компьютер, раздаточный материал.

Ход урока1. Организационный моментМотивационная беседа.2. Сообщение правил игры–разбить класс на две команды;–выбрать название команды;–выигрывает та команда, которая набирает большее количество своих знаков;–команда, которая с очередным заданием справилась быстрее, имеет право выбораследующего задания;–главное условие игры –начинать с конкурса «Вспомнить»3. Актуализация опорных знанийВходной контроль.Конкурс «Вспомни»Каждой команде предлагается вспомнить правила нахождения неизвестных компонентов при решении уравнений, содержащих только действия первой ступени. Задание этого конкурса заключается в том, чтобы восстановить недостающие цифры в магическом шестиугольнике, решая различные уравнения. Эту фигуру составил любитель математики Адамс после 50 –летних проб. Требуется в клетках шестиугольника расставить числа от 1 до 19 так, чтобы сумма в любом ряду (по трем направлениям) всегда была равна 38.

~ 2~

Рис.1

4.Игровые действияСледующие конкурсы проходят в таком порядке, в котором их выбирают команды, проставляя в таблице названия своих команд, поэтому структура урока может измениться в ходе игры.Математическая шуткаТеорема: Ученики ничего не делают.Доказательство:1. По ночам занятий нет, значит, половина суток свободна. Остается 365 –182 = 183 (дня).2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (т.е. четвертая часть суток) может быть свободна.Остается 183 –183: 4? 137 (дней). 3. В году 52 воскресенья. Из них наканикулы приходится? 15 дней, таким образом, выходных в учебном году 52 –15 = 37 (дней).Итого остается 137 37 = 100 (дней). 4. Но есть еще каникулы: осенние (? 5 дней), зимние (? 10 дней), весенние (? 7 дней), летние (? 78 дней).Всего 5 + 10 + 7 + 78 = 100 (дней). 5. Итак, школьники заняты в году 100 –100 = 0 (дней).ит.д.Вопрос: А когда же учиться?Где ошибка в рассуждениях?Ответ: Каникулы и воскресенья подсчитаны дважды[2].Конкурс «Загадай желание»Каждой команде предлагается загадать число, с помощью которого можно составить магический треугольник, при этом учесть, что числа от 1 до 6 уже расставлены определенным образом, запись задания ведется в тетрадь для последующего выполнения дома. Таким образом, учащиеся получают одно из домашних заданий.

Рис.2.

~ 3~

Конкурс «Переливания»Как с помощью семилитрового ведра и трехлитровой банки налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?Решение. С помощью трехлитровой банки нальем 6 л воды в ведро.Еще раз нальем 3 л воды в банку и наполним семилитровое ведро доверху. Тогда в банке останется 2 л воды, которую выльем в кастрюлю. Добавим к ним 3 л воды с помощью банки, получим всего5 л воды. Возможны и другие варианты решения[4].Конкурс «Реши уравнение»

Каждой команде предлагается уравнение:21 + (16 + х) = 56248 : (41 –2х) = 8Конкурс «Составьзадачу по уравнению»

Каждой команде дается уравнение, по которому надо составить задачу.2х + 3 = 175х –2 = 48[3]Конкурс ««Перебор вариантов»1.Три богатыря–Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович, защищая от нашествия родную землю, срубили Змею Горынычу все 13 голов. Больше всех срубил Илья Муромец, а меньше всех –Алёша Попович. Сколько голов мог срубить каждый из них?2. На сколько частей можно разделить квадрат тремя прямыми линиями?3. В буфете продаются варенье, печенье, леденцы, халва и шоколад. Малыш хочет купить какието три различных сладости. Какие наборы сладостей он может приобрести? Выпиши все варианты[5, 6].Конкурс «!»Каждая команда, предварительно ознакомившись с текстом сообщения, содержащего сведения о симметричных числах, должна выполнить вычисления.Возьмите двузначное число из промежутка от 11 до 99. прибавьте к нему записанное справа налево исходное число (зеркальное). К результату прибавьте его зеркальное число, например: 39+93=132; 132+231=363. Получили число, которое называется симметричным. Из промежутка от11 до 99 лишь 4 числа более упрямы и для получения симметричных чисел требуют не одно сложение, а даже от одного до четырех сложений. Для двух самых упрямых чисел требуется даже 24! сложения. Сколько же это на самом деле? Попробуйте вычислить 24! Если число найдено, научите своего соседа выполнять такие вычисления.Конкурс «Черный ящик»

Каждой команде предлагается решить задачупомощью уравнения.«Периметр прямоугольника 288 см. Найдите стороны этого прямоугольника, если его ширина в 3 раза меньше длины»Конкурс «Эрудит»Почему одна из систем счисления носит название двенадцатеричная? Приведите примеры.5. Итог урокаПодвести итоги. Победителям выставить высшие баллы, а проигравшим на балл ниже. Учителю дается право оценить индивидуально нескольких учащихся в зависимости от их активности на уроке.6. Домашнее задание.Как дополнение к домашнему заданию, можно предложить творческую работу –придумать новые конкурсы, составить сценарийновой игры.7. Рефлексия.В конце урока опросить учеников, выяснить, что нового они узнали на уроке, чем можно дополнить урок, что изменить, чтобы стало еще лучше и интереснее.~ 4~

Ссылки на источники1.Математика. Итоговые уроки. 5 –9 классы/ Авт. –сост. О. В. Бощенко. –Волгоград: Учитель, 2005. –69 с.2.Дундина В. В. Система внеклассной и внеурочной работы по математике // Концепт: Актуальные вопросы основного и дополнительного математического образования. Выпуск 3. 2015. ART 65229. URL: http://ekoncept.ru/teleconf/65229.html Гос. рег. Эл № ФС 7749965. ISSN 2304120X. –[Дата обращения 6.05.2015]3.Виленкин Н. Я., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., Жохов В. И. Математика: учебник для 5 класса средней школы. –М.: Просвещение, 1990. –304 с4.Пукемова И. И. Внеклассное мероприятие по математике в 56 классах «Тропа семи испытаний» // Концепт: Актуальные вопросы основного и дополнительного математического образования. Выпуск 3. 2015. ART 65232. URL: http://ekoncept.ru/teleconf/65232.html Гос. рег. Эл № ФС 7749965. ISSN 2304120X.[Дата обращения 6.05.2015]5.Горев П. М. Уроки развивающей математики в 5–6х классах средней школы// Концепт.–2012.–№ 10 (октябрь).–ART12132.–0,6 п. л.–URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/12132.htm.–Гос. рег. Эл № ФС 7749965. –ISSN 2304120X [Дата обращения 6.05.2015]6.Горев П. М., Утёмов В. В. Уроки развивающей математики. 5–6 классы: Задачи математического кружка: Учебное пособие. Киров: Издво МЦИТО, 2014. –207 с.

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 7 класс онлайн-подготовка на

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение

(х-10)(х+5)(х-7) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения

Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0

Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7

Это уравнение имеет три корня.

А вот уравнение

0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.

Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.

Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0

Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Выразим неизвестный множитель х.

х = ab

Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.

Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней, ведь на ноль делить нельзя.

Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство

0*х = 0 верно при любых значениях х.

Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.

Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.

Рассмотрим задачу:

За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.

Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.

По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.

Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.

В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:

(х+2)*9 = (х-2)*11

9х+18 = 11х-22

11х-9х = 18+22

2х = 40

х = 20

За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.

Тема урока: Уравнения (5 класс) Урок 1. Батуева В.Д.

Урок математики в 3 «б» классе

Урок математики в 3 «б» классе Тема: Переменная. Запись выражений и предложений с помощью переменной Цели: 1. Дать понятие о переменной, как букве, обозначающей меняющиеся (переменные) значения элементов

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока ФИО Попенкова Татьяна Сергеевна КЛАСС 3 УМК «Начальная школа XXI век» ПРЕДМЕТ Математика ТЕМА Умножение многозначного числа на двузначное. ТИП Урок открытия нового знания. ЦЕЛЬ

Подробнее

Технологическая карта урока математики

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДСКОГО ОКРУГА ПОДОЛЬСК КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 1» (МОУ «Лицей 1») Технологическая карта урока математики Урок математики в 6 классе

Подробнее

Технологическая карта урока математики.

Технологическая карта урока математики. Андреева Надежда Николаевна Тема урока «Умножение десятичных дробей на натуральное число» (5 класс) Цели (задачи) урока образовательные: Формировать умения выполнять

Подробнее

Тема урока: «НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА» (5 класс)

4 Тема урока: «НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА» (5 класс) Содержание Натуральные числа и их сравнение. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Цель изучения 1. Закрепить и развить навыки сравнения

Подробнее

Конспект открытого урока

Конспект открытого урока Учитель: Класс: Тема урока: Дата проведения урока: Цели урока: Задачи урока: Применяемые технологии: Токарева Е.А. 3 «А» «Решение уравнений» 5 февраля 2013 года — повышение уровня

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Предмет, класс Математика, 5 Учитель Лапина В.В. Тема урока, урока по теме Формулы, 1 Цель урока Формирование понятия «формула» и умение пользоваться формулами при решении задач

Подробнее

Вынесение множителя из-под знака корня

ГБОУ ГИМНАЗИЯ 190 Технологическая карта урока алгебры, 8 класс Вынесение множителя из-под знака корня Фролова Любовь Алексеевна, учитель математики 01.02.2016 Урок алгебры в 8классе Тема «Вынесение множителя

Подробнее

К О Н С П Е К Т. урока математики. 1 класс

Яблоновская МБОУ СОШ 5 К О Н С П Е К Т урока математики 1 класс Тема урока: «Сложение вида + 7 (с переходом через десяток)». Подготовила и провела: учитель начальных классов Яблоновской МБОУ СОШ 5 Ермоленко

Подробнее

! Черный ящик Тест-прогноз

Длина окружности и площадь круга Цели: 1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме. 2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока 1. Учитель: 2. Класс: 5 Дата: Предмет: математика 3. Место и роль урока в изучаемой теме: урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления) третий урок в блоке

Подробнее

Сложение и вычитание смешанных чисел

Предмет: Математика Класс: 5 «Б» класс Сложение и вычитание смешанных чисел Учебник: Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Подробнее

«Числовые и буквенные выражения».

Муниципальное казѐнное общеобразовательное учреждение «Дуровская средняя общеобразовательная школа» Сафоновского района Смоленской области «Числовые и буквенные выражения». Учитель математики I категории

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Предмет, класс Математика, 5А Автор (ы) УМК Н. Я. Виленкин, М.; Мнемозина, 2012 год ФИО учителя, школа Страшнова Г. А. МОУ СОШ 2 Тема урока Умножение десятичных дробей на натуральные

Подробнее

3*4 5 6*2 32: :5

МБОУ СОШ 7 Открытый урок математики в 3 классе по теме: Учитель: Салтанова Лариса Владимировна 17 апреля 2014г. Цели: а) деятельностная — формировать у учащихся умений реализовать новые способы действий;

Подробнее

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. АРИФМЕТИКА ДИОФАНТА

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.

Подробнее

Урок математики в 1Б классе по программе «Школа России» по теме: «Задачи в два действия». Первый урок в теме, когда дети переходят от решения задач-цепочек к решению задач в два действия. Цели деятельности

Подробнее

2 класс. Математика. Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений — Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений

Комментарии преподавателя

§1. Что такое уравнение?

Вам уже знакомы такие математические понятия, как «выражение», «равенство», «неравенство».

«Уравнение» — это еще одно математическое понятие, с ним мы и познакомимся в этом уроке.

Давайте попробуем решить следующую задачу:

Фрекен Бок испекла 5 пирожков и положила их на тарелку.   Когда она отошла от стола, Карлсон подлетел и взял несколько пирожков.   На тарелке осталось только 2 пирожка.   Сколько пирожков взял Карлсон?

На основании условий задачи мы можем сделать такую запись: Всего Фрекен Бок испекла 5 пирожков. Запишем число 5. Карлсон взял пирожки, следовательно, количество пирожков уменьшилось, поэтому поставим знак  « – ». Сколько Карлсон взял пирожков, неизвестно, поэтому вместо числа оставим пустую клетку. Всего на тарелке осталось 2 пирожка. Запишем = 2.

Теперь давайте вместо пустой клетки – неизвестного числа, вставим букву, например, а. Получится следующая запись: 5 – а = 2

Такие равенства, в которых есть неизвестные числа, обозначенные буквой, называютуравнениями.

§2. Корень уравнение и метод подбора при решении уравнения

В уравнениях могут присутствовать любые математические знаки,  как «–», так  «+», например:  5 – а = 2, 5 + а = 9

В уравнениях неизвестное число принято обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Часто используют буквы x, y, z.

Например:

6 + у = 13

z – 8 = 3

х + 5 = 9

Вернемся к задаче про пирожки.

Полученное нами уравнение выглядит таким образом: 5 – а = 2.

Давайте попытаемся определить, какое число спряталось за буквой а?

Для этого будем подставлять вместо а разные числа до тех пор, пока не найдем число, подстановка которого сделает это равенство верным.

Подставим вместо а число 1.

Получим 5 – 1 = 2.

Но это неверное равенство, так как 5 – 1 = 4, а не 2.

Значит, а не может быть равным 1.

Подставим вместо а число 2.

Получим 5 – 2 = 2.

Это тоже неверное равенство, т.к. 5 – 2 = 3, а не 2.

Следовательно, а не может быть равным 2.

Подставим вместо а число 3.

Получим 5 – 3 = 2.

Мы получили верное равенство.

Значит, в уравнении 5 – а = 2 за  буквой а спряталось число 3.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

Следовательно, в нашем случае число 3 является корнем уравнения 5 – а = 2.

Способ, с помощью которого мы нашли корень уравнения, называется методом подбора.

Итак, подведем итоги урока:

Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное латинской буквой.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

 

ИСТОЧНИКИ

https://vimeo.com/112468248

http://znaika.ru/catalog/2-klass/matematika/Ponyatie-%C2%ABuravnenie%C2%BB.-Koren-uravneniya.-Reshenie-uravneniy

http://www.youtube.com/watch?v=Hbm7kWk5J34

http://www.youtube.com/watch?v=uzAgNOT5D0E

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Loading…

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

• Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax²+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:  D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x₁=3; x₂=-2

№2  x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x²-8x=0, 5x²+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax²+bx=0  x(ax+b)=0  x₁=0 x₂=-b/a

№1  3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0      3x+6=0   3x=-6     x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

№2  x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4
x₁=2

x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

2. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

3. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

4. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

6. Решите квадратное уравнение:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 скачать файл

Дата публикации — 03.12.2017

Уравнение. Корень уравнения | Математика

Уравнение — это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.

Например, равенство  10 — x = 2  является уравнением, так как оно справедливо только при  x = 8.  Равенство  x² = 49  — это уравнение, справедливое при двух значениях  x,  а именно, при

x = +7   и   x = -7,

так как

(+7)² = 49   и   (-7)² = 49.

Если вместо  x  подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как  x,  которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита  x,  y  и  z.

Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака  =,  называется левой частью уравнения, а стоящее справа — правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:

Корни уравнения

Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.

Например, корнем уравнения

10 — x = 2

является число  8,  а у уравнения

x² = 49

два корня —  +7  и  -7.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Виды уравнений

Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которые кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.

Примеры:

x — a = b + c;

3x + c = 2a + 5.

По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.

Примеры:

7x + 2 = 35 — 2x  — уравнение с одним неизвестным,

3x + y = 8x — 2y  — уравнение с двумя неизвестными.

Решение линейных уравнений: все типы

An

уравнение

должен иметь знак равенства,
как в

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

А

линейное уравнение

— это переменная, в которой переменные умножаются на числа или добавляются к числам, и ничего более сложного, чем это (без экспонентов, квадратных корней,

1

Икс

, или любой другой забавный бизнес).

А

решение

к уравнению это число
который может быть подключен к переменной, чтобы получить истинное числовое выражение.

Например, подставив

2

для

Икс

в

3

Икс

+

5

знак равно

11

дает

3

(

2

)

+

5

знак равно

11

, что говорит

6

+

5

знак равно

11

; это правда!
Так

2

это решение.

Но как начать с уравнения и получить (не догадываться)
решение?

Одношаговые линейные уравнения

Некоторые линейные уравнения можно решить за одну операцию.Для этого типа уравнения используйте

обратный
операция

решать.

Пример 1:

Решить для

п

.

п

+

8

знак равно

10

Обратной операцией сложения является вычитание. Итак, вычтите

8

с обеих сторон.

п

+

8

—

8

знак равно

10

—

8

п

знак равно

2

Пример 2:

Решить для

у

.

3

4

у

знак равно

15

Обратная операция умножения — это деление.
Итак, разделите обе стороны на

3

4

(

что то же самое, что умножение на

4

3

)

.

4

3

⋅

3

4

у

знак равно

4

3

⋅

15

у

знак равно

20

Двухступенчатые линейные уравнения

Чаще всего нам нужны две операции для решения линейного
уравнение.

Пример 3:

Решить для

Икс

.

3

Икс

+

5

знак равно

11

3 Икс + 5 знак равно 11	Данный уравнение.
3 Икс + 5 — 5 знак равно 11 — 5	Чтобы изолировать переменную, мы следуем порядку операций в обратном порядке.Мы отменяем сложение перед отменой умножения. Вычесть 5 с обеих сторон.
3 Икс знак равно 6	Мы отменили одну операцию. Еще один.
3 Икс 3 знак равно 6 3	Разделите обе стороны на 3 .
Икс знак равно 2	Мы решили уравнение!

То, что делает эти уравнения

линейный

является
что высшая сила

Икс

является

Икс

1

(нет

Икс

2

или другой
полномочия; для тех, см.

квадратные уравнения

а также

многочлены

).

Другие линейные уравнения имеют более одной переменной: например,

у

знак равно

3

Икс

+

2

. Это уравнение имеет не одно, а бесконечное множество решений; решения могут быть

нарисованный

как линия на плоскости.

Кинематические уравнения

Цель этого первого раздела «Класса физики» состояла в том, чтобы исследовать различные средства, с помощью которых можно описать движение объектов.Разнообразие представлений, которые мы исследовали, включает словесные представления, графические представления, числовые представления и графические представления (графики положения-времени и графики скорости-времени). В Уроке 6 мы исследуем использование уравнений для описания и представления движения объектов. Эти уравнения известны как кинематические уравнения.

Есть множество величин, связанных с движением объектов — смещение (и расстояние), скорость (и скорость), ускорение и время.Знание каждой из этих величин дает описательную информацию о движении объекта. Например, если известно, что автомобиль движется с постоянной скоростью 22,0 м / с, на север в течение 12,0 секунд для смещения на север на 264 метра, то движение автомобиля полностью описано. И если известно, что вторая машина ускоряется из положения покоя с ускорением на восток 3,0 м / с ² в течение 8,0 секунд, обеспечивая конечную скорость 24 м / с, восток и смещение на восток 96 метров. , то полностью описывается движение этой машины.Эти два утверждения дают полное описание движения объекта. Однако не всегда такая полнота известна. Часто бывает так, что известны лишь некоторые параметры движения объекта, а остальные неизвестны. Например, приближаясь к светофору, вы можете узнать, что ваша машина развивает скорость 22 м / с, восток и способна выдерживать заносное ускорение 8,0 м / с ² , запад. Однако вы не знаете, какое смещение испытает ваша машина, если бы вы резко нажали на тормоз и занесло до полной остановки; и вы не знаете, сколько времени потребуется, чтобы остановиться.В таком случае неизвестные параметры могут быть определены с использованием физических принципов и математических уравнений (кинематических уравнений).

БОЛЬШОЙ 4

Кинематические уравнения — это набор из четырех уравнений, которые можно использовать для предсказания неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация. Уравнения можно использовать для любого движения, которое можно описать как движение с постоянной скоростью (ускорение 0 м / с / с) или движение с постоянным ускорением.Их нельзя использовать в течение какого-либо периода времени, в течение которого изменяется ускорение. Каждое из кинематических уравнений включает четыре переменные. Если известны значения трех из четырех переменных, то можно рассчитать значение четвертой переменной. Таким образом, кинематические уравнения предоставляют полезные средства прогнозирования информации о движении объекта, если известна другая информация. Например, если известно значение ускорения, а также начальное и конечное значения скорости буксирующего автомобиля, то смещение автомобиля и время можно предсказать с помощью кинематических уравнений.Урок 6 этого модуля будет посвящен использованию кинематических уравнений для прогнозирования числовых значений неизвестных величин для движения объекта.

Четыре кинематических уравнения, описывающие движение объекта:

В приведенных выше уравнениях используются различные символы. Каждый символ имеет свое особое значение. Символ d обозначает смещение объекта. Символ t обозначает время, в течение которого объект двигался.Символ a обозначает ускорение объекта. А символ v обозначает скорость объекта; индекс i после v (как в v _i ) указывает, что значение скорости является начальным значением скорости, а индекс f (как в v _f ) указывает, что значение скорости является окончательным значением скорости.

Каждое из этих четырех уравнений надлежащим образом описывает математическую связь между параметрами движения объекта. Таким образом, они могут использоваться для прогнозирования неизвестной информации о движении объекта, если известна другая информация.В следующей части Урока 6 мы исследуем, как это сделать.

Решения NCERT

, класс 11 — Глава 5 Комплексные числа и квадратные уравнения — Упражнение 5.1 | Set 1

Класс 11 Решения NCERT — Глава 5 Комплексные числа и квадратные уравнения — Упражнение 5.1 | Set 1

Для Q.1 — Q.10 выразите каждое комплексное число в форме a + ib

Вопрос 1. (5i)

Решение:

Пусть данное число будет a,

a = (5i) *

a =

a = (-3) * i ²

a = (-3) * (- 1)

a = 3 + 0i

Вопрос 2 .i ⁹ + i ¹⁹

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = i ⁹ * (1 + i ¹⁰ )

a = ((i ⁴ ) ² * i) (1 + (i ⁴ ) ² (i ² ))

a = (1 * i) (1 + i ² )

a = (i) * (0)

a = 0 + 0i

Вопрос 3. i ^-39

Решение:

Пусть данное число будет a, и пусть z = i ³⁹ ,

z = (i) * (i ² ) ¹⁹

z = (i) * (- 1) ¹⁹

z = -i

a = i ^-39

a = 1 / i ³⁹

a = 1 / z

a = 1 / -i

a = (i ⁴ ) / — i

a = -i ³ = — (i ² * i)

a = -1 * -i

a = 0 + i

Вопрос 4.3 (7 + 7i) + i (7 + 7i)

Решение:

Пусть задано число a,

a = 3 * (7 + 7i) + i * (7 + 7i)

a = 21 + 21i + 7i + 7i ²

a = 21 + 7i ² + 28i

a = 21-7 + 28i

a = 14 + 28i

Вопрос 5. (1-i) — (- 1 + i6)

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = (1-i) — (- 1 + 6i)

a = 1 -i + 1-6i

a = 2-7i

Вопрос 6.( ) — (4+ )

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a =

a =

a =

a = () + ()

a =

Вопрос 7. [( ) + (4+ ] — ( + i)

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = (+) + (4 +) — (+ i)

a = (+4 +) + (- i)

a = (+4) + (- i)

a =

a =

Вопрос 8.(1-i) ⁴

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = ((1-i) ² ) ²

Как известно, ( ab) ² = (a ² + b ² -2ab)

a = (1 + i ² -2i) ²

a = (1-1- 2i) ²

a = (-2i) ²

a = 4i ²

a = -4 + 0i

Вопрос 9.( + 3i) ³

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = (+ 3i) ³

Как известно, (a + b) ³ = (a ³ + b ³ + 3ab (a + b))

a = (() + (3i) ³ +3 () * (3i) (+ 3i))

a = (+ (- 27i) + 3i * (+ 3i))

a = (+ (- 27i) + i + 9i ² )

a = (() -9 + (- 27) i + i)

a = (() -26i)

Вопрос 10.(-2- ( )) ³

Решение:

Пусть заданное число будет a,

a = (-2-) ³

a = — ((2+ ) ³ )

Как известно, (a + b) ³ = (a ³ + b ³ + 3ab (a + b))

a = — ((8) + () ³ +3 (2) * () (2+))

a = — (8 + () + 2i * (2+))

a = — (8- + 4i +)

a = — (8 — + () + 4i)

a = — (+ ())

a =

Глава 5 Комплексные числа и квадратные уравнения — Упражнение 5.1 | Набор 2

Системы линейных уравнений: три переменные

Результаты обучения

• Решите системы трех уравнений с тремя переменными.
• Определите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
• Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, в стандартных обозначениях.

Джон получил наследство в размере 12 000 долларов, которое он разделил на три части и инвестировал тремя способами: в фонд денежного рынка, выплачивающий 3% годовых; в муниципальные облигации с уплатой 4% годовых; и в паевых инвестиционных фондах с выплатой 7% годовых.Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон вложил в каждый тип фонда?

(источник: «Элембис», Wikimedia Commons)

Понимание правильного подхода к постановке таких проблем, как эта, делает поиск решения вопросом следования шаблону. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с использованием трех уравнений и трех переменных. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными.Однако для поиска решений систем трех уравнений требуется немного больше организации и немного визуальной гимнастики.

Решите системы трех уравнений с тремя переменными

Для решения систем уравнений с тремя переменными, известных как системы три на три, основная цель состоит в том, чтобы исключить по одной переменной за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы трех уравнений от трех переменных [latex] \ left (x, y, z \ right), \ text {} [/ latex] называется упорядоченной тройкой .

Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:

1. Поменять местами любые два уравнения местами.
2. Умножьте обе части уравнения на ненулевую константу.
3. Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.

Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете представить себе такое пересечение, представив любой угол прямоугольной комнаты. Угол определяется тремя плоскостями: двумя смежными стенами и полом (или потолком).Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.

Общее примечание: количество возможных решений

На самолетах показаны возможные сценарии решения для систем «три на три».

• Системы с одним решением — это системы, которые после исключения приводят к набору решений , состоящему из упорядоченной тройки [латекс] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [ /латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
• Системы с бесконечным числом решений — это системы, которые после исключения приводят к выражению, которое всегда истинно, например [latex] 0 = 0 [/ latex]. Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
• Системы, у которых нет решения, — это системы, которые после исключения приводят к противоречию, например [латекс] 3 = 0 [/ латекс]. Графически система без решения представлена ​​тремя плоскостями, не имеющими общей точки.

(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с одним решением. (б) Три плоскости пересекаются по линии, представляя систему три на три с бесконечными решениями.

Пример: определение того, является ли упорядоченная тройка решением для системы

Определите, является ли упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] решением системы.

[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 2 \\ 6x — 4y + 5z = 31 \\ 5x + 2y + 2z = 13 \ end {собранный} [/ latex]

Показать решение

Мы проверим каждое уравнение, подставляя значения упорядоченной тройки для [latex] x, y [/ latex] и [latex] z [/ latex].

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 2 \\ \ left (3 \ right) + \ left (-2 \ right) + \ left (1 \ right) = 2 \\ \ text {True } \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 6x — 4y + 5z = 31 \\ 6 \ left (3 \ right) -4 \ left ( -2 \ right) +5 \ left (1 \ right) = 31 \\ 18 + 8 + 5 = 31 \\ \ text {True} \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 5x + 2y + 2z = 13 \\ 5 \ left (3 \ right) +2 \ left (-2 \ right) +2 \ left (1 \ right) = 13 \\ 15 — 4 + 2 = 13 \\ \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] действительно является решением системы.

Как: дана линейная система из трех уравнений, решите относительно трех неизвестных.

1. Выберите любую пару уравнений и решите для одной переменной.
2. Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
3. Вы создали систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решите получившуюся систему два на два.
4. Выполните обратную замену известных переменных в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.

Пример: решение системы трех уравнений с тремя переменными методом исключения

Найдите решение для следующей системы:

[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z = 9 & & \ text {(1)} \\ -x + 3y-z = -6 & & \ text {(2)} \\ 2x — 5y + 5z = 17 & & \ text {(3)} \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Всегда будет несколько вариантов, с чего начать, но наиболее очевидным первым шагом здесь является устранение [latex] x [/ latex] путем добавления уравнений (1) и (2).

[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z & = 9 \\ -x + 3y-z & = — 6 \\ \ hline y + 2z & = 3 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5мм} \ begin {gather} \ text {(1}) \\ \ text {(2)} \\ \ text {(4)} \ end {gather} [/ latex]

Второй шаг — это умножение уравнения (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и прибавление результата к уравнению (3). Эти два шага устранят переменную [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} −2x + 4y − 6z & = — 18 \\ 2x − 5y + 5z & = 17 \\ \ hline −y − z & = — 1 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (2) \ text {умножено на} −2 \\ & \ left (3 \ right) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]

В уравнениях (4) и (5) мы создали новую систему «два на два».Мы можем решить для [latex] z [/ latex], сложив два уравнения.

[латекс] \ begin {align} y + 2z & = 3 \\ -y-z & = — 1 \\ \ hline z & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} (4) \\ (5) \\ (6) \ end {align} [/ latex]

Выбирая по одному уравнению из каждой новой системы, получаем верхнюю треугольную форму:

[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z & = 9 && \ left (1 \ right) \\ y + 2z & = 3 && \ left (4 \ right) \\ z & = 2 && \ left (6 \ справа) \ end {align} [/ latex]

Затем мы обратно подставляем [latex] z = 2 [/ latex] в уравнение (4) и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} y + 2 \ left (2 \ right) & = 3 \\ y + 4 & = 3 \\ y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Наконец, мы можем обратно подставить [latex] z = 2 [/ latex] и [latex] y = -1 [/ latex] в уравнение (1). Это даст решение для [латекс] х [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x — 2 \ left (-1 \ right) +3 \ left (2 \ right) & = 9 \\ x + 2 + 6 & = 9 \\ x & = 1 \ end {align } [/ латекс]

Решение — упорядоченная тройка [латекс] \ left (1, -1,2 \ right) [/ latex].

Попробуй

Решите систему уравнений с тремя переменными.

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + y — 2z = -1 \ hfill \\ 3x — 3y-z = 5 \ hfill \\ x — 2y + 3z = 6 \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Показать решение

[латекс] \ влево (1, -1,1 \ вправо) [/ латекс]

В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных результатов решения системы уравнений с тремя переменными. Также есть отработанный пример решения системы с использованием исключения.

Пример: решение реальной проблемы с помощью системы трех уравнений с тремя переменными

В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три различных фонда: часть фонда денежного рынка с выплатой 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное — в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых.Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, полученных за год, составила 670 долларов. Сколько он вложил в каждый тип фонда?

Показать решение

Чтобы решить эту проблему, мы используем всю предоставленную информацию и составили три уравнения. Сначала мы присваиваем переменную каждой из трех сумм инвестиций:

[латекс] \ begin {align} & x = \ text {сумма, инвестированная в фонд денежного рынка} \\ & y = \ text {сумма, инвестированная в муниципальные облигации} \\ z & = \ text {сумма, инвестированная в паевые инвестиционные фонды} \ end {align} [/ латекс]

Первое уравнение показывает, что сумма трех основных сумм составляет 12 000 долларов.

[латекс] x + y + z = 12 {,} 000 [/ латекс]

Мы составляем второе уравнение на основании информации о том, что Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации.

[латекс] z = y + 4 {,} 000 [/ латекс]

Третье уравнение показывает, что общая сумма процентов, полученных от каждого фонда, равна 670 долларам.

[латекс] 0,03x + 0,04y + 0,07z = 670 [/ латекс]

Затем мы запишем три уравнения в виде системы.

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \\ 0.03x + 0,04y + 0,07z = 670 \ end {align} [/ latex]

Чтобы упростить вычисления, мы можем умножить третье уравнение на 100. Таким образом,

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (1 \ right) \\ -y + z = 4 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (2 \ right) \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]

Шаг 1. Поменяйте местами уравнение (2) и уравнение (3) так, чтобы два уравнения с тремя переменными совпали.

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hfill \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end { align} [/ латекс]

Шаг 2. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -3 [/ латекс] и добавьте к уравнению (2). Запишите результат в строке 2.

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end {align} [/ латекс]

Шаг 3. Добавьте уравнение (2) к уравнению (3) и запишите результат в виде уравнения (3).

[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \ 5z = 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Шаг 4. Найдите [латекс] z [/ латекс] в уравнении (3). Подставьте это значение обратно в уравнение (2) и решите относительно [латекс] y [/ латекс].Затем обратно подставьте значения для [latex] z [/ latex] и [latex] y [/ latex] в уравнение (1) и решите для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} & 5z = 35 {,} 000 \\ & z = 7 {,} 000 \\ \\ & y + 4 \ left (7 {,} 000 \ right) = 31 {,} 000 \ \ & y = 3 {,} 000 \\ \\ & x + 3 {,} 000 + 7 {,} 000 = 12 {,} 000 \\ & x = 2 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Джон вложил 2000 долларов в фонд денежного рынка, 3000 долларов в муниципальные облигации и 7000 долларов в паевые инвестиционные фонды.

Классифицируйте решения для систем по трем переменным

Так же, как с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить несовместимую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что у нее нет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям.Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например [латекс] 3 = 7 [/ латекс] или другому противоречию.

Пример: решение несовместимой системы трех уравнений с тремя переменными

Решите следующую систему.

[латекс] \ begin {align} x — 3y + z = 4 && \ left (1 \ right) \\ -x + 2y — 5z = 3 && \ left (2 \ right) \\ 5x — 13y + 13z = 8 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Глядя на коэффициенты [latex] x [/ latex], мы видим, что мы можем исключить [latex] x [/ latex], добавив уравнение (1) к уравнению (2).

[латекс] \ begin {align} x — 3y + z = 4 \\ -x + 2y — 5z = 3 \\ \ hline -y — 4z = 7 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5мм} \ begin {align} (1) \\ (2) \\ (4) \ end {align} [/ latex]

Затем мы умножаем уравнение (1) на [латекс] -5 [/ латекс] и добавляем его к уравнению (3).

[латекс] \ begin {align} −5x + 15y − 5z & = — 20 \\ 5x − 13y + 13z & = 8 \\ \ hline 2y + 8z & = — 12 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (1) \ text {умножено на} −5 \\ ​​& (3) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]

Затем мы умножаем уравнение (4) на 2 и добавляем его к уравнению (5).

[латекс] \ begin {align} −2y − 8z & = 14 \\ 2y + 8z & = — 12 \\ \ hline 0 & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} & (4) \ text {умножается на} 2 \\ & (5) \\ & \ end {align} [/ latex]

Окончательное уравнение [латекс] 0 = 2 [/ латекс] является противоречием, поэтому мы заключаем, что система уравнений несовместима и, следовательно, не имеет решения.

Анализ решения

В этой системе каждая плоскость пересекает две другие, но не в одном месте.Следовательно, система непоследовательна.

Попробуй

Решите систему трех уравнений от трех переменных.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 2 \ hfill \\ \ text {} y — 3z = 1 \ hfill \\ 2x + y + 5z = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащей три переменные

Мы знаем из работы с системами уравнений с двумя переменными, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений.То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может возникнуть из нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на линии, имеющей бесконечное количество решений. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.

Пример: поиск решения зависимой системы уравнений

Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y — 3z = 0 && \ left (1 \ right) \\ 4x + 2y — 6z = 0 && \ left (2 \ right) \\ x-y + z = 0 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Во-первых, мы можем умножить уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавить его к уравнению (2).

[латекс] \ begin {align} −4x − 2y + 6z = 0 & \ hspace {9mm} (1) \ text {умножено на} −2 \\ 4x + 2y − 6z = 0 & \ hspace {9mm} ( 2) \ end {align} [/ latex]

Нам больше не нужно идти. В результате мы получаем тождество [latex] 0 = 0 [/ latex], которое говорит нам, что эта система имеет бесконечное количество решений.Есть и другие способы начать решать эту систему, например, умножив уравнение (3) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавив его к уравнению (1). Затем мы выполняем те же шаги, что и выше, и находим тот же результат, [latex] 0 = 0 [/ latex].

Когда система зависима, мы можем найти общие выражения для решений. Складывая уравнения (1) и (3), получаем

[латекс] \ begin {align} 2x + y − 3z = 0 \\ x − y + z = 0 \\ \ hline 3x − 2z = 0 \ end {align} [/ latex]

Затем мы решаем полученное уравнение для [латекс] z [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 3x — 2z = 0 \\ z = \ frac {3} {2} x \ end {align} [/ latex]

Мы обратно подставляем выражение для [латекс] z [/ латекс] в одно из уравнений и решаем для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} & 2x + y — 3 \ left (\ frac {3} {2} x \ right) = 0 \\ & 2x + y- \ frac {9} {2} x = 0 \\ & y = \ frac {9} {2} x — 2x \\ & y = \ frac {5} {2} x \ end {align} [/ latex]

Итак, общее решение — [латекс] \ left (x, \ frac {5} {2} x, \ frac {3} {2} x \ right) [/ latex]. В этом решении [latex] x [/ latex] может быть любым действительным числом.Значения [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex] зависят от значения, выбранного для [latex] x [/ latex].

Анализ решения

Как показано ниже, две плоскости одинаковы, и они пересекают третью плоскость по прямой. Множество решений бесконечно, так как все точки на линии пересечения удовлетворяют всем трем уравнениям.

Вопросы и ответы

Всегда ли общее решение зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс] x? [/ Latex]

Нет, вы можете написать общее решение в терминах любой из переменных, но обычно его пишут в терминах [латекс] x [/ латекс] и, если необходимо, [латекс] x [/ латекс] и [латекс] ] y [/ латекс].

Попробуй

Решите следующую систему.

[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 7 \\ 3x — 2y-z = 4 \\ x + 6y + 5z = 24 \ end {собранный} [/ latex]

Показать решение

Бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 4x — 11, -5x + 18 \ right) [/ latex].

Ключевые понятия

• Набор решений — это упорядоченная тройка [latex] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [/ latex], которая представляет собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
• Систему трех уравнений с тремя переменными можно решить, выполнив ряд шагов, которые заставят исключить переменную.Эти шаги включают в себя изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
• Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных проблем.
• Система уравнений с тремя переменными несовместима, если не существует решения. После выполнения операций исключения получено противоречие.
• Несогласованные системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, пересекающих две другие, но не в одном и том же месте.
• Система уравнений с тремя переменными является зависимой, если она имеет бесконечное число решений. После выполнения операций исключения результатом будет личность.
• Системы уравнений с тремя зависимыми переменными могут быть результатом трех идентичных плоскостей, трех плоскостей, пересекающихся на одной линии, или двух идентичных плоскостей, пересекающих третью на прямой.

Глоссарий

набор решений набор всех упорядоченных пар или троек, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе уравнений

Математика

HONORS

9006 4 5

MATH 1A	Calculus	5
MATH 1AH	Calculus — HONORS	5
MATH 1B	Calculus	5
MATH 1BH	5
MATH 1C	MATH 1CH
MATH 1CH	Calculus — HONORS	5
MATH 1D	MATH 1DH	5
MATH	Исчисление — HONORS	5
MATH 2A	Дифференциальные уравнения	5
MATH 2AH	Дифференциальные уравнения — HONORS	5
MATH 2B	Линейная алгебра	5
MATH 2BH	Линейная алгебра — HONORS	5
MATH 10	Вводная статистика	5
MATH 10H 10H	Вводная статистика — HONORS	5
MATH 11	Конечная математика	5
MATH 11H	Конечная математика — HONORS	5
MATH 12	Вводный расчет для бизнеса и социальных сетей Наука	5
MATH 17	Интегрированная статистика 2	5
MATH 22	Дискретная математика
MATH 23	Инженерная статистика	5
MATH 31	Предварительное вычисление I	5
MATH 31A	Предварительное вычисление I (Часть 1)	2.5
MATH 31B	Precalculus I (Part 2)	2.5
MATH 32	Precalculus II	5
MATH 41	Precalculus I: Теория функций	5
MATH 41H	Precalculus I: теория функций — HONORS	5
MATH 42	Precalculus II: тригонометрические функции	5
MATH 42H	Precalculus II: тригонометрические функции	— HONORS 5
MATH 43	Precalculus III: Advanced Topics	5
MATH 43H	Precalculus III: Advanced Topics — HONORS	5
MATH 44	Математика в искусстве, культуре и обществе: гуманитарный класс по математике	5
MATH 46	Математика для начального образования	5
MATH 76	Специальные проекты по теории вероятностей и статистики	1
MATH 76X	Специальные проекты по вероятности и статистике	2
MATH 76Y	Специальные проекты по вероятности и статистике	3
MATH 77	Специальные проекты по математике	1
MATH 77X	Специальные проекты по математике	2
MATH 77Y	Специальные проекты по математике	3
MATH 7 8	Специальные проекты по чистой математике	1
MATH 78X	Специальные проекты по чистой математике	2
MATH 78Y	Специальные проекты по чистой математике	3
MATH 79	Специальные проекты по прикладной математике	1
MATH 79X	Специальные проекты по прикладной математике	2
MATH 79Y	Специальные проекты по прикладной математике	3
MATH 109	Intermediate Алгебра для статистики	5
MATH 114	Подготовка к колледжу по математике Уровень 3: промежуточная алгебра	5
MATH 130	Промежуточная алгебра для Precalculus	5
MATH 210	Уровень подготовки к математике колледжа 1: Предварительная алгебра	5
MATH 210X	Поддержка статистики	2.5
MATH 211X	Поддержка алгебры для конечной математики	2,5
MATH 212	Подготовка к колледжу по математике Уровень 2: Начальная алгебра	5
MATH 217	Интегрированная статистика 1	10
MATH 231	Поддержка алгебры для Precalculus I	2,5
MATH 231A	Поддержка алгебры для Precalculus I (часть 1)	2.5
MATH 231B	Поддержка алгебры для Precalculus I (часть 2)	2,5
MATH 232	Поддержка алгебры для Precalculus II	2,5
MATH 241	Академическое превосходство в Precalculus I	1
MATH 242	Академическое превосходство в Precalculus II	1
MATH 243	Академическое превосходство в Precalculus III	1

Уравновешивание химических уравнений с помощью алгебры

В последнем в моей серии о балансировании химических уравнений мы рассмотрим алгебраический метод, который полезен для балансирования самых сложных уравнений

Хотя сочетание алгебры и уравновешивающих химических уравнений может показаться ужасающим, это не так плохо, как кажется.Часть алгебры довольно проста, нет ничего сложнее, чем одновременные уравнения, с которыми вы столкнетесь на математике уровня GCSE, если это так.

Тем не менее, это математический подход, который подходит только для математически мыслящих студентов A Level или IB . Если вы его изучите, это может быть очень быстрый способ сбалансировать сложные уравнения, которые трудно сбалансировать при проверке, но нет формального требования для изучения этого метода , и вам никогда не нужно использовать его для балансировки химического уравнения на экзамене A Level или IB Diploma.

Существует два алгебраических метода, нормальный алгебраический метод и упрощенная версия, которая является лучшим способом взломать самые сложные уравнения. Давайте сначала рассмотрим алгебраический метод.

Алгебраический метод уравновешивания химических уравнений

Стратегия алгебраической балансировки химических уравнений выглядит следующим образом:

1. Напишите разные буквенные коэффициенты перед каждым составным в уравнении
2. Напишите алгебраические выражения или правила для каждого элемента, которые уравнивают его атомы на левой и правой сторонах.
3. Подставьте и упростите, чтобы получить правило, которое приравнивает только два буквенных коэффициента, которые вы можете решить
4. Подставьте значения в другие правила, чтобы получить коэффициенты балансировки

В этом нет никакого смысла, я уверен без примера, поэтому вот уравнение для баланса с использованием этой стратегии:

_KMnO ₄ + _HCl → _MnCl ₂ + _KCl + _Cl ₂ + _H ₂ O

Первое, что мы делаем, это присваиваем каждому соединению буквенный коэффициент:

.

a KMnO ₄ + b HCl → c MnCl ₂ + d KCl + e Cl ₂ + f H ₂ O

Затем, применяя закон сохранения массы, который говорит нам, что общее количество атомов каждого элемента должно быть одинаковым с обеих сторон, напишите алгебраические правила для каждого элемента.

K: a = d
Mn: a = c
O: 4 a = f
H: b = 2 f
Cl: b = 2 c + d + 2 e

Чтобы объяснить логику этого на примере Cl, мы знаем, что количество атомов хлора должно быть одинаковым с обеих сторон уравнения. Со стороны реагента у нас будет всего b атомов хлора.Что касается продукта, MnCl ₂ содержит два атома хлора, поэтому, если его коэффициент равен c , он должен содержать 2c атомов хлора, в то время как KCl содержит d атомов хлора и так далее, суммируя общее количество атомы хлора на правой стороне.

Здесь слишком много неизвестных, но мы можем заменить правила для K и Mn на правило для Cl, чтобы избавиться от c и d :

b = 2 a + a + 2 e
b = 3 a + 2 e

Мы также можем избавиться от b , используя правило для H:

2 f = 3 a + 2 e

И, наконец, избавьтесь от f , используя правило для O:

2 (4 a ) = 3 a + 2 e
8 a = 3 a + 2 e
5a = 2e, следовательно, a = 2 и e = 5

Найдя теперь два коэффициента, подставив в правила для Cl и O и используя тот факт, что a = c = d = 2, решает для b и f :

b = 2 c + d + 2 e
b = 3 a + 2 e
b = 3 x 2 + 2 x 5
∴ b = 16

4 a = f
∴ f = 8

2KMnO ₄ + 16HCl → 2MnCl ₂ + 2KCl + 5Cl ₂ + 8H ₂ O

В том маловероятном случае, если это обнаружится в экзаменационной работе как вопрос о балансировке, вы обычно будете использовать метод балансировки окислительно-восстановительного потенциала, но я думаю, вы согласитесь, что этот метод быстрее.

Обратите внимание, что когда вы используете алгебраический метод, вы можете в конечном итоге выполнить различные замены, чтобы исключить неизвестные. Это прекрасно, нет правильного или неправильного подхода.

Простой алгебраический метод уравновешивания химических уравнений

Теперь, если в приведенном выше примере вы думали: « держитесь, если a = c = d, зачем вообще вводить c и d? Почему бы не упростить все это? », вы были бы правы, и здесь на помощь приходит упрощенный алгебраический метод.Этот метод делает именно это — он использует логику, чтобы уменьшить количество неизвестных, которые вам нужно решить.

Это лучший из известных мне методов балансировки чрезвычайно сложных уравнений, а также очень быстрый метод балансировки жестких окислительно-восстановительных уравнений, если вы освоите его. Обратной стороной является то, что этот метод требует немного интуиции. Под этим я подразумеваю, что некоторые уравнения требуют от вас применения определенной балансировки по принципам проверки, чтобы упростить алгебраические выражения, которые вам в конечном итоге придется решать.

Процедура использования простого алгебраического метода приведена ниже, но, честно говоря, она будет выглядеть как gobbledegook, и единственный способ разобраться в этом — это проработать множество практических вопросов, которые, к счастью, я предоставил.

• Укажите элементы, появляющиеся только один раз на левой и правой сторонах уравнения.
  • Если элемент (элементы) уже сбалансирован, укажите тот же буквенный коэффициент перед его соединениями
  • Если элемент (ы) не сбалансирован, укажите буквенный коэффициент перед соединением, содержащим большее количество его атомов, затем уравновесите элемент с другой стороны уравнения, используя тот же буквенный коэффициент (применяя сохранение массы)
• Поместите буквенные коэффициенты перед остальными составными частями.
• Минимизируйте необходимое количество букв, применяя принцип сохранения массы и логику, чтобы коэффициенты, представляющие элемент с одной стороны, выражались в терминах существующих коэффициентов, представляющих элемент с другой стороны. Идея состоит в том, чтобы уменьшить количество неизвестных.
• Стремитесь использовать не менее двух буквенных коэффициентов .
• Напишите алгебраическое правило для оставшихся элементов, которое уравнивает их с каждой стороны уравнения, замените и упростите, чтобы получить решения для каждого буквенного коэффициента.
• По возможности используйте принцип сохранения заряда, так как это может значительно уменьшить количество неизвестных (пример приведен ниже)

Мы воспользуемся тем же уравнением, что и выше, чтобы показать, как это работает:

_KMnO ₄ + _HCl → _MnCl ₂ + _KCl + _Cl ₂ + _H ₂ O

На этот раз мы начнем с того, что заметим, что кислород появляется только один раз с каждой стороны. Применяя приведенные выше правила, мы будем использовать тот же буквенный коэффициент перед KMnO ₄ и H ₂ O, поместив a перед KMnO ₄ и 4a перед H ₂ O , поскольку логически число перед H ₂ O должно быть в четыре раза больше числа перед KMnO ₄ , чтобы уравновесить кислород:

a KMnO ₄ + _HCl → _MnCl ₂ + _KCl + _Cl ₂ + 4a H ₂ O

Калий и марганец также появляются только по одному разу с каждой стороны, как и водород.Используя то, что я назвал правилом «принудительных коэффициентов» в этом блоге о балансировании химических уравнений, мы знаем, что коэффициент перед KCl ​​и MnCl ₂ также должен быть a :

a KMnO ₄ + _HCl → a MnCl ₂ + a KCl + _Cl ₂ + 4a H ₂ O

Для водорода коэффициент перед HCl должен быть в два раза больше коэффициента перед H ₂ O, что составляет 8a :

a KMnO ₄ + 8a HCl → a MnCl ₂ + a KCl + _Cl ₂ + 4a H ₂ O

Остается только хлор, и мы дадим ему коэффициент b :

a KMnO ₄ + 8a HCl → a MnCl ₂ + a KCl + b Cl ₂ + 4a H ₂ O 9000

Теперь можно написать алгебраическое правило для хлора:

8 a = 2 a + a + 2 b
5 a = 2 b , что дает a = 2 и b = 5

2KMnO ₄ + 16HCl → 2MnCl ₂ + 2KCl + 5Cl ₂ + 8H ₂ O

Вот еще один пример, на этот раз тот, где мы можем использовать принцип сохранения заряда, чтобы легко его решить:

_IO ₃ + _I ^— + _H ⁺ → _I ₂ + _H ₂ O

Первый шаг — отметить, что кислород появляется один раз на каждой стороне уравнения, поэтому, следуя приведенным выше рекомендациям, мы начнем с того, что поставим буквенный коэффициент a перед IO ₃ и 3a перед H ₂ O:

a IO ₃ + _I ^— + _H ⁺ → _I ₂ + 3a H ₂ O

Водород также появляется по одному разу с каждой стороны уравнения, и если в H ₂ O содержится 3a , на LHS должно быть 6a H ⁺ ионов:

a IO ₃ + _I ^— + 6a H ⁺ → _I ₂ + 3a H ₂ O

Остается йод.Если мы поместим b перед I ₂ на правой стороне, то общее количество атомов йода на правой стороне будет 2b , а общее количество атомов йода на левой стороне (с применением принципа сохранения массы) должно быть 2b -a ( a — количество атомов, присутствующих в IO ₃ ):

a IO ₃ + 2b-a I ^— + 6a H ⁺ → b I ₂ + 3a H ₂ O

Вот где приходит на помощь сохранение заряда.У RHS нет нетто-заряда, что означает, что у LHS также не должно быть нетто-заряда. Это означает, что коэффициент перед I ^— и H ⁺ должен быть равен, поэтому мы можем написать выражение, представляющее это:

2b-a = 6a

2b = 7a , следовательно, a = 2 и b = 7

Подстановка этих значений дает сбалансированное уравнение:

2 IO ₃ + 12 I ^— + 12 H ⁺ → 7 I ₂ + 6 H ₂ O

Одновременных уравнений.Три уравнения с тремя неизвестными.

Содержание | Дом

Одновременные уравнения: Раздел 3

Вернуться в раздел 2

Вернуться в раздел 1

Пример 6. Решите эту систему трех уравнений с тремя неизвестными:

1)	х	+	y	–	г	=	4
2)	х	–	2 y	+	3 г	=	−6
3)	2 х	+	3 y	+	г	=	7

Стратегия состоит в том, чтобы свести это к двум уравнениям с двумя неизвестными.

Сделайте это, удалив одно из неизвестных из двух пар уравнений: либо из уравнений 1) и 2), либо 1) и 3), либо 2) и 3).

Например, исключим z . Сначала мы исключим его из уравнений 1) и 3), просто добавив их. Получаем:

4) 3 x + 4 y = 11

Затем мы исключим z из уравнений 1) и 2).Умножим уравнение 1) на 3. Полученное уравнение назовем 1 ‘(«1 простое число»), чтобы показать, что мы получили его из уравнения 1):

1 ‘)	3 х	+	3 y	–	3 г	=	12
2)	х	–	2 y	+	3 г	=	−6
	______________________________________________________________________________________
5)	4 x	+	y			=	6

Теперь мы решаем уравнения 4) и 5) для x и y .

Исключим у . Умножим уравнение 5) на −4 и прибавим его к уравнению 4):

5 ‘)	−16 х	–	4 y	=	−24
4)	3 х	+	4 y	=	11
	______________________________________________________________________________________
	−13 х			=	−13

x = 1.

Чтобы найти y , подставим x = 1 в уравнение 4):

3 + 4 9 1855 y	=	11
4 y	=	11 −3
4 y	=	8
y	=	2.

Наконец, чтобы найти z , подставьте эти значения x и y в одно из исходных уравнений; скажем уравнение 1):

1 + 2 — 9 1855 z	=	4
— z	=	4–3 = 1
z	=	-1.

Задача 8. Решите эту систему уравнений.

1)	х	+	y	+	г	=	6
2)	х	–	y	+	г	=	2
3)	х	+	2 y	–	г	=	2

Исключите y , например, из уравнений 1) и 2, а затем из уравнений 2) и 3).

Сложите уравнения 1) и 2):

4) 2 x + 2 z = 8

Затем умножьте уравнение 2) на 2 и прибавьте его к 3):

2 ‘)	2 х	–	2 y	+	2 г	=	4
3)	х	+	2 y	–	г	=	2
	______________________________________________________________________________________
5)	3 х			+	z ;	=	6

Решите 5) с 4).Умножим 5 на −2:

5 ‘)	−6 х	–	2 г	=	−12
4)	2 х	+	2 г	=	8
	______________________________________________________________________________________
	−4 х			=	−4
			х	=	1.

Чтобы найти z , подставьте x = 1 в уравнение 5):

Наконец, чтобы найти y , подставьте эти значения x и z в одно из исходных уравнений; скажем уравнение 1):

Всегда проверяйте решение, подставляя числа в каждое из трех уравнений.

Задача 9. Решите эту систему уравнений.

1)	х	+	y	–	г	=	1
2)	8 х	+	3 y	–	6 г	=	1
3)	−4 х	–	y	+	3 г	=	1

Вот решение:
x = 2, y = 3, z = 4.

Вернуться в раздел 2

Вернуться в раздел 1

Следующий урок: задачи со словами, которые приводят к одновременным уравнениям

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.